河南省驻马店市汝南县第一高级中学2024−2025学年高三下学期3月阶段性测试数学试卷（含解析）

这是一份河南省驻马店市汝南县第一高级中学2024−2025学年高三下学期3月阶段性测试数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知，虚数是关于的方程的根，则（ ）
A．B．0C．1D．2
3．下列函数中既是奇函数，又是定义域上的增函数的是（ ）
A．B．
C．D．
4．有5辆车停放6个并排车位，货车甲车体较宽，停靠时需要占两个车位，并且乙车不与货车甲相邻停放，则共有（ ）种停放方法．
A．72B．144C．108D．96
5．在平面直角坐标系中，已知圆，点，若圆上存在点，满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，点到点的距离与到直线的距离相等，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．已知函数和的图象的对称轴完全相同，令，则下列结论错误的是（ ）
A．的一个周期为B．的图象关于直线对称
C．的一个零点为D．在单调递减
8．已知四面体的顶点均在半径为的同一球面上，且，则该四面体体积的最大值为（ ）
A．B．3C．4D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知椭圆的右焦点为，过作两条互相垂直的直线和和分别与交于和，则（ ）
A．的离心率为
B．存在直线，使得
C．为定值
D．若上每个点的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，则变为圆
10．柏拉图实体，也称为柏拉图多面体，是一组具有高度对称性的几何体．它们的特点是每个面都是相同的正多边形，每个顶点处的面的排列也完全相同．正八面体就是柏拉图实体的一种．如图是一个棱长为2的正八面体．甲、乙二人使用它作游戏：甲任选三个顶点，乙任选三个面的中心点，构成三角形．甲、乙选择互不影响，下列说法正确的是（ ）
A．该正八面体的外接球的体积为
B．平面截该正八面体的外接球所得截面的面积为
C．甲能构成正三角形的概率为
D．甲与乙均能构成正三角形的概率为
11．已知各项均不为零的数列，其前项和是，且. 下列说法正确的是（ ）
A．
B．若为递增数列，则的取值范围是
C．存在实数，使得为等比数列
D．，使得当时，总有
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知一组数据233，144，89，55，34，21，13，8，5，3，2，1，则它们的上四分位数为 ．（用具体数值作答）
13．幻方是一种中国传统游戏，其规则是将数字填在正方形格子中，使每行、每列和对角线上的数字的和都相等．如图，已知一个三阶幻方由1至9这9个不同的数组成，则 ， ．
14．设为自然对数的底数，若函数存在三个零点，则实数的取值范围是 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．如图，在三棱锥中，平面，．
(1)在线段上找一点，使平面平面，求的长；
(2)若为的中点，求与平面所成角的正弦值．
16．已知双曲线的左、右焦点分别为、，离心率为，上一点与、的距离的差的绝对值等于4．
(1)求双曲线的方程；
(2)过点作斜率为的直线与交于、两点．当为锐角时，求的取值范围．
17．某科研团队研发了一款快速检测某种疾病的试剂盒.为了解该试剂盒检测的准确性，科研团队从某地区（人数众多）随机选取了40位患者和60位非患者，用该试剂盒分别对他们进行了一次检测，结果如下：
(1)试估计使用该试剂盒进行一次检测结果正确的概率；
(2)若从该地区的患者和非患者中分别抽取2人进行一次检测，求恰有一人检测结果错误的概率；
(3)假设该地区有10万人，患病率为0.01.从该地区随机选取一人，用该试剂盒对其检测一次.若检测结果为阳性，能否判断此人患该疾病的概率超过0.2？并说明理由.
18．已知椭圆（）的左、右焦点分别为，，离心率，椭圆的短轴长为2.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知直线，过右焦点，且它们的斜率乘积为，设，分别与椭圆交于点A，B和C，D．
①求的值；
②设的中点M，的中点为N，求面积的最大值.
19．定义：对于一个多项式，如果存在正整数，使得可以表示为，其中，则称为“阶整数分解多项式”．
(1)判断多项式是否为整数分解多项式？并说明理由；
(2)若，且互不相同，求的值；
(3)若为5阶整数分解多项式，为的互不相等的整数根，试用的根来表示的整数根．
参考答案
1．【答案】A
【详解】由，可得，解得或，
所以或，
又，
所以.
故选A．
2．【答案】B
【详解】由题，，即，
所以，得，，所以.
故选B．
3．【答案】D
【详解】A：，定义域为R，是偶函数，不符；
B：，定义域为，是奇函数，
根据复合函数的单调性，易知在上单调递减，不符；
C：，定义域为R，是偶函数，不符；
D：，定义域为R，是奇函数，
根据复合函数的单调性，易知在R上单调递增，符合.
故选D.
4．【答案】A
【详解】先停入货车甲，若货车甲不靠边，共有种停法，则乙车有种停法，
除甲、乙外的其它三辆车共有种停法；
若货车甲靠边，共有种停法，则乙车有种停法，
除甲、乙外的其它三辆车的排法共有种，
故共有种停放方法.
故选A.
5．【答案】B
【详解】设，则，.
因为，所以，
即，所以点的轨迹是以为圆心，以1为半径的圆.
又因为点在圆上，所以圆与圆有公共点，所以，
即，解得.
故选B.
6．【答案】B
【详解】抛物线的准线为，
又点在抛物线，所以点到点的距离与到直线的距离相等，
又，点到点的距离与到直线的距离相等，
所以，解得，即，所以，解得.
故选B．
7．【答案】D
【详解】令，则为的对称轴方程，
令，则为的对称轴方程，
由与的对称轴完全相同，则，即对称轴为，
所以且，则，
所以，其最小正周期，故也是一个周期，A对；
，故的图象关于直线对称，B对；
，当有，
所以的一个零点为，C对；
，则，显然在给定区间内不单调，D错.
故选D.
8．【答案】C
【详解】因为，四面体外接球的半径为，设球心为，设为的中点，为的中点，
则球心到的中点的距离，
球心到的中点的距离；

所以，
，
所以，又，，
所以，当且仅当与垂直，且均与垂直时取等号．
故选C．
9．【答案】ABC
【详解】由椭圆，可得，所以，
所以椭圆的离心率为；故A正确；
可得椭圆的右焦点为，
当直线的斜率为0时，直线的方程为，此时，，
当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，，

联立，消去，可得，整理得，
所以，
所以
，
同理可得，
，当时，，且
所以的最小值为，最大值为，故B正确；
当直线的斜率为0时，直线斜率不存在，此时，，
当直线的斜率为0时，直线斜率不存在，同理可得
当直线，的斜率不为0时，
为定值，故C正确；
若上每个点的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，则方程为，故不是圆，故D错误.
故选ABC.
10．【答案】ABD
【详解】A：由棱长为2，得正八面体上半部分的斜高为，高为，
则正八面体的体积为．
则正八面体的外接球的球心为，半径为，
所以外接球的体积为，故A正确；
B：由于到平面的距离等于到平面的距离，
在中，过作的垂线，垂足为，则平面．
由，得，
平面截正八面体的外接球所得截面是圆，半径，
所以所得截面的面积为，故B正确；
C：甲随机选择的情况有种，甲选择的三个点构成正三角形，只有一种情况：
甲从上下两个点中选一个，从中间四个点中选相邻两个，共有种，
甲构成正三角形的概率为，故C错误；
D：乙随机选择的情况有种，乙构成正三角形，只有一种情况：
上面四个面的中心中选一个点且从下面四个面的中心选相对的两个点，
或下面四个面的中心中选一个点且从上面四个面的中心选相对的两个点，
共有种，概率为；又甲能构成正三角形的概率为，
所以甲与乙均能构成正三角形的概率为，故D正确.
故选ABD．
11．【答案】ABD
【详解】由得，
相减可得，，
由于各项均不为零，所以，所以的奇数项和偶数项分别为公差为1的等差数列，
对于A，，，故正确；
对于B，由于的奇数项和偶数项分别为公差为1的等差数列，所以，
若，则需要，则，故正确，
对于C，，若为等比数列，则为常数，则，
此时，故，进而可得数列的项为显然这不是等比数列，故错误，
对于D，若，只要足够大，一定会有 ，
则，只要足够的大， 趋近于0，
而，显然能满足，故，当时，总有，故正确，
故选ABD.
12．【答案】
【详解】把数据由小到大排列为1，2，3，5，8，13，34，21，55，89，144，233.
因为，所以上四分位数为.
13．【答案】 3 16
【详解】由对角线，可知每行、每列、对角线的和都为，
所以可得：
所以，
解得：
所以，．
14．【答案】
【详解】设，故0，即
对函数，其函数图象如下所示：
令，
故要满足题意，只需在内有一个实数根，且另一个根为；
或在内有一个实数根，且在内也有一个实数根.
所以 或或
即 或或
解得 .
15．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）取中点为，连接，因为，所以，
又平面，平面，，
因为平面，平面，，
所以平面，因为平面，所以平面平面，
此时；
（2）取中点为，连接，在平面内过点作的平行线为轴，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
所以平面的一个法向量为，
所以与平面所成角的正弦值．
16．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）依题意，解得，
所以双曲线的方程为；
（2）由（1）知、，
依题意直线的斜率，则直线的方程为，
由，消去整理得，
设，，
当，即，由，
则，，
所以
，
因为为锐角，所以，
即
，解得或，
则或或，
又，所以的取值范围为.
17．【答案】(1)0.94；
(2)；
(3)超过，理由见详解.
【详解】（1）由题意知，使用该试剂盒进行一次检测共有100人，其中检测结果正确的共有94人，
所以使用该试剂盒进行一次检测结果正确的概率估计为；
（2）设事件：“患者检测结果正确”，事件：“非患者检测结果正确”，
事件：“该地区的患者和非患者中分别抽取2人进行一次检测，恰有一人检测结果错误”，
根据题中数据，可估计为可估计为，
该地区的患者中抽取2人进行一次检测，恰有一人检测结果错误的概率为
，
该地区的非患者中抽取2人进行一次检测，恰有一人检测结果错误的概率为
，
所以，
所以.
因此恰有一人检测结果错误的概率为；
（3）此人患该疾病的概率超过0.2.理由如下：
由题意得，如果该地区所有人用该试剂盒检测一次，
那么结果为阳性的人数为，其中患者人数为900.
若某人检测结果为阳性，那么他患该疾病的概率为.
18．【答案】（1）；（2）①；②
【详解】（1）依题意可得解得故椭圆的方程为.
（2）①设的方程为，，
联立消去并整理得到，
所以，，
于是，
同理可得，
.
②由①知，，，，
所以，，
所以的中点，
所以，
当且仅当即时取等号，
所以面积的最大值为.
19．【答案】(1)是，理由见解析；
(2)0；
(3)的根为．
【详解】（1）因为，
所以多项式是3整数分解多项式．
（2），
下面对通分后的分子为0进行简单计算说明，
.
（3）由题意，
于是．
因为，所以或．
从而仍为的根．
下面证明对无整数根．
若不然，不妨设有整数根，
则，
求出．
因为与1互质，所以与互质．
取，
则与互质．
再取，即有与互质．
对于任意绝对值大于1的整数，有与互质，所以与互质．
即与互质，
所以．
由于，
则，
即，
所以的根为．
抽样人群
阳性人数
阴性人数
患者
36
4
非患者
2
58
8
7-b
b
10-c
5
c
13-a
a
2