福建省厦门第六中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

这是一份福建省厦门第六中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版），共21页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若函数在处可导，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知是函数的导函数，且，则（ ）
A. 1B. 2C. D.
3. 函数在区间上的最小值是（ ）
A. B. C. D.
4. 若函数在区间上存在最值，则取值范围是（ ）
A. B. C. D. 或
5. 若函数在区间上存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，可导函数在点处的切线方程为，设，为的导函数，则下列结论中正确的是（ ）
A. ，是的极大值点
B. ，是的极小值点
C. ，不是的极大值点
D. ，是极值点
7. 若过点可以作的三条切线，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 设函数．若对任意的，都有成立，则实数的最小值是（ ）
A. B. C. 2D. 1
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.
9. 下列函数求导运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 函数的图象如图所示，则下列结论正确的有（ ）
A. B.
C. D.
11. 若、分别是函数、的零点，且，则称与互为“零点相邻函数”.已知与互为“零点相邻函数”，则的取值可能是（ ）
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 函数单调递减区间为____________．
13. 若函数在处有极小值，则__________.
14. 函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且满足，若不等式在上恒成立，则正实数的取值范围是________.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数的图象经过点．
（1）求曲线在点A处的切线方程．
（2）曲线是否存在过坐标原点的切线？若存在，求切点的坐标；若不存在，请说明理由．
16. 已知是等差数列的前n项和，且，
（1）求
（2）若，求数列前n项和为，并证明
17. 已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
18. 如图，在四棱锥中，平面，是上的点，且．
（1）证明：平面平面；
（2）求平面与平面夹角余弦值；
（3）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
19. 已知函数，，其导函数的最小值为0.
（1）求实数a的值.
（2）若，证明：
厦门六中2024—2025学年高二下3月月考数学试题
完成时间：120分钟 满分：150分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若函数在处可导，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用导数的定义求解.
【详解】因为函数在处可导，
所以，
故选：B
2. 已知是函数的导函数，且，则（ ）
A. 1B. 2C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求导，即可代入求解.
【详解】由可得，
故，解得，
故选：A
3. 函数在区间上的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用导数分析函数在区间上的单调性，可求出该函数的最小值.
【详解】因为，令，可得，列表如下：
所以，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，
因为，，
所以，函数在区间上的最小值.
故选：D.
4. 若函数在区间上存在最值，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】借助导数研究函数单调性即可得其在何处取得最值，即可得解.
【详解】，
则当时，，当时，，
即在上单调递减，在上单调递增，
即在处取得最值，则有，
解得.
故选：C.
5. 若函数在区间上存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求导后在区间上有解,等价于在区间上有解，分类讨论，计算即可.
【详解】，因为在区间上存在单调递减区间，
所以在区间上有解，即在区间上有解，
当显然不出来；
当时，，即，
故选:C．
6. 如图，可导函数在点处的切线方程为，设，为的导函数，则下列结论中正确的是（ ）
A. ，是的极大值点
B. ，是的极小值点
C. ，不是的极大值点
D. ，是的极值点
【答案】B
【解析】
【分析】由图判断函数的单调性，结合为在点处的切线方程，
则有，由此可判断极值情况.
【详解】由题得，的几何意义为当x取同值时，到的距离．
根据题意，当时，单调递减，
当时，单调递增，
又，则有是的极小值点，
故选:B．
7. 若过点可以作的三条切线，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设出切点坐标，求导并利用导数的几何意义求出切线方程，用表示出，再构造函数，利用导数探讨函数图象性质，进而求出的范围.
【详解】依题意，设切点坐标为，由，求导得，
则函数的图象在点处的切线方程为，
由切线过点，得，
令，依题意，直线与函数的图象有3个公共点，
，当或时，，当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，函数取得极小值，而当时，恒有，
又，因此当时，直线与函数的图象有3个公共点，
所以实数的取值范围是.
故选：B
【点睛】关键点点睛：涉及导数的几何意义的问题，求解时应把握导数的几何意义是函数图象在切点处的切线斜率，切点未知，设出切点是解题的关键.
8. 设函数．若对任意的，都有成立，则实数的最小值是（ ）
A. B. C. 2D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】利用导函数可知在内单减，不妨设，则．问题转化为令则在内单增.
【详解】因为所以，因此在内单减，
不妨设，则．
于是已知的不等式就是，
即
令则在内单增，
于是即
再令，
则，在内单增，
因此．所以，
故选：A.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.
9. 下列函数求导运算正确的是（ ）
A. B.
C D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据初等函数的导数计算公式求导即可.
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D错误.
故选：AC
10. 函数的图象如图所示，则下列结论正确的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】求出函数的导函数，根据函数的图象可知，，，将、用表示，分析从而可得出答案.
【详解】因为，，
由图可知，，，，
则，故C错误；
，，
两式相减得，即，
，则，
所以，则，所以，故AB正确；
则，故D正确.
故选：ABD.
11. 若、分别是函数、的零点，且，则称与互为“零点相邻函数”.已知与互为“零点相邻函数”，则的取值可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】求出函数的零点为，根据题中定义额可得出函数的零点为，令，可知，直线与函数在上的图象有公共点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围.
【详解】函数定义域为，
则对任意的恒成立，
所以，函数是上的增函数，且，则.
因为与互为“零点相邻函数”，所以，即，解得.
因为，所以0，所以在上有解，
即在上有解.
设，则.
由，得，由，得，
则在上单调递减，在上单调递增，
所以，函数的极小值为，如下图所示：
由图可知，当时，直线与函数在上的图象有公共点，
所以，，即实数的取值范围是.
故选：ABC.
【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 函数的单调递减区间为____________．
【答案】##
【解析】
【分析】先求出导函数，再根据，计算求解即可.
【详解】因为函数，定义域为，
所以，
令，所以，
的单调递减区间为.
故答案为：或.
13. 若函数在处有极小值，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据求得c，然后验证极值即可.
【详解】，
因为在处有极小值，
所以，解得或，
当时，令，解得或，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
此时，在处有极大值，不满足题意.
当时，令，解得或，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
此时，在处有极小值，满足题意.
故答案为：.
14. 函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且满足，若不等式在上恒成立，则正实数的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】先构造函数，利用该函数的单调性，把不等式转化为，进而转化为在上恒成立，再求函数的最大值即可.
【详解】设，则.
由f'x+2xfx>0得在上恒成立.
所以在单调递增.
当，时，不等式可化为：，
所以（）.
设，则.
由；由.
所以在上单调递增，在上单调递减.
所以.
所以.
所以正实数的取值范围是.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数的图象经过点．
（1）求曲线在点A处的切线方程．
（2）曲线是否存在过坐标原点的切线？若存在，求切点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）曲线存在过坐标原点的切线，且切点的坐标为或．
【解析】
【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可；
（2）设出过坐标原点的切线方程以及切点坐标，利用导数的几何意义以及切点既在切线上也在曲线上列出方程组求解即可.
【小问1详解】
依题意可得，则,
∵，∴，
∴曲线在点（1，5）处的切线方程为，
即；
【小问2详解】
设过原点的切线方程为，则切点为，
则,消去k，整理得，
解得或，
所以曲线存在过坐标原点的切线，且切点的坐标为或．
16. 已知是等差数列的前n项和，且，
（1）求
（2）若，求数列前n项和为，并证明
【答案】（1）
（2），证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用等差数列的基本量列方程求解即可；
（2）利用裂项相消的方法求和，结合放缩法即可得
【小问1详解】
设等差数列的公差为d，则由题意得：
即
解得
故，
故
【小问2详解】
，
17. 已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）答案见解析.
（2）
【解析】
【分析】（1）求导，分和讨论导函数的符号，可得函数的单调区间.
（2）用分离参数法把问题转化为恒成立，设，求的最大值即可.
【小问1详解】
因为（）.
所以.
当时，在上恒成立，所以函数在上单调递增；
当时，由；由，
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
综上可知：当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增.
【小问2详解】
当时，不等式可化为：在上恒成立.
所以在上恒成立.
设（），则.
由；由.
所以函数在上单调递增，在上单调递减.
所以.
所以实数取值范围为：.
18. 如图，在四棱锥中，平面，是上的点，且．
（1）证明：平面平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值；
（3）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析
（2）．
（3）存在，
【解析】
【分析】（1）利用线面垂直的判定定理，得到平面，进而得到平面平面；
（2）以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用面面夹角的向量求法即可得到结论.
（3）假设在线段上存在点Q，设，求出，利用点到面的距离的向量求法即可得到结论.
【小问1详解】
因为平面平面．
平面．
又因为平面，
平面，所以平面平面．
【小问2详解】
平面两两垂直，
如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
因为是上一点，所以设,
得，即，
又因为所以,
解得，，
，
设平面的法向量为，则，即,
令，则，
设平面的法向量为，则，即
令，则，
设平面与平面夹角的为，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
【小问3详解】
假设在线段上存在点Q，使得点Q到平面的距离是，
设，则，
由（2）知平面的一个法向量为，
所以点Q到平面距离是，
，所以存在点Q满足题意，此时
19. 已知函数，，其导函数的最小值为0.
（1）求实数a的值.
（2）若，证明：.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）设，求出函数的导函数，分，，，三种情况讨论函数的单调性，从而求得函数的最小值，再根据已知即可得解；
（2）由（1）知在R上单调递增，且，由，得，一个大于0，一个小于0，不妨设，要证，需证，只要证，即证，故只需证，令，，证明在上单调递减，即可得证.
【小问1详解】
解：设，
则.
①若，则单调递增，又，且，与题设矛盾.
②若，则无最小值，不合题意.
③若，当时，，此时单调递增；
当时，，此时单调递减.
所以，即，解得；
【小问2详解】
证明：由（1）知，恒成立，所以在R上单调递增，且，
因为，所以，一个大于0，一个小于0，不妨设，
要证，需证，因为在R上单调递增，
所以只要证，即证，
故只需证，
令，，
则，
令，
则，所以单调递增，
所以，从而在上单调递减，
所以，
即，
从而，所以
【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调区间及最值，考查了证明不等式成立的问题，还考查了转化思想及分类讨论思想，难度较大.
增
极大值
减
极小值
增