江苏省苏州市吴中区木渎高级中学2024-2025学年高一下学期3月月考 数学试题（含解析）

这是一份江苏省苏州市吴中区木渎高级中学2024-2025学年高一下学期3月月考 数学试题（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（每小题5分，共8小题）
1. 已知，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】直接根据二倍角的余弦公式运算即可.
【详解】因为，，
故选：D.
2. 下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递增的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用给定最小正周期及单调性逐项判断即得.
【详解】对于A，的图象可由的图象将x轴下方部分翻折到x轴上方得到，
故其最小正周期为，当时，在上单调递增，A是；
对于B，由A的分析同理可知的最小正周期为，
当时，在上单调递减，B不是；
对于C，的最小正周期为，在上单调递减，C不是；
对于D，的最小正周期为，D不是.
故选：A
3. 为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（ ）
A. 向左平移个单位B. 向左平移个单位
C. 向右平移个单位D. 向右平移个单位
【答案】A
【解析】
【分析】根据正弦函数平移原则即可得到答案.
【详解】，
则把函数图象上所有的点向左平移个单位即可，
故选：A.
4. 已知平面向量，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】结合向量的数量积的坐标运算，根据投影向量的定义，即可求得答案.
【详解】由题意知平面向量，
故在上的投影向量为，
故选：B
5. 已知向量，，，满足与互为相反向量，，，，则（ ）
A. 2B. 7C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据已知，在向量等式的两边，同时平方，同时点乘向量，都将向量问题数量化，构造方程组可解.
【详解】与互为相反向量， ，
得两边平方得，，
即，①
又由，在两边同时点乘向量，
得，即，②
联立①②，解得.
故选：D.
6. 已知，则（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先利用两角和与差的三角函数，将，然后两边同除以，再利用求解.
【详解】由，
得，
两边同除以，
得
所以，
故选：A．
7. 若函数在处取得最大值，将函数的图象向左平移个单位长度后得到的函数是奇函数，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求出的值，再根据平移变换求出的最小值.
【详解】因为时函数取得最大值，则，解得.
所以，
将函数的图象向左平移个单位长度后得到，
，函数为奇函数，则，
所以，当时，有最小值.
故选：D.
8. 如图，在函数的部分图象中，若，则点的纵坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可得，进一步由可得，将它们代入函数表达式结合诱导公式二倍角公式计算可得结果.
【详解】依题意则得 ，
即，所以,；
设，因为，
所以,，解得,；
因此
,，
可得，结合图象可得，解得.
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用点的位置特征以及向量关系式，得出两点的坐标关系式，再利用诱导公式以及二倍角公式计算可得结果.
二、多选题（每小题6分，共3小题）
9. 已知向量，不共线，向量平分与的夹角，则下列结论一定正确的是（ ）
A. B.
C. 向量，在上投影向量相等D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据给定条件，结合向量加法的几何意义可得，再借助数量积的运算律逐项分析判断即得.
【详解】作向量，在中，，，
由向量平分与的夹角，得是菱形，即，
对于A，与不一定垂直，A错误；
对于B，，即，B正确；
对于C，在上的投影向量，
在上的投影向量，C正确；
对于D，由选项A知，不一定为0，则与不一定相等，D错误.
故选：BC
10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A.
B. 在区间上单调递增
C. 直线为的图象的一条对称轴
D. 在区间上的值域为
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用，即可判断A选项；利用整体代入法结合正弦函数的单调区间即可判断B选项；利用判断C选项；根据时利用正弦函数的性质判断选项D.
【详解】由函数的部分图象知，，解得；因为，所以，A正确；
由五点法作图结合图象可知，解得，所以；
时不是单调函数，所以在区间不是单调函数，B不正确；
因为，所以直线为的图象的一条对称轴，C正确；
时所以，所以在区间上的值域为，D正确，
故选：ACD.
11. 已知角的顶点与原点重合，它的始边与x轴的非负半轴重合，终边过点，定义：，对于函数，则（ ）
A. 函数的图象关于点对称
B. 方程在区间上有两个不同的实数解
C. 将函数的图象向左平移个单位长度后得到一个偶函数的图象
D. 函数在区间上单调递增
【答案】AD
【解析】
【分析】由三角函数定义，整理函数解析式，根据三角函数诱导公式，可得A的正误；建立方程，利用同角三角函数的商式，结合正切函数的性质，可得B的正误；由A可得函数对称性，结合图象变换，可得C的正误；利用分离常数项整理函数解析式，结合正切函数的单调性以及复合函数单调性，可得D的正误.
【详解】由题意可得，，
则，，可得，
所以，
对于A，由，
则点是函数的图象的一个对称中心，故A正确；
对于B，由，则，整理可得，
化简可得，易知存在唯一，使得，故B错误；
对于C，由A可知函数的图象关于成中心对称，
则函数的图象向左平移个单位可得，
函数的图象关于成中心对称，故C错误；
对于D，由，
且函数在上单调递增，则函数在上单调递增，故D正确.
故选：AD.
三、填空题（共3小题）
12. 若为锐角，，则_______．
【答案】
【解析】
【分析】由同角三角函数的平方式，结合题意，求得余弦值，利用正弦和角公式，可得答案.
【详解】由题意可得，
则.
故答案为：.
13. 如图，在四边形中，分别为的中点，，则______．
【答案】##
【解析】
【分析】连接、，根据平面向量线性运算法则得到，再根据数量积的运算律计算可得.
【详解】连接、，所以，，
又、分别为、的中点，
所以，
所以
．
故答案为：
14. 在中，，的最大值为．若函数在区间上单调递增，则的最大值为______．
【答案】2
【解析】
【分析】由已知在中，，由利用不等式可得，然后利用正弦函数的单调性与区间的关系列不等式即可.
【详解】因为，故为锐角，
且，
又，
所以，所以的最大值为，
即，
当且仅当时，即，等号成立，
函数，
因为，所以，
要使在区间上单调递增，则，
所以，
所以的最大值为.
故答案为：.
四、解答题（共5小题）
15. 已知向量，，且与垂直．
（1）求的值；
（2）求与的夹角．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求出向量的坐标，根据已知条件得出，结合平面向量数量积的坐标运算可得出关于的等式，解之即可；
（2）利用平面向量数量积的坐标运算可求出的值，结合向量夹角的取值范围可得出的值.
【小问1详解】
因为向量，，则，
因为与垂直，则，解得.
【小问2详解】
由（1）得，所以，，，
所以，，
因为，故.
16. 已知．
（1）求的值；
（2）若，，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据二倍的正切公式故两角和的正切公式求解；
（2）根据同角三角函数的关系式求得，进而利用两角和的正弦公式计算即可．
【小问1详解】
，
．
【小问2详解】
∵，且，
∴，得，
∵，∴，
∵，，∴，
∴.
17. 已知函数．
（1）求函数最小正周期和值域；
（2）设为的三个内角，若，求的值．
【答案】（1），；（2）.
【解析】
【分析】（1）利用倍角公式及两角和的正弦化简变形，再由周期公式求得周期，结合正弦函数的值域求得原函数值域；
（2）由已知求得sinB，再由f（A）＝2求得A，结合sinC＝sin（A+B），展开两角和的正弦求解．
【详解】（1）
，
所以，的最小正周期，值域为．
（2）由，得，
因为，所以，故，．
因为在△中，，所以，
所以，
．
【点睛】本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查函数的周期及其最值的求法，训练了两角和的正弦的应用，是中档题．
18. 如图，在等腰梯形中，，，为线段中点，与交于点，连接，为线段上的一个动点.
（1）用基底表示；
（2）求的值；
（3）设，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）解法一：由平面向量的线性运算法可得，，结合可得出关于的表达式，再由可得结果；
解法二：将表示为的表达式，将表示为的表达式，代入可得结果；
（2）设，，将表示为基底的表达式，结合平面向量的基本定理可得出关于、的方程组，解出的值，即可得出的值；
（3）设，将表示为的表达式，利用平面向量的基本定理可得出关于的表达式，求出的取值范围，再结合二次函数的基本性质可求出的取值范围.
【小问1详解】
解法一：由向量的线性运算法则可得①，②，
因为为线段中点，则，由题意可得，
①②得，整理得：，
则
解法二：因为①，
②，
将②代入①得.
【小问2详解】
由与交于点，设③，
设，可得，即④，
由③④得，消去得，所以，即.
【小问3详解】
由题意，可设，
代入中并整理可得.
又，故，可得.
因为，且函数在上单调递减，所以，
，
因为函数在单调递减，
所以，，，
所以的取值范围为.
19. 材料1：在三角形中有一个非常重要的定理，其探究的情景基于角所对的边分别为的锐角，作的外接圆，连接并延长与交于点D，连接，则为直角三角形，且可推出对任意都有．
材料2：法国数学家费马在给意大利数学家托里拆利的一封信中提到“费马点”，即平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点，托里拆利确定费马点的方法如下：
①当的三个内角均小于时，满足的点O为费马点；
②当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．
请用以上材料解决下面的问题：
（1）根据材料1的情景，当锐角中角所对的边分别为时，求证：；
（2）已知是平面内任意一个向量，向量满足，且，则的最小值；
（3）已知点P为的费马点，且，若，求实数的最小值．
【答案】（1）证明过程见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）作出辅助线，根据直角三角形中三角函数关系得到，证明出结论；
（2）设出向量，转化为点到，，的距离之和最小问题，找到为的费马点，求出最小值；
（3），设，，由得，在中，由余弦定理和勾股定理得到，由基本不等式求出最小值.
【小问1详解】
因为为直径，所以，
在中，，
又，所以，
连接，同理在中，，
又，所以，
连接并延长，交圆于点，连接，则，
在中，，
又，所以，
又，所以，
即；
【小问2详解】
不妨设，，
则，
上式可以看成点到，，的距离之和，
显然为锐角三角形，要想距离之和最小，只需找到费马点，
在上取点，此时，故，
同理，故，所以，
点即为的费马点，
所以，
则的最小值为；
【小问3详解】
由于为直角三角形，故，
设，，
由得，
在中，由余弦定理得
，
同理，在中，由余弦定理得，
在中，，
因，
所以，
即，
由基本不等式得，当且仅当时，等号成立，
所以，解得或（舍去），
所以的最小值为