福建省厦门第六中学2024-2025学年高一下学期3月月考 数学试卷（含解析）

这是一份福建省厦门第六中学2024-2025学年高一下学期3月月考 数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数学试题
总分：160分 考试时间：120分钟
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知均为单位向量.若，则与夹角的大小是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】对两边同时平方，再结合单位向量的性质求出，最后根据向量数量积公式求出夹角.
【详解】已知，两边平方可得.
则，所以.
因为均为单位向量，所以.
根据，，.
将其代入可得：. 则.
设与的夹角为，，且，，可得，即.
因为，所以.
则与夹角的大小是.
故选：C.
2. 的内角的对边分别为，若，，，则
A. B. 6C. 7D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】利用三角形的内角和定理可求的值，进而根据余弦定理可求的值．
【详解】∵，
∴，
∵，，
∴由余弦定理可得：．
故选A．
【点睛】本题考查余弦定理在解三角形中的综合应用，注意利用三角形的内角和为来转化，此类问题属于基础题．
3. 若向量满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用向量的模长公式展开求解即可.
【详解】由两边取平方，，
则有，则，
故选：D.
4. 已知圆柱的底面半径与球的半径均为1，且圆柱的侧面积等于球的表面积，则该圆柱的母线长等于（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据圆柱侧面积和球表面积公式列方程，解方程即可.
【详解】设圆柱的母线长为，则，解得.
故选：B
5. 在中，，则面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据已知及余弦定理得，进而有，再应用三角形面积公式求面积.
【详解】由题设，且为三角形的最大角，
所以，则的面积为.
故选：D
6. 若圆锥的轴截面是一个顶角为，腰长为3的等腰三角形，则过此圆锥顶点的所有截面中，截面面积的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据圆锥的轴截面是顶角为知过此圆锥顶点的所有截面中截面面积最大值为.
【详解】由题意得，圆锥的轴截面是顶角为的等腰三角形，圆锥的母线长为，
设过圆锥顶点的截面三角形顶角为，则，
则截面面积为，当时，，
故选：C．
7. 互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，但如果平面坐标系中两条坐标轴不垂直，则这样的坐标系称为“斜坐标系”.如图，在斜坐标系中，过点作两坐标轴的平行线，其在轴和轴上的截距分别作为点的坐标和坐标，记.若斜坐标系中，轴正方向和轴正方向的夹角为，则该坐标系中和两点间的距离为（ ）

A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】建立直角坐标系，求出直角坐标，即可得解.
【详解】以O为坐标原点,原x轴正方向为x轴，垂直于x轴的方向为y轴建立平面直角坐标系，
则在直角坐标系下，，,
则
.
故选：A.
8. 湖北武汉的黄鹤楼是中国古代四大名楼之一，因唐代诗人崔颢的《黄鹤楼》而名扬天下，小张同学打算利用镜面反射法测量黄鹤楼的高度.如图所示，小张将平面镜置于黄鹤楼前的水平地面上，他后退至从镜中正好能看到楼顶的位置，测量出人与镜子的距离.沿直线将镜子向后移距离，再次从镜中观测楼顶，并测量出此时人与镜子的距离.若小张的眼睛距离地面的高度为，则黄鹤楼的高度可表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意由三角形相似解出，再由图形，解出即可.
【详解】
如图，由知：，即，
由可知，即，
则，可得.
故选：A.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法中，错误的是（ ）
A. 有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台
B. 正四面体是一种特殊的正三棱锥
C. 平行六面体是一种特殊的斜四棱柱
D. 一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出此平面图形的直观图恰好是一个边长为2的等边三角形，则原平面图形的面积是
【答案】AC
【解析】
【分析】根据棱台的概念可判断A；根据正棱锥的概念可判断B；根据棱柱的概念可判断C；根据直观图与原图面积关系可判断D.
【详解】对于A：有两个面互相平行且相似，其余面都是梯形的多面体不一定是棱台，
只有当梯形的腰延长后交于一点时，这个多面体才是棱台，故A错误；
对于B：正四面体是四个面都是全等的正三角形的四面体，
而正三棱锥的定义是：底面是正三角形，顶点在底面的射影是底面正三角形的中心的三棱锥，
因此正四面体是一种特殊的正三棱锥，故B正确；
对于C：底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体，
而侧棱不垂直于底面的四棱柱叫做斜四棱柱，
因此平行六面体不一定是斜四棱柱，故C错误；
对于D：直观图面积为，
根据直观图与原图面积关系可得，故D正确.
故选：AC.
10. 已知的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则为钝角三角形
C. 若，则为等腰三角形
D. 若的三角形有两解，则的取值范围为
【答案】ABD
【解析】
【分析】由正弦定理和余弦定理可判断A,B，利用正弦定理和倍角公式可判断C，结合三角形解的情况可判断D.
【详解】对于A，因为，由正弦定理可得，所以，A正确；
对于B，由余弦定理，可知为钝角，B正确；
对于C，因为，所以，即，
所以或，即为等腰三角形或直角三角形，C不正确；
对于D，因为三角形有两解，所以，即的取值范围为，D正确.
故选：ABD
11. 已知点在所在的平面内，，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，则点是的垂心
B. 若，则
C. 若，则动点的轨迹经过的内心
D. 若，则动点的轨迹经过的外心
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据向量数量积的运算，结合三角形内心，外心，垂心和重心的性质，即可判断选项.
【详解】A.由，
即，同理，，则点是的垂心，故A正确；
B. 若，则点是垂直平分线的交点，则，故B正确；
C.由正弦定理得，故，
故，
取的中点，则，
故点在的中线上，则动点的轨迹经过的重心，故C错误；
D.
设的中点为，，
所以，
，
，
所以，
故点在的中垂线上，故动点的轨迹经过的外心，故D正确.
故选：ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知平面向量，，则在上的投影向量为________（结果用坐标表示）
【答案】
【解析】
【分析】在上的投影向量为，根据平面向量的坐标运算即可求解.
【详解】因为，，
所以，,
所以在上的投影向量为.
故答案为:.
13. 在正四棱台中，，则该棱台的体积为________．
【答案】##
【解析】
【分析】结合图像，依次求得，从而利用棱台的体积公式即可得解.
【详解】如图，过作，垂足为，易知为四棱台的高，

因为，
则，
故，则，
所以所求体积为.
故答案为：.
14. 已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时，________．
【答案】##
【解析】
【分析】设，利用余弦定理表示出后，结合基本不等式即可得解.
【详解】[方法一]：余弦定理
设，
则在中，，
在中，，
所以
，
当且仅当即时，等号成立，
所以当取最小值时，.
故答案为：.
[方法二]：建系法
令 BD=t，以D为原点，OC为x轴，建立平面直角坐标系.
则C（2t,0），A（1，），B（-t,0）
[方法三]：余弦定理
设BD=x,CD=2x.由余弦定理得
，，
，，
令，则，
，
，
当且仅当，即时等号成立.
[方法四]：判别式法
设，则
在中，，
在中，，
所以，记，
则
由方程有解得：
即，解得：
所以，此时
所以当取最小值时，，即.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算形象
15. 已知，.
（1）若，且、、三点共线，求的值.
（2）当实数为何值时，与垂直？
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，由、、C三点共线，可得与共线，列出方程即可得到的值；
（2）根据题意，由平面向量垂直的坐标运算，代入公式，即可得到结果.
【小问1详解】
由题意可得，，
且、、三点共线，则可得，
即，
解得；
【小问2详解】
由题意可得，，
因为与垂直，则可得,
解得.
16. 如图，在菱形中，.
（1）若，求的值；
（2）若，，求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意可知，即可求解；
（2），从而即可求解.
【小问1详解】
因为在菱形中，.
故，
故，所以.
【小问2详解】
显然，
所以
①，
因为菱形，且，，
故，.
所以.
故①式.
故.
17. 海岸上建有相距海里的雷达站C，D，某一时刻接到海上B船因动力故障发出的求救信号后，调配附近的A船紧急前往救援，雷达站测得角度数据为.

（1）救援出发时，A船距离雷达站C距离为多少？
（2）求之间的距离，并判断若A船以30海里每小时的速度前往B处，能否在3小时内赶到救援（说明理由）？
【答案】（1）120海里
（2），能在3小时内赶到救援，理由见解析
【解析】
【分析】（1）在中，求出，，利用正弦定理求解即可.
（2）在中，由正弦定理可得，在中，由余弦定理可得，比较时间即可判断.
【小问1详解】
在中，因为，，
所以，，
又，所以由正弦定理可得，即，解得，
所以A船距离雷达站C距离120海里；
【小问2详解】
在中，根据正弦定理可得，
即，解得，
在中，由余弦定理可得，
解得，
因为A船以30海里每小时的速度前往B处，而，
所以能在3小时内赶到救援.
18. 现有一几何体由上，下两部分组成，上部是正四棱锥，下部是正四棱柱（如图所示），且正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍.
（1）若，，求该几何体体积.
（2）若正四棱锥的侧棱长为，，
（i）求正四棱锥的侧面积.
（ii）若，分别是线段，上的动点，求的最小值.
【答案】（1）
（2）（ⅰ）（ⅱ）
【解析】
【分析】（1）代入四棱锥和四棱柱的体积公式，即可求解；
（2）（ⅰ）根据条件求四棱锥的底边长以及斜高，即可求解；（ⅱ）利用展开图，即可两点间距离，即可求解.
【小问1详解】
由条件可知，正四棱柱的高，
所以正四棱柱的体积为，
三棱锥的体积为，
所以该几何体的体积为；
小问2详解】
（ⅰ），所以，
正四棱锥侧面的高为，
所以正四棱锥的侧面积为；
（ⅱ）如图，将长方形，和展开在一个平面，
，，设
，，
，所以，
所以，
，
当四点共线时，最短，
所以
所以的最小值为.
19. 已知，，分别为三个内角，，的对边，满足，.
（1）求；
（2）若为锐角三角形，且外接圆圆心为，
（ⅰ）求的取值范围；
（ⅱ）求和面积之差的最大值.
【答案】（1）2 （2）（ⅰ）；（ⅱ）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理及辅助角公式求解即可；
（2）（ⅰ）根据平面向量的运算、数量积的性质及余弦定理可得，再利用正弦定理及两角和的正弦公式、正切函数的性质求解即；
（ⅱ）设外接圆半径为，由正弦定理可得，结合三角形的面积公式及二倍角公式可得，进而根据二次函数的性质求解即可.
【小问1详解】
由正弦定理得，，
则，即，
又，则，
则，即.
【小问2详解】
（ⅰ）由，
因为为外接圆圆心，即外心，
所以，，
由余弦定理得，，
所以，
由正弦定理得，，
则，
由，解得，
所以，则，
所以.
（ⅱ）设外接圆半径为，则，
且，即，
因为，，
所以，
，
所以，
由（ⅰ）知，，令，
则，
所以当时，取得最大值.