北京市清华大学附属中学朝阳学校、望京学校2025届高三上学期开学检测数学试题（解析版）

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1. 已知集合A=｛1，2，3，4｝，，则A∩B=
A. ｛1,4｝B. ｛2，3｝C. {9，16}D. ｛1,2}
【答案】A
【解析】
【分析】依题意，，故
【详解】依题意，，故.
【考点定位】本题考查集合的表示以及集合的基本运算，考查学生对基本概念的理解.
2. 命题“，”的否定是
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：特称命题的否定是全称命题，并将结论加以否定，所以命题的否定为：，
考点：全称命题与特称命题
3. 下列函数中，是偶函数，且在区间上单调递增的为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据函数奇偶性的定义和基本初等函数的单调性，逐项进行判断即可．
【详解】y为奇函数，不符合题意，
y＝为偶函数，在区间单调递增，符合题意，
定义域为（0，+∞），是非奇非偶函数，不符合题意，
是偶函数，且x＞0时，y＝1-x单调递减，不符合题意．
故选：B．
4. 在同一个坐标系中画出函数，的部分图象，其中且，则下列图象中可能正确的是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题可采用排除法进行判定，再根据指数函数和三角函数的图象的特征进行判定.
【详解】，A项，∵，∴与为增函数矛盾.
B项，∵，∴，∴为增函数，错误.
C项，，∴，错误.
D项，，∴，为减函数，正确答案为D.
故选D.
【点睛】本题主要考查指数函数和三角函数的函数图像，熟练掌握指数函数、三角函数图像和性质是解决此题的关键.
5. 已知实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由数轴知，不妨取检验选项得解.
【详解】由数轴知，不妨取，
对于A，，不成立.
对于B，，不成立.
对于C，，不成立.
对于D，，因此成立.
故选：D．
【点睛】利用不等式性质比较大小．要注意不等式性质成立的前提条件．解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法．
6. 若向量满足，，且，则与的夹角为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量垂直列方程，化简求得正确答案.
【详解】设与的夹角为，
由于，所以，
所以，由于，所以.
故选：C
7. 已知，，满足，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
将转化为是函数的零点问题，再根据零点存在性定理即可得的范围，进而得答案.
【详解】解：因为函数在0,+∞上单调递减，所以；
；
因为满足，即是方程的实数根，
所以是函数的零点，
易知函数f(x)在定义域内是减函数，
因为，，
所以函数有唯一零点，即.
所以.
故选：A.
【点睛】本题考查对数式的大小，函数零点的取值范围，考查化归转化思想，是中档题.本题解题的关键在于将满足转化为是函数的零点，进而根据零点存在性定理即可得的范围.
8. 已知实数“”是“”的（）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】由条件推结论可判断充分性，由结论推条件可判断必要性.
【详解】当时，，
且，充分性成立；
当时，未必有，
例如时，此时，但不满足.
所以实数“”是“”的充分而不必要条件.
故选：A.
9. 函数，.若存在，使得，则的最大值为（）
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】构造函数，研究的单调性．
【详解】方程变形为：
，
设，则，
在上递减，在上递增，
∴，
∴的值域是，
若存在，使得，
则，，∴的最大值为8．
故选：D．
【点睛】本题考查函数的值域，解题关键是构造新函数，把问题转化为“存在，使得”，这样利用的值域就可以解决问题．
10. 已知函数，若对于任意正数，关于的方程都恰有两个不相等的实数根，则满足条件的实数的个数为（）
A. B.C. D. 无数
【答案】B
【解析】
【分析】分、、三种情况讨论，作出函数的图象，根据已知条件可得出关于实数的等式与不等式，进而可求得实数的取值.
【详解】当时，，作出函数的图象如下图所示：
由图可知，当时，关于的方程有且只有一个实根，不合乎题意；
当时，，如下图所示：
函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增，
由题意可得，解得；
若，则，如下图所示：
函数在单调递减，在上单调递减，在上单调递增，
由题意可得，此时无解.
综上所述，.
故选：B.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
二.填空题（本题共5小题，每小题5分，共25分）
11. 如图所示，在平面直角坐标系中，角的终边与单位圆交于点在第二象限，，则点的坐标为__________．
【答案】
【解析】
【详解】∵，∴，∴．
故答案为
12. 已知函数是R上的奇函数，并且是周期为3的周期函数，若，则___________；__________．
【答案】 ①. -2 ②. 0
【解析】
【分析】先由奇函数求出，，再利用周期性求出.
【详解】因为函数是R上的奇函数，，所以，
因为是周期为3的周期函数，所以．
由函数是R上的奇函数，所以，，
故答案为①-2；②0．
【点睛】（1）函数奇偶性的应用：① 利用奇偶性求函数值；②利用奇偶性画图像；③利用奇偶性求函数的解析式；
（2）函数的周期性通常用于与年份有关的问题.
13. 已知，则的最小值为______，此时等于______.
【答案】 ①. 21 ②. 11
【解析】
【分析】利用基本不等式求得正确答案.
【详解】由于，所以，
所以，
当且仅当时等号成立.
故答案为：；
14. 已知函数，若对任意都有，则常数的一个取值为__.
【答案】（答案不唯一，只要是即可）
【解析】
【分析】根据诱导公式求出都可满足条件.
【详解】由于对任意恒成立，
，
所以，故利用诱导公式得都可满足条件.
故答案为：（答案不唯一，只要是即可）
【点睛】思路点睛：正弦函数的奇偶性，对称性，周期性，单调性及诱导公式等等是我们必备的基础知识，做题时经常用到.
15. 已知，给出以下命题：
①当时，存在，有两个不同的零点
②当时，存在，有三个不同的零点
③当时，对任意的，的图象关于直线对称
④当时，对任意的，有且只有两个零点
其中所有正确的命题序号是______.
【答案】①②③
【解析】
【分析】当，时，利用导数可求得在时的单调性，确定，利用导数可求得，可确定时在上有唯一零点；代回时验证，结合零点存在定理可确定在定义域内共有两个不同零点，知①正确；当，时，易知为在上的唯一零点；当时，利用导数求得单调性，取，结合零点存在定理可说明在定义域内共有三个不同零点，知②正确；根据解析式验证知，知③正确；当时，结合导数可知时，有且仅有两个零点；当时，利用导数可求得单调性，通过反例时，有三个不同零点可知④错误.
【详解】对于①，当时，，则定义域为；
当时，，，
当时，令，解得：，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增；
，
令，则，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减；
，即当时，，则在上有唯一零点；
当，时，，，
在上单调递减，
，，，使得，
在有唯一零点；
则当，时，有两个不同的零点，①正确；
对于②，当时，，则定义域为；
当时，，；
当时，，，，
在上单调递减；又，在上有唯一零点；
当时，，；
令，解得：，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减；
；
令，则，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增；
不妨取，；
在上单调递增，在上单调递减；
又，，
，，使得，
即在上存在两个不同零点和；
则当，时，有三个不同的零点，②正确；
对于③，当时，，
，
对于任意的，的图象关于直线对称，③正确；
对于④，当时，，则定义域为；
当时，若，，；
则恒成立，在上单调递增，
又，在上有唯一零点；
若，，；
则恒成立，在上单调递减，
又，在上有唯一零点；
当时，有且仅有两个零点；
当时，若，，；
令，解得：（舍）或，
当时，；当时，；
不妨取，则在上单调递减，在上单调递增，
；
又，
，使得，又，恒成立，
当时，有三个不同零点，④错误.
故答案为：①②③.
【点睛】关键点点睛：本题重点考查了利用导数研究函数零点个数的问题；解题关键是能够通过分类讨论的方式，结合变量的范围讨论函数在区间内的单调性，结合零点存在定理确定函数在区间内的零点个数，从而得到结论.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
16. 已知函数.
（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；
（2）若在区间上有且只有两个零点，求的取值范围.
【答案】（1），，
（2）
【解析】
【分析】（1）利用二倍角公式及两角和的正弦公式化简，再根据正弦函数的性质计算可得；
（2）由的取值范围求出的取值范围，再根据正弦函数的性质计算可得.
【小问1详解】
因为
，
所以的最小正周期，
令，，
解得，，
所以函数的单调递增区间为，.
【小问2详解】
当，则，
又在区间上有且只有两个零点，所以，解得，
即的取值范围为.
17. 某公司在2013~2021年生产经营某种产品相关数据如下表所示：
注：年返修率
（1）从2013~2020年中随机抽取一年，求该年生产的产品的平均利润不小于100元/台的概率；
（2）公司规定：若年返修率不超过千分之一，则该公司生产部门当年考核优秀.现从2013~2020年中随机选出3年，记表示这3年中生产部门获得考核优秀的次数，求的分布列和数学期望；
（3）记公司在2013~2015年，2016~2018年，2019~2021年的年生产台数的方差分别为.若，其中表示这两个数中最大的数.请写出的最大值和最小值.（只需写出结论）
【答案】（1）
（2）见解析（3）的最大值为13，最小值为7.
【解析】
【分析】（1）由题表知2013~2020年中，产品的平均利润小于100元/台的年份只有2015年和2016年，据此算出从2013~2020年中随机抽取一年，求该年生产的产品的平均利润不小于100元/台的概率；
（2）由题表知，2013~2020年中，若年返修率不超过千分之一的年份只有2013年和2015年，所以的所有可能取值为1，2，3；分别算出相应概率可得分布列，然后用期望公式计算即可.
（3）根据表格求出，得到的取值范围，进而求得的最大值和最小值.
【小问1详解】
由题表知，2013~2020年中，产品的平均利润小于100元/台的年份只有2015年和2016年，所以从2013~2020年中随机抽取一年，求该年生产的产品的平均利润不小于100元/台的概率为；
【小问2详解】
由题表知，2013~2020年中，若年返修率不超过千分之一的年份只有2013年和2015年，所以的所有可能取值为1，2，3.
；
；
.
所以分布列为
所以.
【小问3详解】
的最大值为13，最小值为7.
18. 在中，，.
（1）求；
（2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积.
条件①：，；
条件②：，；
条件③：，边上的高为2
注：如果选择的条件不符合要求，第二问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，则按第一个解答计分.
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意，利用倍角公式求得，即可求解；
（2）根据题意，分别选择①②③，结合正弦定理和余弦定理，求得的长，结合题意，即可求解.
【小问1详解】
解：由中，，且，
可得，所以，
因为，所以.
【小问2详解】
解：若选条件①：，，
因为，由正弦定理得，
又由余弦定理，可得，
因为，代入解得，所以，
所以存在且唯一确定，此时的面积为.
若选择条件②：，
由正弦定理且，可得，
又由余弦定理，可得，
解得，
所以，
所以存在且唯一确定，此时的面积为.
若选条件③：，边上的高为2
因为，可得，
由余弦定理，可得，解得，
此时存在但不唯一确定，不符合题意.
19. 已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程为，求；
（2）求的单调区间；
（3）若关于的方程有两个不相等的实数根，记较小的实数根为，求证：.
【答案】（1）2（2）答案见解析
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求出函数的导函数，利用导数的几何意义求出切线方程，即可求出参数的值；
（2）求出函数的定义域与导函数，分、两种情况讨论，分别求出函数的单调区间；
（3）结合（2）及题意可得，且，从而得到，方法一：“”等价于“”，即，结合（2）即可证明；方法二：结合函数的单调性可知“”等价于“”，即faa-1>0，构造函数，利用函数的单调性证明即可.
【小问1详解】
因为，
所以，所以，
又因为，
所以曲线在点处的切线方程为，
即，
又切线方程为，所以；
【小问2详解】
函数的定义域为，，
当时，，所以的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，令，解得，
与在区间上的情况如下：
所以的单调递减区间为，单调递增区间为；
综上可得：当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，的单调递减区间为，单调递增区间为.
小问3详解】
由（2）知：
①当时，在上单调递增，
所以至多有一个实根，不符合题意.
②当时，在上单调递减，在上单调递增，
所以的最小值为；
若，则，所以至多有一个实根，不符合题意.
若，即，解得，
又，且在上单调递减，
所以在上有唯一零点；
因为方程有两个不相等的实数根，且较小的实数根为，
所以在上的唯一零点就是.
方法一：
所以，，
所以，
所以“”等价于“”，即.
由（2）知，当时，的最小值为.
又因为，所以.
所以.
方法二： “”等价于“”.
又，
所以.
因为在上单调递减，
所以“”等价于“”，
即，
因为，
令，则，.
即等价于，即.
所以 “”等价于“”.
令，，
所以，
当时，，所以在上单调递增，
所以，而，
所以成立，
所以.
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤：
（1）作差或变形；
（2）构造新的函数hx；
（3）利用导数研究hx的单调性或最值；
（4）根据单调性及最值，得到所证不等式．
特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．
20. 已知函数．
（1）当时，求函数在点处的切线方程；
（2）若函数在区间上单调递增，求实数a的取值范围；
（3）讨论函数的零点个数．
【答案】（1）；
（2）；
（3）时，有1个零点，时，有3个零点
【解析】
【分析】（1）由导数法求切线即可；
（2）函数在区间上单调递增等价于在上恒成立，即在上恒成立，由均值不等式求最小值即可；
（3）当，由（2）中在区间上单调递增可得有1个零点，当，由导数法讨论的单调性，再结合零点存在定理判断即可.
【小问1详解】
，，，
当时，，故函数在点处的切线方程为；
【小问2详解】
函数在区间上单调递增等价于在上恒成立，即在上恒成立，
∵，当且仅当即时成立，故实数a的取值范围为；
【小问3详解】
由（2）得，当，函数在区间上单调递增，又，故有1个零点；
当，令，由得，，，
，，
由二次函数性质，在上，，；在上，，；在，，，
∴在，单调递增，在单调递减，
又，∴，，又，，
所以存在唯一的，使得，
即有3个零点．
点睛】（1）含参不等式恒成立问题，一般通过构造函数解决.
一般将参数分离出来，用导数法讨论不含参数部分的最值；或者包含参数一起，用导数法对参数分类讨论.
当参数不能分离出来时，也可尝试将不等式左右变形成一致形式，即可将该形式构造成函数，通过导数法分析单调性，将问题等价成对应自变量的不等式.
（2）含参函数零点个数问题，
i. 一般对参数分类讨论，利用导数研究函数单调性，结合函数图象与零点存在定理判断；
ii. 将参数分离出来，用导数法讨论不含参数部分的单调性，由数形结合，转化成两个图象交点的问题；
21. 在平面直角坐标系中，为坐标原点．对任意的点，定义．任取点，，记，，若此时成立，则称点，相关．
（1）分别判断下面各组中两点是否相关，并说明理由；
①，；②，．
（2）给定，，点集．
（）求集合中与点相关的点的个数；
（）若，且对于任意的，，点，相关，求中元素个数的最大值．
【答案】（1）①相关；②不相关.（2）（）个（）.
【解析】
【分析】（1）根据所给定义，代入不等式化简变形可得对应坐标满足的关系，即可判断所给两个点的坐标是否符合定义要求.
（2）（）根据所给点集，依次判断在四个象限内满足的点个数，坐标轴上及原点的个数，即可求得集合中与点相关的点的个数；（）由（1）可知相关点满足，利用分类讨论证明，即可求得中元素个数的最大值．
【详解】若点，相关，则，，而，
不妨设，
则由定义可知，
化简变形可得，
（1）对于①，；对应坐标取绝对值，代入可知成立，因此相关；
②对应坐标取绝对值，代入可知，因此不相关.
（2）（）在第一象限内，，可知且，有个点；同理可知，在第二象限、第三象限、第四象限也各有个点.
在轴正半轴上，点满足条件；在轴负半轴上，点满足条件；
在轴正半轴上，点满足条件；在轴负半轴上，点满足条件；
原点满足条件；
因此集合中共有个点与点相关.
（）若两个不同的点，相关，其中，，，，
可知.
下面证明.
若，则，成立；
若，则，
若，则，亦成立.
由于，
因此最多有个点两两相关，其中最多有个点在第一象限；最少有1个点在坐标轴正半轴上，一个点为原点.
因此中元素个数的最大值为.
【点睛】本题考查了集合中新定义的应用，对题意的理解与分析能力的要求较高，属于难题.年份
2013
2014
2015
2016
2017
2018
2019
2020
2021
年生产台数（单位：万台）
3
4
5
6
6
9
10
10
年返修台数（单位：台）
32
38
54
58
52
71
80
75
年利润（单位：百万元）
1
2
3
单调递减
极小值
单调递增