北京市清华大学附属中学望京学校2024-2025学年高一上学期阶段检测（10月）数学试卷（Word版附解析）

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（考试时间120分钟，满分150分）
一、选择题10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接根据并集含义即可得到答案.
【详解】由题意得.
故选：C.
2. 已知命题，，则是（ ）
A. ，B. ，C. ，D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】根据全称量词命题的否定对命题进行否定即可.
【详解】由命题，，
则命题的否定为：，，
故选：A.
3. 下列不等式中成立的是
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】D
【解析】
【详解】试题分析：A中当时不成立；B中若不成立；C中不成立，所以D正确
考点：不等式性质
4. 关于x的方程的解集为（ ）
A. {0}B. {x|x≤0或x>1}
C. {x|0≤x<1}D. {x|x≠1}
【答案】B
【解析】
【分析】根据，利用绝对值的几何意义得到≥0，再利用一元二次不等式的解法求解.
【详解】因，
所以≥0，
所以x≤0或x>1，
所以方程的解集为{x|x≤0或x>1}．
故选：B
【点睛】本题主要考查绝对值的几何意义以及一元二次不等式的解法，属于基础题.
5. 已知集合，，若，则实数的取值集合为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求出集合M={x|x2=1}={﹣1，1}，当a=0时，N=∅，成立；当a≠0时，N={}，由N⊆M，得或=1．由此能求出实数a的取值集合．
【详解】∵集合M={x|x2=1}={﹣1，1}，N={x|ax=1}，N⊆M，
∴当a=0时，N=∅，成立；
当a≠0时，N={}，
∵N⊆M，∴或=1．
解得a=﹣1或a=1，
综上，实数a的取值集合为{1，﹣1，0}．
故选D．
【点睛】本题考查实数的取值范围的求法，考查子集、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
6. 设，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】求不等式的解集，由充分性和必要性的定义即可做出判断.
【详解】，

据此可知，是的必要不充分条件.
故选：B
【点睛】本题考查了解不等式和充分必要条件的判断，考查了数学运算能力和逻辑推理能力，属于一般题目.
7. 设，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. 或D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意求出条件的取值范围，再根据是的充分不必要条件列不等式组求得实数的取值范围．
【详解】解：由得，
所以，，
若是的充分不必要条件，则，解得，
所以实数的取值范围．
故选：A．
8. 对一切实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分离常数，结合基本不等式求得的取值范围.
【详解】当时，不等式恒成立，
当时，，
当时，，当且仅当时等号成立.
当时，，当且仅当时等号成立.
所以.
故选：B
9. 元旦将近，调查鲜花市场价格得知：购买2只玫瑰与1只康乃馨所需费用之和大于8元，而购买4只玫瑰与5只康乃馨所需费用额小于22元；设购买2只玫瑰花所需费用为元，购买3只康乃馨所需费用为元，则的大小关系是．
A. B. C. D. 的大小关系不确定
【答案】A
【解析】
【分析】设出玫瑰与康乃馨的单价，根据题意列出不等式，求出的表达式，利用不等式的性质求解即可.
【详解】设玫瑰与康乃馨的单价分别为(单位为：元)，则有.
所以有，因此.
可得：；
可得：，因此.
故选：A
【点睛】本题考查了数学阅读能力，考查了不等式性质的应用，考查了数学建模思想，考查数学运算能力.
10. 已知集合．若，且对任意，，均有，则集合中元素个数的最大值为（ ）
A. 20B. 19C. 11D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】根据，转化为集合中元素，也即这些元素对应的点的坐标组成的图形呈不下降趋势，集合中元素个数的最大值也即在符合题意的这些点中怎样取，保证趋势不下降的同时取的点最多，.
【详解】
由题知：集合．若，且对任意，，均有，
作如下等价转化：在符合题意的这些点中怎样取，保证趋势不下降的同时取的点最多，
因此集合中元素个数最大时元素可以为：共个，
也可以是共个，（还有其他取法只要保证这些点的趋势不下降即可）.
故选：B.
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
11. 函数的定义域为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据求定义域的法则求解.
【详解】要使函数有意义，
需满足，即，
则函数定义域为，
故答案为：.
12. 已知为正实数且满足，则的最小值是______，的最大值为______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】利用基本不等式结合相关变式即可求解，注意等号成立的条件.
【详解】由，，则，当且仅当取等号，
故，即的最小值为；
由，，
则,
所以，
所以的最大值为，当且仅当取等号.
故答案为：；.
13. 已知关于的方程有两个实根，且一个实根小于，一个实根大于，请写出一个满足条件的实数的值______．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据二次方程根的分布知识进行求解即可得到的取值范围，写出符合题意的一个即可．
【详解】令
易知有，或，
即：，或，
解得，或，
的取值范围为，
故答案为：（答案不唯一）.
14. 已知集合，其中．
①集合_______________；
②若，都有或，则c的取值范围是____________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】先求出集合A，再利用补集的定义求出；由题设知，从而求c的取值范围．
【详解】由或，则；
由，都有或，则，而或，，
所以，即c的取值范围是.
故答案为：；
15. 已知曲线，直线，给出下面四个结论：
①曲线关于直线对称；
②当时，存在实数，使得与恰有一个公共点；
③对于任意的，存在实数，使得与恰有三个不同的公共点；
④存在实数，使得与共有四个不同的公共点，且．
其中，正确结论的序号为______．
【答案】①④
【解析】
【分析】画出曲线的图象，数形结合，即可判断各项内容的正确性.
【详解】函数的草图如下：
对于①，易知函数图象关于直线对称，故①正确；
对于②，当时，可知直线与曲线必定有两个不同交点，故②不正确；
对于③，如上图所示，当时，过点作抛物线的切线交轴于，
则当时，过点的直线与曲线必有且只有两个交点（存在），故③错误；
对于④，如下图，设直线与曲线的交点距离在水平方向上等距即，
则，设直线与交于Ax1,y1、、、，
由；
由.
当时，
有
.
所以，时，与共有四个不同的公共点，且，
即存在实数，使得与共有四个不同的公共点，且，故④正确.
故答案为：①④.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
三、解答题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16. 已知集合，或x>2，．
（1）求，；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）或；
（2）或
【解析】
【分析】（1）解不等式可得集合，根据集合间运算的定义直接可得解；
（2）由补集的定义可得，再根据集合间的关系列不等式，解不等式组即可.
【小问1详解】
由已知，
或x>2
则或，，
则；
【小问2详解】
由，
得或，
又，
则或，
解得或，
即实数的取值范围是或.
17. 已知函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若时，的解集为，求的最小值.
【答案】（1）或x>2
（2）9
【解析】
【分析】（1）直接解一元二次不等式即可；
（2）先由韦达定理得，再由结合基本不等式即可求解.
【小问1详解】
当时，，解得或，故不等式的解集为或x>2；
【小问2详解】
若的解集为，则为的两个根，则，则，，当且仅当即时取等，
故的最小值为9.
18. 十九大以来，国家深入推进精准脱贫，加大资金投入，强化社会帮扶，为了更好的服务于人民，派调查组到某农村去考察和指导工作．该地区有300户农民，且都从事中药材种植，据了解，平均每户的年收入为2.5万元．为了调整产业结构，调查组和当地政府决定动员部分农民从事中药材加工，据估计，若能动员户农民从事中药材加工，则剩下的继续从事中药材种植的农民平均每户的年收入有望提高，而从事中药材加工的农民平均每户收入将为万元．
（1）若动员户农民从事中药材加工后，要使从事中药材种植的农民的总年收入不低于动员前从事中药材种植的农民的总年收入，求的取值范围；
（2）在（1）的条件下，要使这300户农民中从事中药材加工的农民的总收入始终不高于从事中药材种植的农民的总收入，求的最大值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先求出动员前后，从事中药材种植的农民的总年收入，列出不等关系，求出的取值范围；
（2）分别求出300户农民中从事中药材加工的农民的总收入和从事中药材种植的农民的总收入，结合基本不等式可得的最大值．
【小问1详解】
化简为，
解得，故的取值范围为.
【小问2详解】
由题意得，
整理可得，
因为，当且仅当时，取到最小值4；
所以，即的最大值为.
19. 设集合，．关于的不等式的解集为．
（1）若，求实数的值；
（2）若，求实数的取值范围；
（3）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由，则，代入方程求出，再检验是否符合题意即可；
（2）分和 时，①，②，进行分类讨论并验证即可；
（3）由，利用集合的运算进行求解即可.
【小问1详解】
由，又，则，
即是方程的一个实根，
则，解得，或，
当时，，此时，符合题意，
当时，，此时，不符合题意，
故.
【小问2详解】
由，则，
当时，则方程的无实根，
即，解得，
当时，①时，由（1）知，
， ，此时，故不符合题意；
当时，，此时，故符合题意；
②时，则是方程的一个实根，
即，解得，
当时，已验证符合题意；
当时，，此时，故符合题意；
综上.
【小问3详解】
由，即，
又，则，
，
又，则，或，
解得，或，
故实数的取值范围为.
20. 设函数．
（1）若不等式的解集为，求的取值范围；
（2）当时，求关于的不等式的解集；
（3）对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）答案见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据不等式解的情况判断对应方程解的情况，利用判别式列不等式，解不等式可得参数范围；
（2）分情况讨论不等式所对应方程的解，进而确定不等式的解集情况；
（3）分离参数可得，结合基本不等式求最值可得参数范围.
【小问1详解】
当时，，此时的解集为，成立；
当时，不等式的解集为，
则，解得，
综上所述，即；
【小问2详解】
，即为，
当时，，解得，即；
当时，即为，
对应方程的解为，，
当时，不等式为，且，不等式的解集为或，即；
当时，不等式为，且，不等式的解集为，即；
当时，，不等式为，解得，即；
当时，不等式为，且，不等式的解集为，即，
综上所述：
当时，不等式的解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
【小问3详解】
由已知对任意的，不等式恒成立，
即恒成立，即，
又是，恒成立，
则，
又，则，当且仅当时等号成立，
综上所述.
21. 给定正整数，设集合．若对任意，，，两数中至少有一个属于，则称集合具有性质．
（1）分别判断集合与是否具有性质；
（2）若集合具有性质，求的值；
（3）若具有性质的集合中包含6个元素，且，求集合．
【答案】（1）集合不具有性质，集合具有性质
（2）
（3），，或
【解析】
【分析】（1）根据性质的定义，即可判断两个集合是否满足；
（2）根据性质的定义，首先确定，再讨论是否属于集合，即可确定的取值，即可求解；
（3）首先确定集合中有0，并且有正数和负数，然后根据性质讨论集合中元素的关系，即可求解.
【小问1详解】
集合中的，，
所以集合不具有性质，
集合中的任何两个相同或不同的元素，相加或相减，两数中至少有一个属于集合，所以集合具有性质；
【小问2详解】
若集合具有性质，记，则，
令，则，从而必有，
不妨设，则，且，
令，，则，且，且，
以下分类讨论：
1）当时，若，此时，满足性质；
若，舍；若，无解；
2）当时，则，注意且，可知无解；
经检验符合题意，
综上；
【小问3详解】
首先容易知道集合中有0，有正数也有负数，
不妨设，其中，，
根据题意，
且，从而或，
1）当时，，
并且，，
由上可得，并且，
综上可知；
2）当时，同理可得，
据此，当中有包含6个元素，且时，符合条件的集合有5个，
分别是，，或.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是确定满足性质的集合里面有0，再对其他元素进行讨论.