北京市清华大学附属中学望京学校2024-2025学年高一下学期3月质量监测 数学试题（含解析）

这是一份北京市清华大学附属中学望京学校2024-2025学年高一下学期3月质量监测 数学试题（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考试时间120分钟，试卷满分150分
一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）
1. 已知向量，，且，则实数等于
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】∵ 向量，
∴
∵
∴，即
∴
故选C
2. 在中,已知,则
A. 6B. 12C. 6或12D. 无解
【答案】C
【解析】
【分析】
根据正弦定理求得，再根据，得，可得，从而可得.
【详解】由正弦定理得.
因为，所以.
又因为，
所以或120°.
当时，；
当时，.
所以或.
故选：C
【点睛】本题考查了利用正弦定理解三角形，注意求出后得的时候有两解，属于中档题.
3. 在边长为3的等边三角形中，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量数量积模与夹角计算公式可得结果.
【详解】因为，则，又等边三角形的边长为3
则
故选：B
4. 设向量，，则下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C. 与的夹角为D. 在方向上的投影为
【答案】C
【解析】
【分析】利用向量平行，垂直，夹角以及向量投影的坐标公式对各个选项进行检验即可.
【详解】A.，即两个向量不满足平行的坐标公式，故错误；
B.，即不满足向量垂直的坐标公式，故错误；
C.，，所以夹角为，正确；
D.在方向上的投影为，故错误.
故选：C
【点睛】本题考查两个向量平行，垂直以及两个向量的夹角坐标公式，考查向量投影的计算方法，属于基础题.
5. 在中，（a，b，c分别为角A，B，C的对边），则的形状为
A. 等边三角形B. 直角三角形
C. 等腰三角形或直角三角形D. 等腰直角三角形
【答案】B
【解析】
【分析】由二倍角公式和余弦定理化角为边后变形可得．
【详解】∵，∴，，，整理得，∴三角形为直角三角形．
故选：B．
【点睛】本题考查三角形形状的判断，考查二倍角公式和余弦定理，用余弦定理化角为边是解题关键．
6. 在直角梯形中，，，，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据题意得，，进而得，再结合已知和向量的加减法运算求解即可得的答案.
【详解】由题意可求得，，
所以，
又，
则
.
故选：C.
【点睛】本题考查用基底表示向量，考查运算能力，是基础题.
7. 已知非零空间向量，且，则一定共线的三点是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用向量加法求出、，结合已知向量及向量共线定理判断点共线即可.
【详解】由题设，，
结合题设中的向量，显然只有，即一定共线.
故选：B
8. 已知向量，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可
【详解】由，得，得，得(1，k)·(2，4)＝0，解得，
反之，当时，，所以，所以，
所以“”是“”的充要条件.
故选：C.
【点睛】此题考查充分条件和必要条件的判断，考查向量的运算，属于基础题
9. 将函数图象上的点向右平移个单位长度得到点P′.若P′位于函数的图象上，则（ ）
A. ，的最小值为B. ，的最小值为
C. ，最小值为D. ，的最小值为
【答案】A
【解析】
【分析】由题意在函数上，可得的值，求出的坐标，由题意可得关于的方程，可得的最小值．
【详解】点在函数上，所以，则,，
将,代入中可得,
，可得或，
由于，所以的最小值为．
故选：A
10. 已知向量，夹角为，||=2，对任意x∈R，有|+x|≥|-|，则|t-|+|t-|（t∈R）的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
【详解】对任意x∈R，有|+x|≥|-|，两边平方得，则
即有，即，则
∵ 向量，夹角为，||=2
∴
∴
∴
设，，建立平面直角坐标系，如图所示：
则，
∴，
∴它表示点与点、的距离之和的2倍
当三点共线时，取得最小值，即，故选D
点睛：平面向量中有关最值问题的求解通常有两种思路：①“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；②“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数的最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解.
二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）
11. 设向量，若向量与向量共线，则实数________.
【答案】2
【解析】
【分析】求得，根据，列出方程，即可求解.
【详解】由题意，向量，可得，
因为向量与向量共线，所以，解得.
故答案为：.
12. 的角，，的对边分别为，，，若，则角的大小为______.
【答案】
【解析】
【分析】直接利用余弦定理计算可得；
【详解】解：在中由余弦定理可得，又
所以
故答案为：
【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，属于基础题.
13. 已知的内角，，的对边分别为a，b，c，若，，，则的面积为____．
【答案】
【解析】
【详解】，由正弦定理可得 ，由余弦定理可得，，与，联立解得，，，则的面积，故答案为.
14. 将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，则的解析式为____；对于满足的，的最小值等于____.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据图象变换规律得，根据条件结合图象确定的最小值.
【详解】的图象向右平移个单位后得：
函数＝＝，
由于，
所以，分别是f（x），g（x）最大值或最小值点的横坐标，
不妨设f（x1）是最大值，g（x2）是最小值，则x1＝， ，
由图象得的最小值为：
【点睛】本题考查三角函数的图象及其性质，考查基本分析求解能力，属基础题.
15. 在等腰中，，，则____________；若点满足，则的值为___________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】利用余弦定理、平面向量及其线性运算、平面向量数量积的定义及运算分析运算即可得解.
【详解】解：
如上图，由题意等腰中，，则，
∵，，
∴，
∴，即，
∵由余弦定理得，
∴，即，又因边长，
∴.
∴是等边三角形，则，，
∵，
∴，，
∴
.
故答案：；.
16. 在直角中，斜边，为所在平面内一点，（其中），
①的取值范围是
②点经过的外心
③点所在轨迹的长度为2
④的取值范围是
则以上结论正确的是____．（填写序号）
【答案】①②④
【解析】
【分析】对①，由直角三角形结合向量的运算可得判断即可；对②③，由题意推导,进而可得P在线段OC上判断；对④，根据平面向量的线性运算可得·(＋)＝－2||||，再根据基本不等式求解即可.
【详解】对①，由中为斜边，
可得，
又斜边，则||，则·，①正确；
对②，若O为AB中点，则＝，故
又sin2θ＋cs2θ＝1，所以O，P，C共线，故P在线段OC上，轨迹长为1，
又O是△ABC的外心，所以②正确，③错误；
对④，又＋＝2，则·(＋)＝2·＝－2||||，
又||＋||＝||＝1，则||||≤＝，
当且仅当||＝||＝时，等号成立，
所以·(＋)＝－2||||，④正确．
故答案为：①②④
三、解答题（共5小题，共70分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）
17. 已知向量
（1）求坐标以及与之间的夹角；
（2）当为何值时，与垂直？
（3）当时，求的取值范围．
【答案】（1）， ；（2）；（3）
【解析】
【分析】（1）根据向量差公式与夹角公式可得结果；
（2）由与垂直可得，即可求得结果；
（3）由化简再结合即可求范围.
【详解】（1）因为，则；
设与之间的夹角为则，因为
故
（2）
因为与垂直，所以，则得
（3）由
因为，所以
所以
【点睛】本题的解题关键在于准确掌握向量线性运算，以及求角和模公式.
18. 在中，.
（1）求A；
（2）若，从下列三个条件中选出一个条件作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积.条件①：；条件②：；条件③：.
注：如果选择了不合适的条件，则第（2）问记0分.
【答案】（1）或
（2）18
【解析】
【分析】（1）根据已知条件利用正弦定理求解即可.
（2）由题意可知只有①符合，②③不符合，通过面积公式和正弦定理求解即可.
【小问1详解】
因为，
则由正弦定理可得，
，
因为
所以
所以或.
【小问2详解】
若选①，即，则，
所以，
所以，
则
，
由正弦定理得：
，
则存在且唯一确定，
面积为.
若选②，即，又，
所以，矛盾
所以②不成立；
若选③，
由，，，
得，
由余弦定理可得：，
当时，
得或舍；
当时，
得或舍；
此时存在但不唯一确定，所以不合题意.
19. 函数的部分图象如图所示．
（1）求函数的解析式；
（2）将函数的图象先向右平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，求在上的最大值和最小值；
（3）若函数的图象向右平移个单位得到函数，若为奇函数，求的最小值．
【答案】（1）
（2）最大值为，最小值为
（3）.
【解析】
【分析】（1）根据给定的函数图象，结合“五点法”作图求出函数解析式.
（2）利用函数图象变换求出，再利用正弦函数的性质求出指定区间上的最值.
（3）求出函数，再结合正弦型函数是奇函数的特征列式求解.
【小问1详解】
由函数的部分图象知，最小正周期，解得，
函数，由，得，而，则，
所以.
【小问2详解】
将向右平移个单位，得到，
再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的，得到，
由，得，则当，即时，，
当，即时，，
所以在上的最大值为，最小值为.
【小问3详解】
由（1）知，
由为奇函数，得，解得，
所以最小值为.
20. 某中学新校区有一块形状为平面四边形的土地准备种一些花圃，其中A，B为定点，（百米），（百米）.
（1）若，（百米），求平面四边形的面积；
（2）若（百米）.
（i）证明：；
（ii）若，面积依次为，，求的最大值.
【答案】（1）(平方百米)；（2）（i）证明见解析；（ii）最大值为（平方百米）.
【解析】
【分析】（1）由已知利用余弦定理可求得BC的值，进而根据三角形的面积公式得面积，求和即可计算求解．
（2）（ⅰ）分别在△ABD，△BCD中应用余弦定理化简即可得证．
（ii）利用三角形的面积公式，三角函数恒等变换的应用可求
，利用二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）令，在中，由余弦定理可得：
即，解得：或（舍）
在中，，，所以，
在中，，，所以边上的高为，
所以，所以（平方百米）.
（2）（i）在中，
在中
所以，
所以.
故得证.
（ii）
所以
因，
所以，可得
∴
所以时，，
即时取得最大值，且最大值为（平方百米）.
21. 设集合，其中是正整数，记．对于，，若存在整数k，满足，则称整除，设是满足整除的数对的个数．
（I）若，，写出，的值;
（Ⅱ）求的最大值;
（Ⅲ）设A中最小的元素为a，求使得取到最大值时的所有集合A．
【答案】（1），；（2）4；（3），或.
【解析】
【分析】
（1）根据定义得到，，即可得到，的值；
（2）结合条件得到最多有(1, 2)，(1, 3)， (1, 4)， (2,3)， (2, 4)，(3, 4)六种情况，
排除(2, 4) , (3，4)即可得到的最大值；
（3）假设，，根据定义可得或，进而得到A.
【详解】（1）根据条件所给定义，SA=15=5(1+2)=3(1+4)，故，
SB=24=4(1+5) =2(5+7)=2(1+11)=3 (1+7)，故.
（2）不妨设，因为，所以，不能整除，因为最多有(1, 2)，(1, 3)， (1, 4)， (2,3)， (2, 4)，(3, 4)六种情况，而(2, 4) , (3，4)不满足题意，所以，当时，，所以的最大值为4 ；
（3）假设，由（2）可知，当取到最大值4时，均能整除，因，
故，所以，
设，则是的因数，
所以是的因数，且是的因数，因为，
所以，因为是的因数，所以，
因为是的因数，所以是的因数，
因为，所以，所以或，
故，或，
所以当取到最大值4时，故，或.
【点睛】本题主要考查合情推理与演绎推理，考查集合的性质