北京市清华大学附属中学2025-2026学年高三上学期开学考试数学试题（含解析）

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一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1. 已知集合A=x∈N*1a，其中．
（1）当时，_____．
（2）若有最大值，则的取值范围为_____．
15. 设无穷数列的前项和为，且，．给出下列四个结论：
①若，；
②若，则；
③当时，是等比数列；
④对任意，总存在直线，使得点到的距离随着的变大而变小．
其中正确结论的序号是_____．
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，且．
（1）求角B的大小；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得唯一确定，求的周长，
条件①：
条件②：
条件③：边上的高是7．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
17. 已知四棱锥，，，，于点E，．
（1）若点F在线段PE上，且∥平面，证明：F是中点．
（2）若平面，求直线与平面所成角的正弦值．
18. 北京中轴线位于北京老城中心，纵贯老城南北，是统领整个老城规划格局的建筑与遗址的组合体，其中9处中轴线遗产点分为A、B、C三种类型，如下表：
在上述9处中轴线遗产点中，某研学团队计划随机选取3处进行研学
（1）求选取的3处遗产点都为A类的概率；
（2）设选取的3处遗产点的类型种数为X，求X的分布列及数学期望；
（3）设选取的3处遗产点中，A，B，C类遗产点的个数分别为，，，记，，，直接写出方差，与大小关系．（无需证明）
19. 已知椭圆：的右顶点为，焦距为．
（1）求椭圆的方程及离心率；
（2）过作直线交椭圆E于不同两点，设直线，分别与直线交于点，，比较与的大小，并给出证明．
20. 已知函数．
（1）当时，若直线过原点，且是曲线的切线，求的斜率；
（2）当时，求证：存在唯一极值点且极大值点；
（3）若直线与曲线有且仅有两个交点，请直接写出的取值范围．
21. 对给定的，已知A为（n行n列）数表，记数表A的第i行第j列元素为，其中，，，数表A所有元素构成的集合为．若数表A的任意行及任意列的n个元素都至多只有两种取值，称数表A满足性质P．
（1）当时，对满足性质P的3×3数表A，
①若数表A有如下形式，请直接写出的所有可能取值．
②请判断是否存在数表A，使得？若存在，求出满足数表A的个数；若不存在，请说明理由．
（2）对给定的，对满足性质P的数表A，求的最大值．
注：用表示有限集合的元素个数，特别地．
类型
A（古代皇家宫苑建筑）
B（古代皇家祭祀建筑）
C（古代城市管理设施）
中轴线遗产点
景山
故宫
端门
太庙
社稷坛
天坛
钟鼓楼
正阳门
永定门
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