安徽省合肥一中2022-2023学年高二数学下学期第一次质量检测试卷（Word版附解析）

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安徽省合肥一中2022-2023学年高二年级下学期第一次质量检测
数学试卷
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本卷和答题卡一并交回
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 若函数y1＝sin2x1＋，函数y2＝x2＋3，则(x1－x2)2＋(y1－y2)2的最小值为( )
A. π＋ B. C. 2 D.
【答案】D
【解析】表示两函数图象上任意两点之间的距离，其最小值应为曲线y1上与直线y2平行的切线的切点到直线y2的距离．
由题可得y1′＝2cos2x1，令y1′＝1，
则cos2x1＝，
得x1＝或(舍去)，所以y1＝，
故切点为，切点到直线y2的距离为＝，
所以(x1－x2)2＋(y1－y2)2的最小值为.
故选D.
2. 设函数f(x)=x-lnx(x>0),则f(x)(　　)
A. 在区间,(1,e)内均有零点
B. 在区间,(1,e)内均无零点
C. 在区间内有零点,在区间(1,e)内无零点
D. 在区间内无零点,在区间(1,e)内有零点
【答案】D
【解析】f'(x)=.
当0 由于f+1>0,f(1)=,f(e)=-1<0,故函数f(x)在区间内无零点,在区间(1,e)内有零点.故选D.
3. 已知函数f(x)的定义域是R,f(0)=2,且对任意x∈R,f(x)+f'(x)>1,则不等式ex·f(x)>ex+1的解集为(　　)
A. {x|x>0} B. {x|x<0} C. {x|x<-1或x>1} D. {x|x<-1或0 【答案】A
【解析】设g(x)=ex·f(x)-ex,
则g'(x)=ex·[f(x)+f'(x)-1].
∵对任意x∈R,f(x)+f'(x)>1,
∴g'(x)>0在R上恒成立.
∴g(x)=ex·f(x)-ex在R上为增函数.
又f(0)=2,∴g(0)=1.
故g(x)=ex·f(x)-ex>1的解集为{x|x>0},
即不等式ex·f(x)>ex+1的解集为{x|x>0}.
4. 已知函数f(x)＝sin，f′(x)是f(x)的导函数，则函数y＝2f(x)＋f′(x)的一个单调递减区间是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为函数f(x)＝sin，f′(x)是f(x)的导函数，所以函数y＝2f(x)＋f′(x)
＝2sin＋2cos
＝2sin＝2sin.
由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，可得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，结合选项可知，当k＝0时，函数y＝2f(x)＋f′(x)的一个单调递减区间为.故选A.
5. 若函数f(x)＝x3－12x在区间(k－1，k＋1)上不单调，则实数k的取值范围是( )
A. (－∞，－3]∪[－1,1]∪[3，＋∞) B. (－3，－1)∪(1,3)
C. (－2,2) D. 不存在这样的实数k
【答案】B
【解析】由题意得，f′(x)＝3x2－12＝0在区间(k－1，k＋1)上至少有一个实数根．
又f′(x)＝3x2－12＝0的根为±2，且f′(x)在x＝2或x＝－2两侧导数异号，而区间(k－1，k＋1)的区间长度为2，
故只有2或－2在区间(k－1，k＋1)内，
∴k－1<2 ∴1 6. 已知函数f(x)＝ax－x2－lnx存在极值，若这些极值的和大于5＋ln2，则实数a的取值范围为( )
A. (－∞，4) B. (4, ＋∞) C. (－∞，2) D. (2，＋∞)
【答案】B
【解析】∵f(x)＝ax－x2－lnx(x>0)，
∴f′(x)＝－.
∵f(x)存在极值，
∴f′(x)＝0在(0，＋∞)上有实根，
即2x2－ax＋1＝0在(0，＋∞)上有实根，
即a＝2x＋在(0, ＋∞)上有实根．
由2x＋≥2＝2，(当且仅当x＝时，等号成立)，
得a>2(a＝2时无极值，舍去)．
此时，f′(x)＝0有两个不相等的正实根，
设为x1，x2，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
∴f(x1)，f(x2)是f(x)的两个极值，
依题意得f(x1)＋f(x2)＝a(x1＋x2)－(x＋x)－(lnx1＋lnx2)＝－－ln＝＋1＋ln2>5＋ln2.
化简得a2>16，又a>2，∴a>4.
∴a的取值范围是(4，＋∞)．
7. 已知函数f(x)＝－x3－ax在(－∞，－1]上单调递减，且g(x)＝x2－在区间(1,2]上既有最大值，又有最小值，则实数a的取值范围是( )
A. (－2，＋∞) B. [－3，＋∞) C. [－3，－2) D. [－3，－2]
【答案】C
【解析】因为函数f(x)＝－x3－ax在(－∞，－1]上单调递减，
所以f′(x)＝－3x2－a≤0对于一切x∈(－∞，－1]恒成立，
得－3x2≤a，所以a≥－3.
又因为g(x)＝x2－在区间(1,2]上既有最大值，又有最小值，
所以，可知g′(x)＝2x＋在(1,2)上有零点，也就是极值点，
即2x＋＝0有解，解得a＝－2x3，
可得－16 8. 已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)为f(x)的导函数，且满足f(x)<－xf′(x)，则不等式f(x＋1)>(x－1)f(x2－1)的解集是( )
A. (2，＋∞) B. (1，＋∞) C. (1,2) D. (0,1)
【答案】A
【解析】设g(x)＝xf(x)，x∈(0，＋∞)，则g′(x)＝f(x)＋f(x)．
∵f(x)<－f(x)，∴g′(x)<0，
∴g(x)在(x，＋∞ )上为减函数．∵f(x)的定义域为(0，＋∞ )，
∴解得x>1.
将原不等式的两边同乘(x＋1)，得(x＋1)f(x＋1)>(x2－1)f(x2－1)，即g(x＋1)>g(x2－1),
∴x＋12或x<－1(舍去)，
∴原不等式的解集为(2，＋∞ )．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题列出的四个选项中，有多项符合题目要求的。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9. 已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述不正确的是( )

A. f(a)>f(e)>f(d)
B. 函数f(x)在[a，b]上单调递增，在[b，d]上单调递减
C. f(x)的极值点为c，e
D. f(x)的极大值为f(b)
【答案】ABD
【解析】由导数与函数单调性的关系知，
当f′(x)>0时，f(x)单调递增，
当f′(x)<0时，f(x)单调递减.
结合所给图象知，x∈(a，c)时，f′(x)>0，
∴f(x)在(a，c)上单调递增，
x∈(c，e)时，f′(x)<0，
∴f(x)在(c，e)上单调递减，
x∈(e，＋∞)时，f′(x)>0，
∴f(x)在(e，＋∞)上单调递增，
∴函数f(x)在x＝c处取得极大值，在x＝e处取得极小值，
∴f(x)的极值点为c，e.故C正确，A，B，D均不正确.
10. 已知函数f(x)＝x3－4x＋2，下列说法中正确的有(　　)
A. 函数f(x)的极大值为，极小值为－
B. 当x∈[3，4]时，函数f(x)的最大值为，最小值为－
C. 函数f(x)的单调减区间为[－2，2]
D. 曲线y＝f(x)在点(0，2)处的切线方程为y＝－4x＋2
【答案】ACD
【解析】因为f(x)＝x3－4x＋2，所以f′(x)＝x2－4，
由f′(x)>0，得x<－2或x>2，由f′(x)<0，得－2 所以函数f(x)在(－∞，－2)上递增，在[－2，2]上递减，在(2，＋∞)上递增，故选项C正确；
所以当x＝－2时，f(x)取得极大值f(－2)＝×(－2)3－4×(－2)＋2＝，
当x＝2时，f(x)取得极小值f(2)＝×23－4×2＋2＝－，故选项A正确；
当x∈[3，4]时，f(x)为单调递增函数，所以当x＝3时，f(x)取得最小值f(3)＝×33－4×3＋2＝－1，当x＝4时，f(x)取得最大值f(4)＝×43－4×4＋2＝，故选项B不正确；
因为f′(0)＝－4，所以曲线y＝f(x)在点(0，2)处的切线方程为y－2＝－4(x－0)，即y＝－4x＋2，故选项D正确．
11. 已知函数f(x)的导函数f′(x)＝a(x＋2)(x－a)，若f(x)在x＝a处取得极小值，则a的取值范围是( )
A. (－∞，－2) B. (0，＋∞) C. (0,1) D. (－1,0)
【答案】AB
【解析】∵f′(x)＝a(x＋2)(x－a)，若a<－2，则f(x)在(－∞，a)上单调递减，在(a，－2)上单调递增，∴f(x)在x＝a处取得极小值，符合题意；
若－2 在(a，＋∞)上单调递减，从而f(x)在x＝a处取得极大值，不符合题意；
若a>0，则f(x)在(－2，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增，从而f(x)在x＝a处取得极小值，符合题意．
12. 若存在过点O(0，0)的直线l与曲线f(x)＝x3－3x2＋2x和y＝x2＋a都相切，则a的值可以是(　　)
A. 1 B. C. D. －
【答案】AB
【解析】因为(0，0)在直线l上，当O(0，0)为f(x)的切点时，
因为f′(0)＝2，所以直线l的方程为y＝2x，
又直线l与y＝x2＋a相切，
所以x2＋a－2x＝0满足Δ＝4－4a＝0，得a＝1；
当O(0，0)不是f(x)的切点时，
设切点为(x0，x－3x＋2x0)(x0≠0)，
则f′(x0)＝3x－6x0＋2，
所以＝3x－6x0＋2，得x0＝，
所以f′＝－，所以直线l的方程为y＝－x.
由得x2＋x＋a＝0，
由题意得Δ＝－4a＝0，所以a＝.
综上得a＝1或a＝.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡的相应位置。
13. 已知数列{an}的前n项和为Sn，若2Sn＝3an－2n(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为___________________．
【答案】an＝3n－1
【解析】令n＝1，得2a1＝3a1－2，解得a1＝2；
当n≥2时，由2Sn＝3an－2n(n∈N*)，得2Sn－1＝3an－1－2(n－1)，
两式相减得2an＝3an－3an－1－2，即an＝3an－1＋2，整理得＝3，
∴数列{an＋1}是首项为a1＋1＝3，公比为3的等比数列，
∴an＋1＝3n，∴an＝3n－1.
14. 已知函数y＝e2x＋4－ln(2x＋5)，则该函数的图象在x＝－2处的切线的倾斜角为________.
【答案】
【解析】因为y＝e2x＋4－ln(2x＋5)，
所以y′＝e2x＋4×(2x＋4)′－×(2x＋5)′
＝e2x＋4×2－×2
＝e2x＋4－，
所以y′|x＝－2＝1－2＝－1.
设该函数的图象在x＝－2处的切线的倾斜角为α，
则tanα＝－1，
又α∈[0，π)，所以α＝，
所以该函数的图象在x＝－2处的切线的倾斜角为.
15. 定义在区间(0，＋∞)上函数f(x)使不等式2f(x) 【答案】(4，8)
【解析】令g(x)＝，则g′(x)＝，
因为xf′(x)<3f(x)，则xf′(x)－3f(x)<0.
所以g′(x)<0在(0，＋∞)上恒成立．
即g(x)在(0，＋∞)上单调递减，
可得g(2) 由2f(x)<3f(x)可得f(x)>0，则<8，
令h(x)＝，则h′(x)＝，
因为xf′(x)>2f(x)，即xf′(x)－2f(x)>0，
所以h′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，
即h(x)在(0，＋∞)上单调递增．所以h(2)>h(1).
即>f(1)，即>4，所以4<<8.
16. 已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，f(－2)＝0，且当x>0时<0，则不等式
(x－1)2f(x－1)>0的解集是________．
【答案】(－1,1)∪(3，＋∞)
【解析】由y＝f(x)是定义在R上的奇函数，f(－2)＝0，得f(2)＝0.
易知′＝，则当x>0时，y＝是增函数，
所以当x>2时，>＝0，即f(x)>0；
当0 又f(x)是奇函数，所以当－20；当x<－2时，f(x)<0.
不等式(x－1)2f(x－1)>0，即故或
解得x>3或－1 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（10分）已知等差数列{an}满足a2＋a4＝6，前7项的和S7＝28.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.
【答案】解　(1)设等差数列{an}的公差为d，
由a2＋a4＝6可知a3＝3，即a1＋2d＝3.
∵前7项和S7＝28，
∴a4＝4，即a1＋3d＝4，
解得a1＝1，d＝1.
∴数列{an}的通项公式为an＝1＋(n－1)×1＝n.
(2)∵bn＝
＝
＝－.
∴{bn}的前n项和Tn＝b1＋b2＋…＋bn
＝＋＋…＋＝－.
18. （12分）已知函数f(x)＝xlnx－ax2－x恰有两个极值点x1，x2(x1 (1)求实数a的取值范围；
(2)求证：2>a；
(3)求证：＋>2ae.(其中e为自然对数的底数)
【答案】(1)解由题意得f′(x)＝lnx－ax(x>0)，令f′(x)＝0，
得a＝，设g(x)＝(x>0)，g′(x)＝，故当0 g′(x)>0，当x>e时，g'(x)<0，所以g(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减．
又g(1)＝0，g(e)＝，当x>e时，g(x)>0，
所以实数a的取值范围为.
(2)证明由(1)得lnx2－ax2＝0，且x2>e，故a＝.要证2>a，只要证2>，只要证2>lnx2.
设h(x)＝2x－－lnx(x>e)，
则h′(x)＝2＋－＝>0，
所以h(x)在(e，＋∞)上单调递增，
故h(x)>h(e)＝2e－－1>0.
因此2>a成立．
(3)证明由(1)得lnx1－ax1＝0，lnx2－ax2＝0，且1 由(1)得0＜ae＜1，要证明＋>2ae，只要证明＋>2a.
故＋－2a＝－2a＝－2×＝·
＝.
设G(x)＝x－－2lnx(0 则G′(x)＝1＋－＝>0.
所以G(x)在(0,1)上单调递增，故G(x) 结合0＜＜1，所以x1－x2<0，－－2ln<0，故有＋－2a>0.
因此＋>2成立，所以＋>2ae.
19. （12分）已知函数f(x)＝2x3－3ax2－2，其中a∈R.
(1)若a＝1，求f(x)在[0，2]上的最大值和最小值；
(2)若x＝2是函数f(x)的一个极值点，求实数a的值．
【答案】解　(1)当a＝1时，f(x)＝2x3－3x2－2，f′(x)＝6x2－6x，
令f′(x)＝6x2－6x＝0，得x1＝0，x2＝1，
列表：

由表可知，函数f(x)在[0，2]上最大值为2，最小值为－3.
(2)f′(x)＝6x2－6ax，因为x＝2是函数f(x)的一个极值点，
所以f′(2)＝0，解得a＝2.
当a＝2时，f′(x)＝6x2－12x，令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝2.
列表：

因此，当a＝2时，x＝2是函数f(x)的一个极值点．
20. （12分）已知函数f(x)＝x3＋3xf′(a)(其中a∈R)，且f(a)＝，
求：(1)f(x)的表达式；
(2)曲线y＝f(x)在x＝a处的切线方程．
【答案】解　(1)f′(x)＝x2＋3f′(a)，于是有f′(a)＝a2＋3f′(a)⇒f′(a)＝－，
所以f(x)＝x3－x，
又f(a)＝，即a3－a3＝⇒a＝－1，
f(x)＝x3－x.
(2)由(1)知切点为，切线的斜率f′(a)＝－，
所以切线方程为y－＝－(x＋1)，
即3x＋6y－4＝0.
21. （12分）已知函数f(x)=x3+ax2-4x+3(x∈R).
(1)当a=2时,求f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)若函数f(x)在区间(1,2)内单调递减,求实数a的取值范围.
【答案】解　(1)当a=2时,∵f(x)=x3+2x2-4x+3,
∴f'(x)=3x2+4x-4.
∴f'(1)=3,即切线的斜率为3.
∵f(1)=2,∴切点为(1,2).
故所求切线方程为y-2=3(x-1),即3x-y-1=0.
(2)∵f(x)=x3+ax2-4x+3,
∴f'(x)=3x2+2ax-4.
∵函数f(x)在区间(1,2)内单调递减,
∴f'(x)≤0对x∈(1,2)恒成立,
即3x2+2ax-4≤0对x∈(1,2)恒成立,
从而a≤x,x∈(1,2).
设h(x)=x,则h'(x)=-.
∵当x>0时,h'(x)<0,
∴函数h(x)在区间(0,+∞)上单调递减.
∴当x∈[1,2]时,h(x)min=h(2)=-2.
∴a≤-2.
故实数a的取值范围为.
22. （14分）已知函数f(x)＝ex－cosx－ax.
(1)当a＝2时，证明：f(x)在(－∞，0)上单调递减；
(2)若对任意x≥0，f(x)≥x－cosx恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)证明　当a＝2时，函数f(x)＝ex－cosx－2x，f′(x)＝ex＋sinx－2，
若x<0，则ex<1.
因为sinx≤1，所以f′(x)＝ex＋sinx－2<0，
故f(x)在(－∞，0)上单调递减．
(2)解　当x＝0时，f(x)＝0≥－1，对a∈R恒成立；
当x>0时，由f(x)≥x－cosx，整理得a≤－1.
设g(x)＝－1，则g′(x)＝.
令g′(x)>0，得x>1，则g(x)在(1，＋∞)上单调递增；
令g′(x)<0，得0 所以g(x)min＝g(1)＝e－1，a≤e－1.
综上，实数a的取值范围是(－∞，e－1].