福建省莆田市莆田第四中学2024−2025学年高一下学期第一次月考考试 数学试卷（含解析）

这是一份福建省莆田市莆田第四中学2024−2025学年高一下学期第一次月考考试 数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知复数满足，为虚数单位，则（ ）
A．B．10C．D．5
2．已知向量，是单位向量，且，则为（ ）
A．B．C．3D．5
3．中，角所对的边分别为，若，则（ ）
A．B．C．D．或
4．已知，若与的夹角为，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
5．已知，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知的三个顶点及平面内一点，满足，则点与的关系为（ ）
A．点在内部B．是边的一个五等分点
C．是边的一个三等分点D．是边的中点
7．如图， A ， B ， C 三点在半径为1 的圆 O 上运动，且， M 是圆 O 外一点，，则的最大值是（ ）
A．5B．8C．10D．12
8．将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上没有零点，则的取值范围是（ ）
A．B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知（，是虚数单位），，定义：，则下列结论正确的是（ ）
A．对任意，都有
B．若是z的共轭复数，则恒成立
C．若，则
D．对任意，则恒成立
10．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，对于以下命题，其中正确的是（ ）
A．等式恒成立
B．若，则
C．若，则是锐角三角形
D．若，，，则满足条件的三角形有两个
11．设的内角所对的边分别为，且.若点是外一点，，下列说法中，正确的命题是（ ）
A．的内角
B．一定是等边三角形
C．四边形面积的最大值为
D．四边形面积无最大值
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知，其中为虚数单位，，则 ．
13．在中，内角所对的边长分别为，，求面积的最大值 ．
14．三角形中，分别是角的对边，已知，，点是的中点，点在线段上，且，线段与线段交于点M，若点是三角形的重心，求的最小值 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知是关于的方程的一个根.
(1)求的值；
(2)若是纯虚数，求实数的值和.
16．已知，函数．
（1）求函数的解析式及对称中心；
（2）若且，求的值．
（3）在锐角中，角A，B，C分别为a，b，c三边所对的角，若，求周长的取值范围．
17．在中，，平面上的点满足，，动点在线段上（不含端点）．
(1)设，用含有的式子表示；
(2)设，求的最小值；
(3)求的最小值．
18．如图，在平面四边形中，，，．

(1)若，求；
(2)若，求．
19．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：
(1)若是边长为4的等边三角形，求该三角形的费马点到各顶点的距离之和；
(2)的内角所对的边分别为，且，点为的费马点．
（i）若，求；
（ii）求的最小值．
参考答案
1．【答案】A
【详解】因为，
所以，
所以.
故选A.
2．【答案】B
【详解】因为向量，是单位向量，所以
由则，
所以，
故选B.
3．【答案】A
【详解】由题意，在中，则，所以，
因为，所以或，又，所以．
故选A
4．【答案】C
【详解】由题在上的投影向量为.
故选C.
5．【答案】A
【详解】.
故选A.
6．【答案】D
【详解】因为，所以，
即，即，所以是边的中点.
故选D.
7．【答案】C
【详解】连接，如下图所示：

因为 ，则为圆 O 的一条直径，故 O 为的中点，
所以，
所以
.
当且仅当 M ，O ，C 共线且 ， 同向时，等号成立，
因此，的最大值为
故选：C.
8．【答案】B
【分析】根据函数的图象平移与伸缩变换可得，结合正弦函数的图象先判断，根据正弦型图象的零点，列出不等式组，解出的范围即可.
【详解】先将函数的图象向右平移个单位长度，可得，
再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，可得的图象，
因为，周期，函数在上没有零点，
则，所以，
因为，所以，
又在上没有零点，所以，
解得，
又因为,;，
所以或.
故选B.
【关键点拨】本题求解的关键有两个，一是利用图象变换准确求出变换后的函数解析式；二是利用区间内没有零点列出限制条件.
9．【答案】BD
【详解】对于A，当时，，故A错误；
对于B，，则，则，故B正确；
对于C，若，则错误，如，满足
,但，故C错误；
对于D，设，则
，，，由，，得恒成立，故D正确．
故选BD．
10．【答案】AB
【详解】对于选项A. ,故选项A正确.
对于选项B. 在中，若，则，由正弦定理则，故选项B正确.
对于选项C. 若，
由正弦定理可得则，
则角为锐角,但不能确定角A，B是锐角.故选项C不正确.
对于选项D. 由于 ，此时三角形无解，故选项D不正确.
故选AB．
11．【答案】ABC
【详解】由题设，又，
所以，，故，
则或，又，故，A正确；
所以是等边三角形，B正确；
由，则，且，
而，
所以当时有最大面积为，故C正确，D错误.
故选ABC．
12．【答案】1
【详解】由可得，
即，可得，
解得.
13．【答案】
【详解】已知，则，那么.
由，可得：，
令，则，因式分解为.
解得或，因为，所以.
又因为，所以.
由余弦定理得
即，所以，当且仅当时取等号.
所以.
综上，面积的最大值为.
14．【答案】/
【详解】依题意，，
由正弦定理得，
整理得，
由正弦定理，，
因为，所以.
由，解得.
设，.
因为点是的中点，点在线段上且，
所以，.
，
.
则可得，解方程组得，，所以.
因为点是的重心，则.
所以
.
，
因，
当且仅当即时，等号成立.
所以，即的最小值为.
15．【答案】(1)；
(2)，.
【详解】（1）由是方程的一个根，得，
整理得，因此，
所以.
（2）由（1）知，，
由是纯虚数，得，解得，则，
所以.
16．【答案】（1）；
（2）
（3）
【详解】（1）由题意可得，
令，解得，则对称中心为.
（2）由，则，
由，则，可得，
所以
.
（3）由，则，
由，则，解得，即，
由正弦定理可得，则，，
的周长
，
由题意可得，解得，则，所以，
故.
17．【答案】(1)；
(2)；
(3)
【详解】（1）解：如图所示：
；
（2）因为，，由(1)得，
得，
由，
得，
则，
因为，所以，
则，
等号成立时，，得，
故的最小值为；
（3）因为，所以，
则
，
因为，所以当时，取得最小值为．
18．【答案】(1)
(2)或
【详解】（1）在中，，所以，
在中，，所以，又，
所以，
在中由余弦定理，
即，
所以.
（2）由已知可得，又，所以，，
设，，则，
在中由正弦定理，即，所以，
在中由正弦定理，即，所以，
又，所以，解得或，
由，
当时，
当时，
所以或.
19．【答案】(1)
(2)（i）；（ii）
【详解】（1）因为为等边三角形，三个内角均小于，故费马点在三角形内，满足，且，如图：

过作于，则，故，
所以该三角形的费马点到各顶点的距离之和为．
（2）（i）因为，由正弦定理，且，
所以得，
所以的三个角都小于，
则由费马点定义可知，，
设，，
由得：，
整理得，
则
．
（ii）由（i）知，所以点在内部，且，

设，
所以，
由余弦定理得，，
，
，
由勾股定理得，，即，
所以，即，
而，
当且仅当，即时，等号成立．
设，则，解得或（舍去），
由，
故，最小值为．