江苏省苏州市吴江区盛泽中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

这是一份江苏省苏州市吴江区盛泽中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.
A. B. C. D.
2. 下列四个函数中以为最小正周期且为奇函数是（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知，都是锐角，，，则（ ）
A. B. C. D.
4. （ ）
A. B. C. 1D.
5. 2002年国际数学家大会在北京召开，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计．弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图），如果小正方形的边长为1，大正方形的边长为5，直角三角形中较大的锐角为，则（ ）
A. B. C. D.
6. 把函数的图像向右平移个单位长度，再把所得图像上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图像.则函数的一个解析式为（ ）
A. 2B. 2
C. 2D. 2
7. 若中，，则此三角形的形状是（ ）
A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形
8. 在锐角三角形中，，则的最小值是（ ）.
A. 3B. C. D. 12
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知角的终边经过点，则（ ）
A. B.
C. D.
10. 下列计算结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
11. 已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）

A.
B. 函数的图象关于直线对称
C. 函数图象向右平移个单位可得函数图象
D. 若方程在上有两个不等实数根，，则
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12 已知，则_________．
13. 已知，则的值为__________．
14. 已知函数在上恰好有7个零点，则的取值范围是______．
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 化简求值
（1）已知，求的值
（2）已知，且．求
16. 已知，.
（1）求值；
（2）若，且，求的值.
17. 已知函数的最大值为3．
（1）若的定义域为，求的单调递增区间；
（2）若，，求的值．
18. 已知函数，其中.如图是函数在一个周期内的图象，A为图象的最高点，为图象与x轴的交点，为等边三角形，且是偶函数.

（1）求函数的解析式；
（2）解不等式，实数x的取值范围；
（3）若在只有两条对称轴，求m取值范围.
19. 某公司欲生产一款迎春工艺品回馈消费者，工艺品的平面设计如图所示，该工艺品由直角和以为直径的半圆拼接而成，点P为半圈上一点（异于），点H在线段上，且满足.已知，设.
（1）为了使工艺礼品达到最佳观赏效果，需满足，且达到最大，当为何值时，工艺礼品达到最佳观赏效果；
（2）为了工艺礼品达到最佳稳定性便于收藏，需满足，且达到最大.当为何值时，取得最大值，并求该最大值.
盛泽中学2024-2025学年高一第一次阶段反馈练习（数学）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据诱导公式化角，再根据两角差正弦公式化简求值.
【详解】
,选C.
【点睛】本题考查诱导公式以及两角差正弦公式，考查基本分析求解能力，属基本题.
2. 下列四个函数中以为最小正周期且为奇函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】A选项，函数不是周期函数；BC选项，不满足奇偶性；D选项满足要求.
【详解】A选项，函数图象如下：
不是周期函数，
BC选项，与是偶函数，
D选项，的周期为且，
故为奇函数，D正确.
故选：D．
3. 已知，都锐角，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用同角三角函数关系得到，，凑角法得到答案.
【详解】因为，，所以，所以，，
所以
.
故选：C
4. （ ）
A B. C. 1D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据两角和的正切公式以及诱导公式求得正确答案.
【详解】，
，
所以，
所以
故选：A
5. 2002年国际数学家大会在北京召开，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计．弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图），如果小正方形的边长为1，大正方形的边长为5，直角三角形中较大的锐角为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知条件求出和的值，利用两角和与差的三角函数公式求出结果即可.
【详解】由题意可知，设直角三角形两直角边为a，，
则，解得，
，
，
故选：B
6. 把函数的图像向右平移个单位长度，再把所得图像上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图像.则函数的一个解析式为（ ）
A. 2B. 2
C. 2D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】将函数的图像所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位长度即得解.
【详解】将函数的图像所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，
得到，再把函数的图象向左平移个单位长度，
得到.
故选：B
7. 若中，，则此三角形的形状是（ ）
A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形
【答案】A
【解析】
【分析】根据三角函数和与差的正弦公式，即可判断三角形的形状.
【详解】中，，
已知等式变形得，
，
即，
整理得，即，
或（不合题意，舍去）．
，，
则此三角形形状为直角三角形．
故选：A
8. 在锐角三角形中，，则的最小值是（ ）.
A. 3B. C. D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】化简可得，将化成，即可根据 的范围求解
【详解】∵，∴，
∴，
∴，
∵，当且仅当时取等号，
∴.
故选：B.
【点睛】本题考查三角恒等变换的应用，考查基本不等式求最值，属于中档题.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知角的终边经过点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据三角函数的定义分别求出的值，再利用二倍角公式计算即可一一判断.
【详解】由题意，,
对于A项，，故A项错误；
对于B项，，故B项正确；
对于C项，因，，则，故C项错误；
对于D项，，故D项正确.
故选：BD.
10. 下列计算结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用三角恒等变换逐项判断即可.
【详解】，A正确；
，B正确；
，C错误；
由，
可得
，D正确；
故选：ABD
11. 已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）

A.
B. 函数的图象关于直线对称
C. 函数图象向右平移个单位可得函数的图象
D. 若方程在上有两个不等实数根，，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据图象确定函数的解析式，然后由正弦函数性质判断各选项．
【详解】对于A：由图可知，，所以，
所以，则，
将点代入得：，
所以，，又，所以，
所以，A正确；
对于B，因为，故B错误；
对于C，将函数图象向右平移个单位，
可得函数，故C正确；
对于D，因为，所以函数图象关于对称，
由条件结合图象可知，于是，
所以，故D正确．
故选：ACD．
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，则_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，利用同角公式求出，再利用二倍角的余弦公式计算即得.
【详解】由，得，则，，
由，解得，而，
所以.
故答案为：
13. 已知，则的值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】由两角和差的正弦公式及辅助角、二倍角公式进行化简求值即可.
【详解】因为，化简得
所以
故答案为：
14. 已知函数在上恰好有7个零点，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】先化简为，令，即在上恰有7个不相等的实根，由的性质可得解
【详解】，令，
，
，
由题意在上恰有7个零点，即在上恰有7个不相等的实根，
即，或，，
当时，，
…
当，.
由的性质可得，
解得．
故答案为：
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
15 化简求值
（1）已知，求值
（2）已知，且．求
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）先求得，再由倍角公式求的值；
（2）先求得的值，再求得的值，从而可求得的值.
【小问1详解】
由得，
因为，所以，，
故.
【小问2详解】
因为，所以 ，
所以
所以
因为，所以.
16. 已知，.
（1）求的值；
（2）若，且，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用两角差正切公式求得，然后化弦为切及二倍角公式，结合“1”的代换化弦为切求解即可；
（2）先利用同角三角函数关系求得，然后利用两角和正切公式求值，最后根据角的范围确定角的大小.
【小问1详解】
因为，，
所以，解得，
所以；
【小问2详解】
因为，且，所以，所以.
所以，
又因为，，所以，所以.
17. 已知函数的最大值为3．
（1）若的定义域为，求的单调递增区间；
（2）若，，求的值．
【答案】（1）单调递增区间为和
（2）
【解析】
分析】（1）利用二倍角公式将化简并利用最值可得，再由三角函数单调性解不等式即可求得单调递增区间；
（2）代入解析式可求得，再根据同角三角函数之间的基本关系以及二倍角等公式即可求得结果.
【小问1详解】
将化简可得，
因为，所以．
此时，
当时，
令．得；
令，得，
所以的单调递增区间为和．
【小问2详解】
由（1）知．
由，得，
所以．又因为．所以，
所以．
所以，
，
所以
.
18. 已知函数，其中.如图是函数在一个周期内的图象，A为图象的最高点，为图象与x轴的交点，为等边三角形，且是偶函数.

（1）求函数的解析式；
（2）解不等式，实数x的取值范围；
（3）若在只有两条对称轴，求m的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）先根据正三角形求出周期，结合偶函数可求，进而得到答案；
（2）化简不等式，利用正弦函数性质解不等式即可.
（3）令，可得图象的对称轴为，从而可知，求解即可.
【小问1详解】
由可知，点A的纵坐标为；
因为为等边三角形，所以，即函数的周期，所以，
所以，
因为，所以，又是偶函数，所以，
所以，所以.
【小问2详解】
不等式即，所以，
所以，
所以实数x的取值范围；
【小问3详解】
令，解得，
所以图象的对称轴为，所以当时，两相邻的对称轴为，
因为在只有两条对称轴，所以，
故m的取值范围为.
19. 某公司欲生产一款迎春工艺品回馈消费者，工艺品的平面设计如图所示，该工艺品由直角和以为直径的半圆拼接而成，点P为半圈上一点（异于），点H在线段上，且满足.已知，设.
（1）为了使工艺礼品达到最佳观赏效果，需满足，且达到最大，当为何值时，工艺礼品达到最佳观赏效果；
（2）为了工艺礼品达到最佳稳定性便于收藏，需满足，且达到最大.当为何值时，取得最大值，并求该最大值.
【答案】（1）
（2），最大值为
【解析】
【分析】（1）由，则在直角中，，，计算得到，计算最值得到答案.
（2）计算，得到，得最值.
【小问1详解】
由，在直角中，，；
在直角中，，
；
，
所以当，即时，的最大值为，
即时，工艺礼品达到最佳观赏效果；
【小问2详解】
在直角中，由，
可得；
在直角中，，
所以，，
所以
，
所以当时，取得最大值，且最大值为.