江苏省镇江第一中学2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试卷

这是一份江苏省镇江第一中学2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试卷，共9页。试卷主要包含了的内角的对边分别为，若，则，在中，若，则是，下列各式中，值为的有，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷．
2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．
3，答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．
一、单选题：本大题共8小题，共40分。
1．已知的夹角为，则（ ）
A．1B．C．2D．4
2．已知，则（ ）
A．B．C．D．
3．若向量满足，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
4．的内角的对边分别为，若，则（ ）
A．7B．6C．D．8
5．如图，在平行四边形中，为的中点，为上的一点，且，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
6．在中，若，则是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形
7．已知菱形的边长为4，点是线段的中点，，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知锐角的内角的对边分别为，若，则面积的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题：本大题共3小题，共18分。（双选题选对一个得3分，三选题选对一个得2分；选错得0分）
9．下列各式中，值为的有（ ）
A．B．
C．D．
10．下列说法正确的是（ ）
A．若点是的重心，则
B．已知，若，则
C．已知三点不共线，三点共线，若，则
D．已知正方形的边长为1，点满足，则
11．中，角所对的边分别为，且，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．若，则为直角三角形
C．若为锐角三角形，的最小值为1
D．若为锐角三角形，则的取值范围为
三、填空题：本大题共3小题，共15分。
12．已知向量，夹角为，则______．
13．求值：______．
14．如图，设的内角所对的边分别为，且．若点是外一点，，则当四边形面积最大值时，______．
四、解答题：本大题共5小题，共72分。
15．（本小题13分）设向量．
（1）若，求实数的值；
（2）若，求实数的值．
16．（本小题15分）
16．已知函数
（Ⅰ）求函数在的值域；
（Ⅱ）若且，求．
17．（本小题15分）
在中，角的对边分别是，且．
（1）求角的大小；
（2）若的面积为，求的周长；
（3）若为边上的一点，，且______，求的面积．
（从下面①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答）．
①是的平分线；
②为线段的中点．
18．（本小题17分）
如图，我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛与小岛、小岛相距都为5nmile，与小岛相距为nmile．为钝角，且．
（1）求小岛与小岛之间的距离；
（2）求四个小岛所形成的四边形的面积；
（3）记为为，求的值．
19．（本小题17分）
“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：
已知的内角所对的边分别为，且．
（1）求；
（2）若，设点为的费马点，求；
（3）设点为的费马点，，求实数的最小值．
2023级高一（下）期中联考试卷答案
数学参考答案
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．）
1．C 2．B 3．B 4．C 5．A 6．D 7．A 8．B
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，双选的仅选对一个得3分，三选的选对一个得2分、两个得4分，三个得6分，有选错的得0分）
9．ACD 10．AD 11．ABD
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12． 13． 14．
四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．解：（1）由题意得，
所以，得；
（2），
因为两向量共线，，
解得．
16．解：（1）；
，
，
函数的值域为
（2）
，
，
，
；
．
17．解：（1）在三角形中：
结合正弦定理可得：
由得
又，所以．
（2）由，得，
由余弦定理，得，
得，得，
所以的周长为．
（3）若选①：由平分得：，
，即．
在中，由余弦定理得，则，
联立，得，解得，
，
若选②：由题设，则，
所以，
在中，由余弦定理得，则，
联立，得，
18．解：（1），且为钝角，，
在中，由余弦定理可得，
，即，
解得：或（舍去）．
小岛与小岛之间的距离为2nmile．
（2）四点共圆，与互补，则
．
在中，由余弦定理得：，
，得，
解得（舍去）或．
（平方海里），
四个小岛所形成的四边形的面积为18平方海里．
（3）方法（1）：在中，由正弦定理得：，
即，解．
为锐角，则，
又，
，
．
方法（2）
在三角形中，；
由余弦定理可得：；
；
又，
，
．
19．解：（1）由已知中，
即，
故，由正弦定理可得，
故直角三角形，即；
（2）由（1）可得，所以三角形的三个角都小于，
则由费马点定义可知：
设，
由，得，
整理得，
则；
（3）点P为的费马点，则，
设，
则由，得；
由余弦定理得，
，
，
故由，得，
即，而，故，
当且仅当，结合，解得时，等号成立，
又，即有，解得或（舍去）．
故实数t的最小值为．