北京市西城区北京师范大学附属实验中22024−2025学年学高一下学期阶段测试一（3月） 数学试题（含解析）

这是一份北京市西城区北京师范大学附属实验中22024−2025学年学高一下学期阶段测试一（3月） 数学试题（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．的值为（ ）
A．B．C．D．
2．下列函数中，既是偶函数又是周期为的函数为（ ）．
A．B．C．D．
3．已知扇形的圆心角为2弧度，弧长为，则该扇形的面积为（ ）
A．B．
C．D．
4．要得到函数的图象，只需将函数图象上的所有点（ ）
A．先向右平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）
B．先向右平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）
C．先向右平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）
D．先向右平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）
5．如图是函数的部分图象，则该函数解析式为（ ）
A．B．
C．D．
6．在中，，则“”是“是钝角三角形”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
7．已知是定义在上的偶函数，当时，的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
8．已知函数，若关于的方程在区间上有且仅有4个不相等的实数根，则正数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共6小题）
9．已知，，则角是第 象限角.
10．函数的定义域为 .
11．如图，单位圆被点分为12等份，其中.角的始边与x轴的非负半轴重合，若的终边经过点，则 ；若，则角的终边与单位圆交于点 .（从中选择，写出所有满足要求的点）
12．已知命题若为第一象限角，且，则．能说明p为假命题的一组的值为 ， ．
13．已知函数 fx=cs2x+φφ＜π2 的图象关于直线 x=11π10 对称，且 fx 在 π6,m 上单调，则 m 的最大值为_____.
14．已知函数，给出下列四个结论：
①存在无数个零点；
②区间是的单调递增区间；
③若，则；
④在上无最大值.
其中所有正确结论的序号为 .
三、解答题（本大题共5小题）
15．已知函数，.
(1)填写下表，用“五点法”作函数在一个周期内的图象；
(2)函数的最小正周期_____；
(3)求函数的单调增区间和对称中心.
16．已知和是关于x的方程的两实根，且．
(1)求m的值；
(2)求．
17．已知某地某一天4点~16点的温度变化近似满足函，.
(1)求该地区这一天这一段时间内的最大温差；
(2)直接写出当天这段时间内，16点的温度与哪些时刻的温度相等？
(3)某种细菌能在温度不低于条件下生存，在4点～16点这段时间内，该细菌最多能生存多长时间?
18．设，，再从下面三个条件中选择两个作为已知条件，使的解析式唯一确定..
(1)求的解析式；
(2)设函数，对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.
条件①：对任意的，都有；
条件②：最小正周期为；
条件③：在上为增函数.
19．设函数的定义域为.若存在常数，，使得对于任意，成立，则称函数具有性质.
（1）判断函数和具有性质？(结论不要求证明)
（2）若函数具有性质，且其对应的，.已知当时，，求函数在区间上的最大值；
（3）若函数具有性质，且直线为其图像的一条对称轴，证明：为周期函数.
参考答案
1．【答案】A
【详解】.
故选A.
2．【答案】D
【分析】利用正弦函数、余弦函数、正切函数的奇偶性、周期性逐一判断得解.
【详解】对于AC：函数，都是奇函数，A错误，C错误；
对于B：函数是偶函数，周期为，B错误；
对于D：函数是偶函数，周期为，D正确.
故选D.
3．【答案】C
【详解】设扇形的半径为cm，则，
则该扇形的面积为.
故选C.
4．【答案】C
【详解】A：向右平移个单位长度得，横坐标伸长到原来的2倍得，故A错误；
B：向右平移个单位长度得，横坐标缩短到原来的得，故B错误；
C：向右平移个单位长度得，横坐标伸长到原来的2倍得，故C正确；
D：向右平移个单位长度得，横坐标缩短到原来的得，故D错误.
故选C.
5．【答案】B
【详解】观察图象知，，函数的周期，则，
由，得，而，则，
所以.
故选B.
6．【答案】A
【分析】先判断如果能不能推出是钝角三角形，再判断如果是钝角三角形，是否一定有即可.
【详解】如果，由于B是三角形的内角，并且，则，
即，是钝角三角形，
所以“”是“是钝角三角形”的充分条件；
如果是钝角三角形，不妨设，则，
所以“”不是“是钝角三角形”的必要条件.
故选A.
【方法总结】充分必要条件和对应集合的关系可根据如下规则转化：
若p是q的必要不充分条件，则q对应集合是p对应集合的真子集；
若p是q的充分不必要条件，则p对应集合是q对应集合的真子集；
(3)若p是q的充要条件，则p对应集合与q对应集合相等；
(4)若p是q的既不充分也不必要条件，则q对应集合与p对应集合互不包含.
7．【答案】C
【详解】因为是定义在,上的偶函数，当时，单调递减，，
所以时，函数单调递增，,
所以的解集,,，的解集，
当时，的解集,,，
时的解集,,，
则不等式可转化为或，
解得或或．
故选C．
8．【答案】D
【详解】令，∵，∴，
设，
若关于x的方程在区间上有且仅有4个不相等的实数根，
则在上有且仅有4个不相等的实数根，
∴，
故选D.
9．【答案】三
【详解】由，则角是第一、三象限角，
又，则角是第三象限角.
10．【答案】
【详解】由题意知，即，
由正弦函数的性质可解得，
即的定义域为.
11．【答案】
【详解】，所以终边经过则
角的始边与x轴的非负半轴重合，若的终边经过点，则，
所以
，即或
即或
经过点.
12．【答案】
【详解】因为在上单调递增，若，则，
取，
则，即，
令，则，
因为，则，
即，则.
不妨取，即满足题意.
13．【答案】 3π5
【详解】因为函数 fx=cs2x+φφ＜π2 的图象关于直线 x=11π10 对称，
所以 2×11π10+φ=kπ ， k∈Z ，即 φ=kπ−11π5 ， k∈Z ，
又 φ＜π2 ，所以 φ=−π5 ，从而 fx=cs2x−π5 .
因为 x∈π6,m ，所以 2x−π5∈2π15,2m−π5 ，因为函数 y=csx 在 0,π 上单调递减，在 π,2π 上单调递增，
所以 2π15＜2m−π5≤π ，即 π6＜m≤3π5 ，故 m 的最大值为 3π5 .
14．【答案】①③
【详解】对于①，由，解得函数的定义域为，
令，可得，则，
故，所以函数有无数个零点， ①正确；
对于②，，，
因为，
所以，故函数在上不可能单调递增，故②错误；
对于③，对任意的，
，
，所以当时，有，故③正确；
对于④，当时，，
令，可得，，
解得，，假设函数在上的最大值点为，
则，设，
因为，
则，
所以，则，
所以在上存在最大值点，则，
又因为在上是一条连续不断的曲线，
所以函数在上存在最大值，
故函数在上存在最大值，④错误；
综上，①③正确.
15．【答案】(1)见解析
(2)
(3)单调递增区间：，；对称中心：.
【详解】（1）
函数图象如图所示，
（2）由，可知；
（3）令，，
得，.
所以函数的单调递增区间：，.
令，得，
即的对称中心为：.
16．【答案】(1)；
(2)．
【详解】（1）由题可知，
又，
得．
（2）因为且，
则且，而，
解得（舍）或．综上，．
17．【答案】(1)
(2)点
(3)小时
【详解】（1）当时，有，则，
此时函数在时取到最大值为，在时取到最小值为，
所以该地区这一天这一段时间内的最大温差为；
（2）当时，，
则 ，
根据，可知，
所以16点的温度与12点的温度相等；
（3）由题意可得：，
因为，所以可得：，
解得：，
所以该细菌能生存的最长时间为小时.
18．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）若选择①②：
由函数最小正周期为，可得，可得，即，
又由对任意的，都有，可得关于对称，
即，即，
因为，可得或者，则无法确定；
若选择①③：
由对任意的，都有，可得关于对称，
即，即，
又由函数在为单调递增函数，可得，解得，
又由，可得，
因为函数在为增函数，则满足，
解得，所以，
即，解得，
综上，则无法确定，则无法确定.
若选择②③：
由函数最小正周期为，可得，可得，即，
又由，可得，
因为函数在为单调递增函数，则满足，解得，
所以，所以；
（2）由，
因为，可得，
所以，即，
又由对任意的，不等式恒成立，
即不等式恒成立，即恒成立，
令，即恒成立，
令在上为单调递增函数，则，所以，
即实数的取值范围为.
19．【答案】（1）函数不具有性质，具有性质，（2）在上有最大值，（3）证明见解析
【详解】解：
（1）假设具有性质，
即存在常数，，对于任意，有.
则当时，有，解得，不符合条件，
所以函数不具有性质；
当时，函数对于任意，成立，所以具有性质；
（2）设，则，则题意得，
所以，，
由，，得，
所以当时，，
所以当，在上有最大值，
（3）当，时，结论显然成立，
以下考虑不恒为零的情况，即，使得，
由直线为图像的一条对称轴，得，
由题意可得，，，使得成立，
所以，即，
由直线为图像的一条对称轴，得，
因为，，
所以，所以，
所以对于任意，成立，其中，
综上，为周期函数.0
0
0
0
x
0
0
2
0
0