安徽省A10联盟2024-2025学年高一下学期3月阶段考 数学试卷（北师大版）（含解析）

这是一份安徽省A10联盟2024-2025学年高一下学期3月阶段考 数学试卷（北师大版）（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.请在答题卡上作答.
第I卷（选择题共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求.
1. 已知全集，集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据集合的补集运算和交集运算求解.
【详解】由题，可得，
所以.
故选：B.
2. 点在平面直角坐标系中位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】先根据角的终边所在象限判断三角函数值的符，得到点的坐标的符号进而判断出点所在的象限.
【详解】因为，所以，因为，所以，
所以点平面直角坐标系中位于第四象限.
故选：D
3. 已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据不等式的解集求得，，再求解分式不等式即可.
【详解】由题可知的根为1和2，代入方程可得，，
不等式等价于，则解集为，
故选：D.
4. 某科研团队对某产品的一项新功能进行了8次测试，将不合格、合格、良、优的结果分别用0，1，2，3标记，若8次测试结果中有3次不合格、3次合格、1次良、1次优，则对于标记后的数据，下列结论错误的是（ ）
A. 75%分位数为1B. 极差为3C. 平均数为1D. 方差为1
【答案】A
【解析】
【分析】写出测试结果标记后得到数据，再利用极差，平均数，方差，百分位数的定义以及计算公式即可求解.
【详解】将8次测试结果标记后得到数据0，0，0，1，1，1，2，3，
对于A，因为，所以这组数据的百分位数为，故A错误；
对于B，这组数据的极差为，故B正确；
对于C，平均数为，故C正确；
对于D，方差为，故D正确.
故选：A.
5. 已知函数，若，则（ ）
A. 0B. C. 1D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数奇偶性性质，结合正弦余弦函数奇偶性进行求解即可.
【详解】的定义域为．
令，
则，所以为奇函数，
又，所以，
则，所以．
故选：D
6. 若函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用三角函数图象变换可得出变换后的函数解析式，由已知结合诱导公式可得出关于的等式，即可得出结果.
【详解】函数的图象向右平移个单位后得到，
所以，
，解得，
又，令，得，
所以的最小值为.
故选：B.
7. 已知曲线，，其中．点，，是曲线与依次相邻的三个交点．若是等腰直角三角形，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先做出图形，选择恰当的，，三点，因为三点在两曲线上所以坐标满足函数解析式，再根据是等腰直角三角形，找到对应的关系式解方程即可求出的值.
【详解】
因为点，，是曲线与依次相邻的三个交点，不妨设点为曲线与在轴上的交点，如图所示，为的中点，连接,
易知，,与轴平行，所以
又因为是等腰直角三角形，所以，所以
又因为在曲线上，所以，
又因为所以：即
所以.
故选：D
8. 已知函数，则方程实数根个数为（ ）
A. 10B. 8C. 6D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】设，先解出，再分别求解即可.
【详解】设，则，
若，则，解得或，
则或，
当时，，不合题意，
则，或，
解得，此时方程仅一个根；
若，则，解得或，即或，
当时，或，
方程即在仅一个根，
方程，即，
，且，，两根均为负，合题意，
当时 ，，解得或，方程有两根，
综上，方程的实根个数为6.
故选：C.
二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.
9. 下列函数中最小正周期为的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于ABC，根据最小正周期公式运算求解即可；对D，根据函数图象分析判断.
【详解】对于A，函数的最小正周期为，故A正确；
对于B，因为，所以的最小正周期为，故B错误；
对于C，的最小正周期为，故C正确；
对于D，作的图象，如图，由图可知的最小正周期为，故D正确.
故选：ACD.
10. 抛掷一枚骰子两次.设“第一次向上的点数是2”为事件，“第二次向上的点数是奇数”为事件，“两次向上的点数之和能被3整除”为事件，则下列说法正确的是（ ）
A. 事件与事件互为对立事件B.
C. D. 事件与事件相互不独立
【答案】BC
【解析】
【分析】由对立事件的定义判断A；应用列举法求、判断B；根据独立事件的判定判断D,根据并事件的概率即可求解C.
【详解】对于A，由事件定义，事件与事件可以同时发生，故不互为对立事件，A错误；
抛掷一枚骰子两次的样本点数共36种，
对于B，事件的样本点为，，，，，，，，，，，，，，，，，共18种，
事件的样本点为，，，，，，，，，，，共有12种，
事件的样本点为，，，，，共6种，
所以,， ，B正确；
因为，所以事件与事件相互独立，D错误．
事件的样本点为，共3种
事件的样本点为共12种，
由于互斥，故的样本点共有15种，故，C正确，
故选：BC．
11. 对于任意的，表示不超过的最大整数，例如：，．十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”．下列说法正确的是（ ）
A. 函数，的图象关于原点对称
B. 设，，则有
C. 函数，的值域为
D. 不等式的解集为
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据给定条件，取值验证判断A；利用，计算可判断B；由取整函数的定义得，进而判断C；解一元二次不等式，然后取整函数的定义求出解集判断D.
【详解】对于A：当时，，当时，，
即点，都在函数的图象上，它们关于原点不对称，
则函数的图象关于原点不对称，故A错误；
对于B，因为，
所以，故B正确；
对于C：由取整函数的定义知，，则，
因此函数，的值域为，故C正确；
对于D：由，得，解得，
而，则，因此，不等式的解集为，故D正确.
故选：BCD.
【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有：（1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思；（2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言；（3）将已知条件代入新定义的要素中；（4）结合数学知识进行解答.
第Ⅱ卷（非选择题共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知扇形的半径为2，圆心角为1，则扇形的周长为______.
【答案】6
【解析】
【分析】根据扇形的弧长公式计算直接得出结果.
【详解】由题意知，扇形的弧长为，
所以扇形的周长为.
故答案为：6
13. 若，且，则的最小值为______.
【答案】5
【解析】
【分析】由，且，得到,进而有，利用基本不等式求解.
【详解】解：因为，且，
所以,
则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为5，
故答案为：5
14. 若定义在上的函数同时满足：①为偶函数；②；③对任意的，且，都有，则不等式的解集为______.
【答案】
【解析】
【分析】构造新函数，根据题意分析判断的奇偶性和单调性，分类讨论结合的奇偶性和单调性解不等式.
【详解】令，由条件③可得，，且，
所以函数在上单调递减，
又为偶函数，且，
则，所以为奇函数，且，
所以在上单调递减，，
所以当时，，即，
当时，，即，
当时，，即，
当时，，即，
所以不等式的解集为.
故答案为：.
四、解答题：本大题共5个小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知角以轴的非负半轴为始边，点在角的终边上，且，
（1）求及的值；
（2）求的值．
【答案】（1）；；
（2）
【解析】
【分析】（1）根据正弦函数的定义可求的值，再根据定义可求；
（2）利用诱导公式和弦切互化法可求三角函数式的值.
【小问1详解】
因为点角的终边上，且，
根据三角函数定义，则，
解得或（舍），
所以．
【小问2详解】
则
，
16. 我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准（吨），一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.
（1）求直方图中的值；
（2）估计该地区月均用水量的60%分位数；
（3）现在该地区居民中任选2位居民，将月均用水量落入各组的频率视为概率，不同居民的月均用水量相互独立，求恰有1位居民月均用水量大于60%分位数的概率.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用频率分布直方图各小矩形面积和为1求出；
（2）根据百分位数的定义求解；
（3）根据给定条件，利用互斥事件、相互独立事件的概率公式列式计算得解.
【小问1详解】
根据题意，可得，
解得.
【小问2详解】
数据落在区间的频率为，
数据落在区间的频率和为，则用水量的分位数，
，解得，
所以估计该地区月均用水量的分位数为.
【小问3详解】
设事件表示第位居民月均用水量大于分位数，，
事件表示恰有1位居民月均用水量大于分位数，，
所以.
所以恰有1位居民月均用水量大于60%分位数的概率为.
17. 已知为奇函数，为常数.
（1）求的值；
（2）若，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据函数奇偶性定义可求出a的值，验证后即可确定答案；
（2）分离参数，将不等式恒成立问题转化为函数最值问题，结合判断函数单调性，求得函数最值，即可求得答案.
【小问1详解】
由于，函数为奇函数，
故，即，
则，即，
则，
当时，，不符合题意；
当时，，令，则或，
即函数定义域为，
，即函数为奇函数，符合题意，
故；
【小问2详解】
对于区间上的每一个的值，不等式恒成立，
即对于区间上的每一个的值，不等式恒成立，所以，
令，则在上单调递增，
而在上单调递增，故在上单调递增，
在上单调递增，故在上单调递增，
则的最小值为，
故.
18. 已知函数，且，，.
（1）求的值；
（2）求在区间上的单调递减区间；
（3）若关于的方程在区间上有且仅有4个不同的实数解，求实数的取值范围.
【答案】（1）2 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由已知条件确定对称中心与对称轴，再结合正弦函数的对称性求得；
（2）由正弦函数的单调性求解；
（3）先解方程得出或，然后由函数的图象与直线和的交点个数得出参数范围．
【小问1详解】
由，所以的图象关于直线对称，
又，所以的图象关于对称，
，即，
又，.
【小问2详解】
由，即在处取得最大值2，所以，
，则，
，即，
又，所以，
，
令，得，
由，可得，，
所以在区间上单调递减区间为．
【小问3详解】
方程可化为，
则或，
由（2）可知，在区间上的图象如图所示，
因为方程在区间上有且仅有4个不同的实数解，
所以或且，
解得或或.
所以实数的取值范围是.
19. 双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数（历史上著名的“悬链线问题”与之相关）．其中双曲正弦函数：，双曲余弦函数：（是自然对数的底数）．
（1）求的值；
（2）证明：两角和的双曲余弦公式；
（3）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）1； （2）证明见详解；
（3）
【解析】
【分析】（1）根据函数定义直接代入即可求；
（2）根据双曲函数的运算性质和指数幂的运算性质化简计算即可求解；
（3）由函数定义代入函数解析式，由题意可得在上恒成立，令，即求，令，结合二次函数性质即可求.
【小问1详解】
由题意，
【小问2详解】
因为左边
右边.
所以.
【小问3详解】
由题意可知在上恒成立，
整理得在上恒成立，
令，
则，
令，
因为，所以，
所以，所以，
所以，
因为，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，
故，即的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查了三角函数新定义问题，解答本题的关键在于理解双曲余弦函数以及双曲正弦函数的定义，然后结合所学函数知识解答.