安徽省合肥市第九中学2024-2025学年高一下学期第一次教学质量检测 数学试卷（含解析）

这是一份安徽省合肥市第九中学2024-2025学年高一下学期第一次教学质量检测 数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 满分：150分）
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有1个正确答案，请把正确答案涂在答题卡上）
1. 设复数满足，则它的共轭复数的虚部为（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题目条件可直接求出复数，从而写出共轭复数，即可得到共轭复数的虚部．
【详解】依题意，，因此，所以的虚部为.
故选：C．
2. 已知平面向量，，若与共线，则实数的值为（ ）
A. 2B. C. 8D.
【答案】A
【解析】
【分析】先计算出向量的坐标，即，再根据向量共线解出的值.
【详解】由题意可得，
因为与共线，
所以，解得，故A正确.
故选：A
3. 已知，是不共线非零向量，则以下向量可以作为基底的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】由不共线的两个非零向量才可以作为基底，结合共线定理对各项逐一判断.
【详解】对于A，因为，所以与共线，不能作为基底；
对于B，设，则，解得，所以与共线，不能作为基底；
对于C，设，则，即：，此时无解，所以与不共线，可以作为基底；
对于D，设，则，即：，解得，所以与共线，不能作为基底；
故选：C.
4. 在水流速度的自西向东的河中，如果要使船以的速度从河的南岸垂直到达北岸，则船出发时行驶速度的方向和大小为（ ）
A. 北偏西，
B. 北偏西，
C. 北偏东，
D. 北偏东，
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，作出图形，借助于直角三角形求出的模和即得.
【详解】
如图，船从点O出发，沿方向行驶才能使船垂直到达对岸，
依题意，，，
则，则，
因为为锐角，故，
故船以的速度，以北偏西的方向行驶，才能垂直到达对岸.
故选:A.
5. 已知矩形中，为的中点，则的值为（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，由再结合数量积的运算律代入计算，即可得到结果.
【详解】.
故选：C.
6. 已知在中，，，，若三角形有两解，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据正弦定理即可结合图形关系得，即可求解.
【详解】由，要使三角形有两解，就是要使以为圆心，半径为的圆与有两个交点，
过作，则，
要使以为圆心，半径为的圆与有两个交点，则需要，
解得的取值范围是．
故选：B．

7. 已知非零向量与满足，且，，点是的边上的动点，则的最小值为（ ）
A. －1B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分析题目条件可得，取的中点，建立平面直角坐标系，利用坐标运算可得结果.
【详解】∵分别表示与方向的单位向量，
∴以这两个单位向量为邻边的平行四边形是菱形，故所在直线为的平分线所在直线，
∵，∴的平分线与垂直，故.
取的中点，连接，则，
由题意得，，
∴.

如图，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，
则，故.
设，则，∴，
∴，，
∴，
当时，取得最小值，最小值为.
故选：C.
8. 在中，角的对边分别为，若的平分线的长为，则边上的高线的长等于（ ）
A. B.
C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】由可得的值，进而可求得、的值，结合余弦定理可得，由等面积法可求得.
【详解】由题意知，设，则，如图所示，
由可得，
整理得，即，
又因为，所以，
所以，所以，
中，由余弦定理得，所以，
由可得，解得.
故选：B.
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，请把正确答案涂在答题卡上）
9. 下列叙述中错误的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，，则D. 对任一向量，是一个单位向量
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据向量的性质判断A，B，再根据共线向量零向量的性质判断C，根据特殊向量判断D.
【详解】因为是既有大小又有方向的量，所以向量不能比较大小，故A错误；
由于零向量定义可知，故B正确；
对于C，若为零向量，则与可能不是共线向量，故C错误；
对于D，当时，无意义，故D错误．
故选：ACD.
10. 已知向量，，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则的值为
B. 若值为，则
C. 若，则与的夹角为锐角
D. 若，则
【答案】AB
【解析】
【分析】结合向量垂直的坐标表示列方程求，判断A，先求，结合向量的模的坐标表示求，判断B，结合共线向量定理，举反例判断C，结合向量垂直关系求，再求，判断D.
【详解】对于A：若，则，解得，故A正确；
对于B：由可得，又，所以，
所以，故B正确；
对于C：当时，，又，所以，
所以与同向，此时与的夹角为，故C错误；
对于D：若，则，
即，即，解得，
当时，，，，，显然，
当时，，，，，此时，故D错误．
故选：AB．
11. “奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz）的lg很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知是内一点，、、的面积分别为、、，且.则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则为的重心
B. 若，则
C. 若，则
D. 若为的内心，且，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据重心的性质推导出，结合重心的定义可判断A选项；由“奔驰定理”结合平面向量的线性运算可判断BC选项；推导出，可得出为直角，结合锐角三角函数的定义可判断D选项.
【详解】对于A选项，若，则，
取线段的中点，连接，则，
所以，，即，故、、三点共线，
分别取线段、的中点、，连接、，
同理可证、、三点共线，、、三点共线，则为的重心，
因此，若，则为的重心，A对；
对于B选项，若，由“奔驰定理”可得，
所以，，所以，，
故，B对；
对于C选项，若，即，
即，即，
又，不共线，
所以，
所以由“奔驰定理”可得，C错；
对于D选项，若为的内心，设的内切圆半径为，
则，
因为，则，故，
设，则，，则，故为直角，
所以，，D对.
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于利用平面向量的线性运算与三角形的面积比的关系，转化为“奔驰定理”判断结论即可.
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，请把正确答案填涂在答题卡上）
12. 已知，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】由复数的除法求得复数，然后得到向量的模长.
【详解】,
则，
故答案为：
13. 已知向量，则在方向上的投影向量为______.
【答案】##
【解析】
【分析】根据投影向量的计算公式即可求解.
【详解】
在方向上的投影向量为
故答案为：
14. 赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了"勾股圆方图"，亦称"赵爽弦图"(以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成)．类比"赵爽弦图"，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设若，则λ-μ的值为___________
【答案】
【解析】
【分析】令AF=1，延长AD交BC于M，求出AB，BM，DM，再借助平面向量基本定理即可作答.
【详解】因，令AF=1，则有，中，，
由余弦定理得，延长AD交BC于M，如图，
由正弦定理得，则有，，
，
中，由正弦定理得，而，
因此得，，于是有，，
，，
因，由平面向量基本定理得，所以.
故答案为：
【点睛】思路点睛：用向量基本定理解决问题是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．
四、解答题（共77分）
15 已知向量，．
（1）求与的坐标；
（2）求向量，的夹角的余弦值．
【答案】（1），．
（2）
【解析】
【分析】（1）利用平面向量线性运算的坐标表示运算；
（2）利用平面向量夹角的坐标表示运算.
【小问1详解】
，．
【小问2详解】
，，，
,．
16. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，，
（1）解这个三角形；
（2）求的面积．
【答案】（1），，或，，．
（2）当时，，当时，.
【解析】
【分析】（1）根据正弦定理求得，分情况讨论并结合内角和公式求，利用余弦定理求得，
（2）结合（1）分情况，利用三角形面积公式求结论.
小问1详解】
由正弦定理可得，
因为，则或，
所以当时，，
因为，所以，
根据余弦定理可得，即，
解得或，又，
所以，
当时，，
因为，所以，
根据余弦定理可得，即，
解得或，又，
所以，
故该三角形，，或，，．
【小问2详解】
因为， ，
所以当时，
，
当时，.
17. 如图，在中，，，AD与BC相交于点M.设，.

（1）试用基底表示向量；
（2）在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过点M，若，，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由D，M，A三点共线，设，由C，M，B三点共线，可设，列出方程组，即可求解的值，得到结论；
（2）由E，M，F共线，设，由（1）可求得，化简即可求解.
【小问1详解】
因为C，M，B三点共线，D，M，A三点共线，所以设，，
则，，
所以，解得，所以；
【小问2详解】
因为E，M，F三点共线，所以设，
则，由（1）知，
所以，所以.
18. 在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求的大小；
（2）若，求周长的取值范围．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）由条件，利用正弦定理化边为角可得，再利用两角和公式及三角恒等变换化简可得，由此可求结论；
（2）设的外接圆半径为，利用正弦定理求，结合正弦定理可得，结合两角和关系消并化简，求的范围，结合正弦函数性质求结论.
【小问1详解】
因为，由正弦定理可得，
又，
所以，
因为，则，所以，
因为，所以，
【小问2详解】
设的外接圆半径为，
因为，，
，
因为锐角，.
，
周长.
19. 目前，中国已经建成全球最大的5G网络，无论是大山深处还是广袤平原，处处都能见到5G基站的身影.如图，某同学在一条水平公路上观测对面山顶上的一座5G基站AB，已知基站高，该同学眼高（眼睛到地面的距离），该同学在初始位置C处（眼睛所在位置）测得基站底部B的仰角为37°，测得基站顶场A的仰角为45°.
（1）求出山高BE（结果保留一位小数）；
（2）如图，当该同学面向基站AB前行时（保持在同一铅垂面内），记该同学所在位置M处（眼睛所在位置）到基站AB所在直线的距离，且记在M处观测基站底部B的仰角为，观测基站顶端A的仰角为.试问当x多大时，观测基站的视角最大？
参考数据：，，，.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）在中，利用正弦定理求出，再在中，求出即可；
（2）易得，分别在在和在中，求出，再根据两角和的正切公式结合基本不等式求出取得最大值时，的值，再根据正切函数的单调性即可得解.
【小问1详解】
由题意可知，，
在中，，
所以，
在中，，
所以出山高；
【小问2详解】
由题意知，且，
则，
在中，，
在中，，
则
，
当且仅当，即时，取等号，
所以取得最大值时，，
又因为，所以此时最大，
所以当时，最大.