安徽省太和县昌泰高级中学2024-2025学年高一下学期第一次月考 数学试卷（含解析）

这是一份安徽省太和县昌泰高级中学2024-2025学年高一下学期第一次月考 数学试卷（含解析），共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考试范围：必修二第6章 考试时间：120分钟 满分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求，选对得5分，选错得0分.
1. 化简等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量的加法运算求解即可.
【详解】
.
故选:C.
2. 等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用向量的减法运算可得答案.
【详解】，
故选：B
3. 已知是两个不共线的向量，向量， .若，则（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据向量共线定理结合向量的数乘运算、平面向量基本定理求解.
【详解】由题意，，设，即，
则，解得.
故选：A.
4. 已知向量满足，且，则向量在向量上的投影向量为（ ）
（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据投影向量的概念直接求解即可.
【详解】因满足，且，
所以，向量在向量上的投影向量为，
故选：D.
5. 已知向量满足，，，则（ ）
A. -2B. -1C. 1D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根据模长与数量积的关系列出得的方程，解方程组即可.
【详解】因为，且，
所以，解得.
故选：
6. 在中，角所对的边分别为，且，则等于（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，求出角A，再利用三角形内角和定理计算作答.
【详解】在中，由余弦定理得，
而，则，
所以.
故选：B
7. 在中，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用正弦定理的边角变换与余弦定理即可得解.
【详解】因为，
所以由正弦定理得，即，
则，故，
又，所以.
故选：B.
8. 记的内角的对边分别是，已知，，则的面积为（ ）
A. 1B. 2C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由正弦定理及余弦定理得，然后利用余弦定理结合三角形的面积公式，即可求解.
【详解】∵，
∴，，可得，
∵，，，
∴，
所以三角形的面积为.
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】由正弦定理边角互化结合正弦函数值域可判断选项正误
【详解】对于AB，注意到，又，则，然后由正弦定理边角互化可得，故A错误，B正确；
对于CD，由正弦定理边角互化，，故C正确；
，题目条件不足，无法判断.
故选：BC
10. 已知平面向量，，且，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据即向量、的坐标，求出，验证C选项，解出，再根据向量数量积的运算验证A选项，向量平行的坐标表示验证B选项，利用坐标求模长验证D选项即可求解.
【详解】因为，，
所以，
所以
，
所以，
因为，所以，
整理得：，解得，故C错误；
所以，，故A正确；
因为，，所以，所以，故B正确；
，故D正确.
故选：ABD
11. 设是任意的非零向量，且它们相互不共线，则（ ）
A.
B. 不与垂直
C.
D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据向量数量积的运算律可计算并判断A,B,D，利用三角形三边关系不等式可判断C.
【详解】根据向量数量积的分配律可知A正确；
对于B，因为，所以与垂直，故B错误；
对于C，因为不共线，所以组成三角形三边，则成立，故C正确；
根据向量数量积的运算律可知D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知点A(2，1)，B(－2，3)，O为坐标原点，且，则点C的坐标为________.
【答案】(04)
【解析】
【分析】由向量的坐标表示计算即可.
【详解】设C(x，y)，则.
由，则x＝0，y＝4.则.
故答案为：(0,4)
13. 已知的内角A，B，C所对边长分别是a，b，c，设向量，，若，则角B的大小为_____________.
【答案】
【解析】
【分析】由两向量共线的充要条件可得三角形边与角的关系，再利用余弦定理即可求解.
【详解】，
由正弦定理可化简得，
整理得.
【点睛】本题考查向量共线的充要条件，正、余弦定理的应用.熟练掌握并灵活运用正、余弦定理是解题关键.
14. 如图所示，当甲船位于处时获悉，在其正东方向相距20海里的处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西30°相距10海里处的乙船，乙船立即朝北偏东角的方向沿直线前往B处营救，则_____．
【答案】
【解析】
【分析】利用余弦定理可得的值，再利用正弦定理即可求解.
【详解】解：根据题意，,,,,
根据余弦定理,解得,
根据正弦定理，，解得.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知平面向量
（1）若，求x的值；
（2）若，求.
【答案】（1）或
（2）或
【解析】
【分析】（1）直接利用向量垂直的坐标表示，列方程求解；
（2）先通过向量平行的坐标公式求出，再通过向量的坐标运算求模.
【小问1详解】
，，
解得或；
【小问2详解】
，，即解得或，
当时，，，；
当时，，，，
或.
16. 已知，，且与的夹角为.
（1）求；
（2）求与的夹角的余弦值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由数量积的定义求出，再根据及数量积的运算律计算可得；
（2）首先根据数量积的运算律求出，再根据夹角公式计算可得.
【小问1详解】
由已知可得，
所以，
所以.
【小问2详解】
因为，
所以.
17. 在中，已知，，.
（1）求；
（2）若D为BC上一点，且，求的面积.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】(1)首先由余弦定理求得边长的值为，然后由余弦定理可得，最后由同角三角函数基本关系可得；
(2)由题意可得，则，据此即可求得的面积.
【小问1详解】
由余弦定理可得：
，
则，，
.
【小问2详解】
由三角形面积公式可得，
则.
18. 在中，已知．
（1）求证：；
（2）若，求A的值．
【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】
【分析】
详解】试题解析：(1)∵,∴,
即.
由正弦定理,得,∴.
又∵,∴.∴即.
(2)∵,∴.∴.
∴,即.∴.
由 (1) 得,解得.
∵,∴.∴.
考点：（1）向量的数量积的定义与正弦定理；（2）已知三角函数值，求角.
19. 如图，某广场有一块不规则的绿地，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为、，经测量，，，．
（1）求的长度；
（2）若环境标志的底座每平方米造价为5000元，不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建造费用较低（请说明理由）？较低造价为多少？
【答案】（1）
（2）小李的设计符合要求，理由见解析；总造价为（元）
【解析】
【分析】（1）根据余弦定理求解即可.
（2）根据正弦定理面积公式得到选择建筑环境标志费用较低，再计算其建造费用即可.
【小问1详解】
在中，由余弦定理，得．
在中，由余弦定理得．
由，得，所以，
解得，所以长度为．
【小问2详解】
小李的设计符合要求．理由如下：
因为，，
因为，所以，故选择建筑环境标志费用较低．
因为，所以是等边三角形，，
所以，
所以总造价为（元）．