江苏省苏州市工业园区西安交通大学苏州附属中学2024-2025学年高一下学期3月月考 数学试题（含解析）

这是一份江苏省苏州市工业园区西安交通大学苏州附属中学2024-2025学年高一下学期3月月考 数学试题（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 和相等的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用诱导公式将三角函数化为锐角三角函数，逐项判断即可.
【详解】，
对于A，，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D正确.
故选：D
2. 函数的图象与函数的图象的交点个数是（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】通过方程解的个数即判断交点个数.
【详解】若函数的图象与函数的图象有交点，
则方程在上有解，
因为方程在上的解为和，
所以两函数图象有2个交点.
故选：C
3. 已知函数是奇函数，则实数a的值为（ ）
A. 1B. 2C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用的奇函数定义列式即可求.
【详解】因为函数是奇函数，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，即，
所以.
故选：A
4. 已知黄金分割比m还可表示为，则等于（ ）
A. B. 2C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】由已知，将代入，利用三角函数的基本关系式，两角差的正弦公式及倍角公式进行运算，即可求解.
【详解】由已知，
.
故选：B.
5. 已知（为锐角），则等于（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由得出，由，利用和角公式即可求.
【详解】因为为锐角，所以，
又，所以，
所以，
所以
.
故选：C
6. 已知为奇函数，且，则函数图象的一条对称轴方程是（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由奇函数定义求出，由对称轴方程判断选项即可.
【详解】因为为奇函数，
所以，即，
所以，即，
所以，
所以，因为，
所以，
当时， ；当时， ，
因为两种情况下函数的对称轴相同，不妨设，
由，得，，
当时，.
故选：D
7. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断即可.
【详解】当，时，成立，但，
故“”不是“”的充分条件；
当时，，
所以，，
故“”是“”的必要条件，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
8. 已知函数在上恰有3个零点（包含），则正整数ω的值为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】根据已知条件，将看成整体，结合正弦函数的性质以及为正整数确定的值即可.
【详解】因为且，所以，
因为函数在上恰有3个零点，
所以，解得，又因为为正整数，
所以.
故选：A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列各式中，值为的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A，特殊角三角函数值代入即可；对于B，利用余弦的二倍角公式化简计算即可；对于C，利用两角差的正弦公式化简求值即可；对于D，利用正切的倍角公式化简即可.
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D正确.
故选：ABD
10. 若，则的可能值有（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据两角和的余弦公式可知，，选项代入进行判断即可.
【详解】因为，
又，
则且，
选项中，当 或时均符合，当 或时不符合.
故选：BD.
11. 关于函数，下列结论正确的是（ ）
A. 函数的图象关于对称B. 函数的值域是
C. 函数在上单调递减D. 函数的最小正周期为
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A，计算即可；对于D，由周期函数定义判断即可；对于B，由B可知，只需求在上的值域即可，令，结合二次函数即可求；对于C，根据复合函数单调性判断即可.
【详解】对于A，因为，
所以函数的图象关于对称，故A正确；
对于D，因为，
所以为函数的周期，
结合诱导公式可知，为函数的最小正周期，故D正确；
对于B，由D可知，要求的值域，只需求在上的值域，
因为，
令，
所以，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
又因为，；，，
所以函数的值域是，故B错误；
对于C，当时，，且在上单调递减，
由C可知，上单调递增，
所以函数在上单调递减，故C正确.
故选：ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 函数的定义域为______．
【答案】，
【解析】
【分析】根据对数函数真数大于0，正切函数图象性质解决即可.
【详解】由题知，，
所以，即，解得，
所以函数的定义域为，
故答案为：，
13. 已知，则______．
【答案】7
【解析】
【分析】由题意结合平方关系求出，利用倍角公式化简所求式子代入即可求.
【详解】因为，
所以，又因为，，
所以，
所以
故答案为：7
14. 已知，满足，则当______时，取最大值．
【答案】##
【解析】
【分析】首先利用三角函数的两角差公式对展开，再结合同角三角函数的基本关系以及弦化切结合基本不等式即可求解.
【详解】因为，
则，
所以.
即.
因为，则，
等式两边同时除以得，
则，即，
因为，则，
所以，
因为，所以，
则，
当且仅当，即时等号成立.
所以当时取最大值.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知为锐角，．
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用平方关系计算即可；
（2）利用正切的倍角公式即可计算；
（3）由于，利用正切差角公式计算即可.
【小问1详解】
因为为锐角，
所以，
所以；
【小问2详解】
因为，
所以；
【小问3详解】
由（1）知，，，
所以，
所以.
16. 已知函数．
（1）将表示为的形式，并求其最小正周期；
（2）若，求的对称中心；
（3）求在区间上的最大值和最小值以及对应的x值．
【答案】（1）；
（2）对称中心；
（3）,.
【解析】
【分析】(1)根据进行变形化简，求出最小正周期；（2）根据余弦型函数求解对称中心；（3）根据单调性求解在最小值与最大值与对应的值.
【小问1详解】
所以最小正周期
【小问2详解】
，由，
对称中心横坐标，，，
所以
故对称中心为；
【小问3详解】
由 ，
所以在单调递增，在单调递减，
所以，此时，
，此时，
17. 在中，．
（1）求及的值；
（2）若，求．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）利用三角形的内角范围与同角三角函数的平方关系，二倍角公式，结合两角和的正弦、余弦公式即可求解；
（2）利用三角形的内角之间关系及范围与同角三角函数的平方关系，两角和的余弦公式即可求解.
【小问1详解】
在中，因为，又，
则，，
，
所以，
.
【小问2详解】
在中，因为，则是锐角，
又，则，
因为，，则是锐角，
所以，
在中，，
所以
.
18. 如图，一个半径为R的摩天轮，其圆心为坐标原点O，一个座舱从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转．已知旋转一周用时60分钟，经过t分钟后，座舱旋转到点，其纵坐标满足．
（1）求函数的解析式；
（2）若摩天轮最低点到地面距离为2米，在摩天轮转动的一圈内，有多长时间，座舱P距离地面的高度不低于242米？
（3）若摩天轮旋转周期变为T分钟，且在上单调递增，求T的取值范围．
【答案】（1）
（2）20分钟 （3）
【解析】
【分析】（1）根据求，由求，由当时，座舱在点处，求，即得解析式；
（2）由（1）得到座舱到地面的距离，由题意列不等式即可求解；
（3）由求出，结合正弦曲线求出单调增区间，由于，可得，由此求解.
【小问1详解】
由图可知，，
又周期，所以，
所以
当时，座舱在点处，
所以，即
因为，所以，
所以函数的解析式.
【小问2详解】
因为摩天轮最低点到地面距离为2米，
所以座舱到地面的距离为，
由题意，即，
所以，解得，
整理得，
在一个周期内，当时，，
所以座舱P距离地面的高度不低于242米的时间为分钟.
【小问3详解】
因为，所以，
所以，
由得，
所以得单调递增区间为
因为在上单调递增，且，
所以，
所以，即，
所以T的取值范围．
19. 已知函数，将函数的图象上的点纵坐标不变，横坐标变为原来的倍．再向左平移个单位长度，得到函数的图象．
（1）写出函数的解析式；
（2）试判断大小；
（3）如果函数的定义域为D，若对于任意分别为某个三角形的边长，则称为“三角形函数”．记，当定义域为时，为“三角形函数”，求实数m的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用三角函数图象变换求出解析式即得.
（2）利用差角的正弦公式，三角函数的性质，结合不等式性质判断的大小及所在区间，再利用余弦函数单调性比较得解.
（3）由（1）求出函数在上的最大最小值，再利用“三角形函数”定义分类列出不等式求解即得.
【小问1详解】
依题意，将函数的图象上的点纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得到函数的图象，
再把所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，
所以函数的解析式为.
【小问2详解】
显然，
又，而，则，
因此，
令，，且当时，，
在上单调递减，故在上单调递减，
所以，即.
【小问3详解】
由（1）知，，
所以
当时，，则，
依题意，为“三角形函数”，当且仅当，
① 当时，，恒有，
此时，满足，则符合题意；
② 当时，，则
由，得，解得，则；
③ 当时，，
则需使，即，
由，得，解得，因此.
综上，实数的取值范围是.
注意事项
学生在答题前，请认真阅读本注意事项及各题答题要求：
1．本卷共4页，包含单项选择题（第1题~第8题）、多项选择题（第9题~第11题）、填空题（第12题~第14题）、解答题（第15题~第19题）．本卷满分150分，答题时间为120分钟答题结束后，请将答题卡交回．
2．答题前，请您务必将自己的姓名、考号等信息用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置．
3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔请注意字体工整，笔迹清楚．