2023-2024学年河南省驻马店市新蔡第一高级中学高一（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年河南省驻马店市新蔡第一高级中学高一（下）月考数学试卷（3月份）（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.如果θ是第一象限角，则( )
A. sin2θ>0且tan2θ>0B. sinθ2>0且tan2θ>0
C. sin2θ>0且tanθ2>0D. sinθ2>0且tanθ2>0
2.将函数f(x)=sin(ωx−π3)(ω>0)的图象向右平移π2个单位长度后得到函数g(x)的图像，且函数g(x)是偶函数，则ω的最小值是( )
A. 13B. 23C. 16D. 56
3.设函数f(x)=cs(ωx+π6)在[−π,π]的图象大致如图，则f(x)的最小正周期为( )
A. 10π9B. 7π6C. 4π3D. 3π2
4.函数f(x)=2cs[2(x+π4)]是( )
A. 最小正周期为2π的奇函数B. 最小正周期为2π的偶函数
C. 最小正周期为π的奇函数D. 最小正周期为π的偶函数
5.设n是正整数，集合A={x|x=cs2kπn,k∈N}，若集合A有100个元素，则n=( )
A. 200或198B. 199或200C. 198或197D. 199或198
6.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)的图象向左平移π6个单位长度后得到函数y=2sin(2x+π3)的图象，则φ的一个可能值是( )
A. 0B. π12C. π6D. π3
7.数学中处处存在着美，机械学家莱洛沷现的莱洛三角形就给人以对称的美感.莱洛三角形的画法：先画等边三角形ABC，再分别以点A，B，C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形.若线段AB长为2，则莱洛三角形的面积是( )
A. 2π− 3B. π− 3C. 2π−2 3D. 2π+ 3
8.角的度量除了有角度制和弧度制之外，在军事上角的度量还有密位制，密位制的单位是密位.1密位等于圆周角的16000，即2π弧度=360°=6000密位.在密位制中，采用四个数字来记一个角的密位数.且在百位数字与十位数字之间画一条短线，例如3密位写成0−03，123密位写成1−23，设圆的半径为1，那么10−00密位的圆心角所对的弧长为( )
A. π6B. π4C. π3D. π2
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法错误的是( )
A. 第二象限角都是钝角
B. 第二象限角大于第一象限角
C. 若角α与角β不相等，则α与β的终边不可能重合
D. 若角α与角β的终边在一条直线上，则α−β=k⋅180°(k∈Z)
10.已知函数f(x)=lga|x−2|+2(a>0且a≠1)的图象经过定点A，且点A在角θ的终边上，则sinθ的值可能是( )
A. 2 1313B. 3 1313C. 55D. 2 55
11.若角A，B，C是△ABC的三个内角，则下列结论中一定成立的是( )
A. cs(A+B)=−csCB. tan(B+C)=tanA
C. csA+C2=sinBD. sinB+C2=csA2
12.已知函数f(x)=3sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示，则( )
A. ω=3
B. φ=π4
C. f(x)的图象关于点(7π12,0)对称
D. f(x)在[−7π12,−π4]上单调递增
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.P(−4m,3m)(m<0)为α终边上一点，则csα= ______．
14.临沂一中校本部19、20班某数学兴趣小组在探究扇形时，发现如下现象：如图所示，⊙B向⊙A靠近的过程，就像月亮被磨弯一样.已知在某一时刻，圆A和圆B处于图1的状态，简化后如图2，∠CED=π2，∠CBD=π3，BD=4.则S阴影= ______．
15.在平面直角坐标系中，动点M在单位圆上沿逆时针方向做匀速圆周运动，点M转一周的时间为12秒，若点M的初始位置为(13,2 23)，则经过3秒钟，动点M所处的位置的坐标为______．
16.若函数f(x)=4cs(ωx+π6)+2(ω>0)在[0,π3]上恰有3个零点分别为x1，x2，x3(x1四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
(1)写出终边在直线y=−x上的角的集合．
(2)写出终边在射线y=x(x≥0)与y=x(x≤0)上的角的集合．
18.(本小题12分)
如图，圆心在原点，半径为R的圆交x轴正半轴于点A，P、Q是圆上的两个动点，它们同时从点A出发沿圆周做匀速运动.点P逆时针方向每秒转π3，点Q顺时针方向每秒转π6，试求它们出发后第五次相遇时的位置及各自走过的弧长．
19.(本小题12分)
已知角α的始边与x轴的正半轴重合，终边过定点P(2,3)．
(1)求sinα、csα的值；
(2)求cs(11π2−α)sin(9π2+α)−2sin(π+α)cs(−α)cs(π2+α)sin(−π−α)的值．
20.(本小题12分)
如图，已知单位圆O与x轴正半轴交于点M，点A，B在单位圆上，其中点A在第一象限，且∠AOB=π2，记∠MOA=α，∠MOB=β．
(1)若α=π3，求点A的坐标；
(2)若点A的坐标为(45,m)，求sinα−sinβ的值．
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=2sin(3x−π6)+a，且f(2π9)=3．
(1)求a的值；
(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间．
22.(本小题12分)
有如下条件：
①对∀xi∈(0,t)，i=1，2，x1②对∀xi∈(0,t)，i=1，2，x1f(x2)；
③对∀xi∈(0,t)，i=1，2，3，x1+x2+x3=π；若x1④对∀xi∈(0,t)，i=1，2，3，x1+x2+x3=π；若x1f(2x2)>f(2x3).
(1)设函数f(x)=sinx，t=π2，请写出该函数满足的所有条件序号，并充分说明理由；
(2)设x∈(0,π4)，比较函数f(x)=(sinx)csx，g(x)=(csx)sinx，h(x)=(sinx)sinx值的大小，并说明理由；
(3)设函数f(x)=sinxx，满足条件②，求证：t的最大值tmax≥π.(注：导数法不予计分)
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：因为θ是第一象限角，则2kπ<θ<π2+2kπ，k∈Z，
所以kπ<θ2<π4+kπ，k∈Z，
所以θ2是第一或第三象限角，则sinθ2>0或sinθ2<0，tanθ2>0，故排除B、D；
又4kπ<2θ<π+4kπ，k∈Z，
所以2θ的终边在第一、第二象限或在y轴正半轴，则sin2θ>0，
当2θ的终边在y轴正半轴时tan2θ无意义，故排除A．
故选：C．
根据θ的象限确定θ2的象限，即可排除B、D，再确定2θ的象限，即可排除A．
本题考查三角函数值的符号，牢记：一全正、二正弦、三正切、四余弦是解题的关键，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：由题意g(x)=f(x−π2)=sin(ωx−π3−π2ω)(ω>0)是偶函数，
所以−π3−π2ω=π2+kπ,k∈Z，
解得ω=−53−2k,k∈Z，
又ω>0，
所以当且仅当k=−1时，ωmin=13．
故选：A．
由三角函数平移变换法则得g(x)表达式，且它是偶函数，进一步可得−π3−π2ω=π2+kπ,k∈Z，结合ω>0即可求解．
本题主要考查了函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换以及三角函数的性质，考查了函数思想，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：根据函数f(x)=cs(ωx+π6)在[−π,π]的图象，可得ω×(−49π)+π6=−π2，∴ω=32，
故f(x)的最小正周期为2πω=4π3，
故选：C．
由题意利用五点法作图，余弦函数的图象和性质，求得ω的值，从而求得f(x)的最小正周期．
本题主要考查五点法作图，余弦函数的图象和性质，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：因为f(x)=2cs(2x+π2)=−2sin2x，
则函数的最小正周期为T=2π2=π，
且f(−x)=−2sin(−2x)=2sin2x=−f(x)，则函数为奇函数，故C正确．
故选：C．
利用余弦函数的周期性，奇偶性的定义化简即可求解．
本题考查了余弦函数的周期性，奇偶性，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：如果集合A有100个元素，等价于单位圆盘n等分后，即相应横坐标的所有可能数为100，
则可能是(1,0)和上半圆盘与下半圆盘各99个点的横坐标(它们关于x轴对称)，即此时n=1+99+99=199，
还有一种可能：即(1,0)和(−1,0)，以及上半圆盘与下半圆盘各98个点的横坐标(它们关于x轴对称)，
即此时n=1+98+1+98=198，
综上所述，若集合A有100个元素，则n=198或n=199．
故选：D．
原问题等价于单位圆盘n等分后，相应横坐标的所有可能数与n的对应关系，值得注意的是考虑上半圆盘以及(±1,0)即可．
本题主要考查元素与集合的关系，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】解：因为函数f(x)=2sin(ωx+φ)的图象向左平移π6个单位长度后得到函数y=2sin(2x+π3)的图象，
即y=sin(ωx+φ+ωπ6)与y=2sin(2x+π3)为同一个函数，
所以ω=2，即y=sin(2x+φ+π3)与y=2sin(2x+π3)为同一个函数，
结合选项可知，当φ=0，即选项A符合题意．
故选：A．
由已知结合三角函数图象的变换，结合选项即可判断．
本题主要考查了三角函数图象的变换，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：由已知得AB=BC=AC=2π3，
则AB=BC=AC=2，故扇形的面积为2π3，
由已知可得，莱洛三角形的面积扇形面积的3倍减去三角形面积的2倍，
∴所求面积为3×2π3−2× 34×22=2π−2 3．
故选：C．
由题意，可先求解出正三角形扇形面积，再利用莱洛三角形与扇形之间的关系转化即可求解．
本题考查了扇形的面积公式和三角形的面积公式的应用，属于基础题．
8.【答案】C
【解析】解：由题意知10−00密位的圆心角为10006000×2π=π3，
所以弧长为π3×1=π3．
故选：C．
运用密位制与弧度制公式及弧长公式计算即可．
本题考查了密位制与弧度制公式及弧长公式的应用，属于基础题．
9.【答案】ABC
【解析】解：对于A：−225°是第二象限角，但−225°不是钝角，故A错误；
对于B：∵−225°是第二象限角，30°是第一象限角，且−225°<30°，
∴此时第二象限角小于第一象限角，故B错误；
对于C：390°=360°+30°，则30°与390°是终边相同角，故C错误；
对于D：∵角α与角β的终边在一条直线上，
∴角α与角β的终边可能重合或者角α的终边在α的终边的反向延长线上，则α−β=k⋅180°(k∈Z)，故D正确，
故选：ABC．
根据象限角和终边相同角的定义，逐一分析选项，即可得出答案．
本题考查象限角和终边相同角的定义，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
10.【答案】AD
【解析】解：因为函数f(x)=lga|x−2|+2的图象经过定点A，
令|x−2|=1，得x=3或x=1，此时y=2，则A(3,2)或A(1,2)，
当点A(3,2)在角θ的终边上，则sinθ=2 32+22=2 1313；
当点A(1,2)在角θ的终边上，则sinθ=2 12+22=2 55；
综上：sinθ=2 1313或sinθ=2 55，故AD正确，BC错误．
故选：AD．
根据函数解析式求出函数过的定点，再利用三角函数的定义求出sinθ和tanθ即可．
本题主要考查对数函数的图象与性质，属于基础题．
11.【答案】AD
【解析】解：因为A+B+C=π，
A：cs(A+B)=cs(π−C)=−csC，选项A正确；
B：tan(B+C)=tan[π−(A+B)]=−tanA，选项B错误；
C：csA+C2=cs(π2−B2)=sinB2，选项C错误；
D：sinB+C2=sin(π2−A2)=csA2，选项D正确．
故选：AD．
由已知结合诱导公式检验各选项即可判断．
本题主要考查了诱导公式的应用，属于基础题．
12.【答案】ACD
【解析】解：由图象可知，12T=π12−(−π4)=π3，解得T=2π3，
ω>0，
则2πω=2π3，解得ω=3，故A正确；
由图象可知，f(−π4)=3，
则f(−π4)=3sin(−3π4+φ)=3，即−3π4+φ=π2+2kπ，k∈Z，解得φ=5π4+2kπ,k∈Z，
|φ|<π，
则φ=−3π4，故B错误；
f(x)=3sin(3x−3π4)，
则f(7π12)=3sin(3×7π12−3π4)=0，
故f(x)的图象关于点(7π12,0)对称，故C正确；
x∈[−7π12,−π4]，
则t=3x−3π4∈[−5π2,−3π2]，
y=3sint在[−5π2,−3π2]上单调递增，故D正确．
故选：ACD．
根据图象求出函数的解析式，结合三角函数的性质即可得到结论．
本题主要考查三角函数的图象与性质，属于中档题．
13.【答案】45
【解析】解：csα=−4m (−4m)2+(3m)2=−4m 25m2=−4m−5m=45．
故答案为：45．
由余弦的定义可直接求解．
本题主要考查了三角函数定义的应用，属于基础题．
14.【答案】4 3−2π3
【解析】解：因为∠CED=π2，
则CD为⊙A的直径，连接CD，如图所示，
因为∠CBD=π3，BD=4，
则△BCD为等边三角形，CD=4，
⊙A的半径为2，⊙B的半径为4，
阴影部分的面积为⊙A的半圆面积减去⊙B中圆心角为π3的弓形面积，
则阴影部分的面积为S=π×222−(π×426−12×4×4× 32)=4 3−2π3．
故答案为：4 3−2π3．
阴影部分的面积为⊙A的半圆面积减去⊙B中圆心角为π3的弓形面积，利用已知数据计算即可．
本题考查了扇形的面积公式的应用，考查了数形结合思想，属于基础题．
15.【答案】(−2 23,13)
【解析】解：因为点M转一周的时间为12秒，
所以经过3秒钟，动点M转了2π×312=π2，
即此时M点为(cs(α+π2),sin(α+π2))，
设M初始位置对应的点为(csα,sinα)，
则csα=13，sinα=2 23，
因为cs(α+π2)=−sinα=−2 23，sin(α+π2)=csα=13．
故答案为：(−2 23,13).
求出经过3s动点M转动的角，再利用诱导公式进行化简即可求解．
本题主要考查了三角函数的定义及诱导公式的应用，属于基础题．
16.【答案】4 [152,192)
【解析】解：令f(x)=0，得cs(ωx+π6)=−12．
因为x∈[0,π3]，所以ωx+π6∈[π6,ωπ3+π6]，
则ωx1+π6=2π3,ωx2+π6=4π3,ωx3+π6=8π3，
所以ω(x1+x2+x3)+3×π6=2π3+4π3+8π3=14π3，
得ω(x1+x2+x3)=25π6，
所以f(x1+x2+x3)=4cs[ω(x1+x2+x3)+π6]+2=4cs13π3+2=4csπ3+2=4．
因为函数在[0,π3]上恰有3个零点，
所以8π3≤ωπ3+π6<10π3，得152≤ω<192．
故答案为：4；[152,192).
由函数在[0,π3]上恰有3个零点，可得ωx+π6的范围，且求出零点的值，进而可得所求的结果．
本题考查三角函数的性质的应用，属于中档题．
17.【答案】解：(1)如图，在0～360范围内，终边在直线y=−x上的角为135和315，
因此终边在直线y=−x上的角的集合为S={α|α=135+k⋅360,k∈Z}∪{α|α=315+k⋅360,k∈Z}
={α|α=135+2k⋅180,k∈Z}∪{α|α=135+(2k+1)⋅180,k∈Z}
={α|α=135°+n⋅180°,n∈Z}．
∴终边在直线y=−x上的角的集合为{α|α=135°+n⋅180°,n∈Z}．

(2)终边在射线y=x(x≥0)上的角即与45角终边相同，集合为{α|α=k1⋅360°+45°,k1∈Z}，
终边在射线y=x(x≤0)上的角即与225角终边相同，集合为{β|β=k2⋅360°+225°,k2∈Z}．
【解析】(1)终边在直线y=−x上的角是与135角终边相同角的集合和315角终边相同角的集合的并集，求并集得结果；
(2)终边在射线y=x(x≥0)上的角即与45角终边相同角的集合，终边在射线y=x(x≤0)上的角即与225角终边相同角的集合．
本题考查终边相同的角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
18.【答案】解：∵π3+π6=π2，2ππ2=4，
∴第一次相遇相遇4秒，
∴它们出发后第五次相遇时的位置及各自走过的弧长分别为4×π3R×5=20π3R，−4×π6R×5=−10πR3，负号表示顺时针方向．
∴它们出发后第五次相遇时的位置及各自走过的弧长分别为20π3R，−10πR3，负号表示顺时针方向．
【解析】π3+π6=π2，2ππ2=4，可得第一次相遇相遇4秒，再利用弧长公式即可得出．注意方向．
本题考查了速度与时间之间的关系、弧长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
19.【答案】解：(1)角α的始边与x轴的正半轴重合，终边过定点P(2,3)，
∴r=|OP|= 4+9= 13，sinα=yr=3 13=3 1313，csα=xr=2 13=2 1313．
(2)cs(11π2−α)sin(9π2+α)−2sin(π+α)cs(−α)cs(π2+α)sin(−π−α)=−sinα⋅csα−2⋅(−sinα)⋅csα−sinα⋅sinα
=sinα⋅csα−sinα⋅sinα=−csαsinα=−ctα=−23．
【解析】(1)由题意，利用任意角的三角函数的定义，计算求得结果．
(2)由题意，利用诱导公式，计算可得结果．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，诱导公式，属于基础题．
20.【答案】解：(1)若α=π3，
则csα=x=12，sinα=y= 32，
所以点A(12, 32)，
(2)若点A的坐标为(45,m)，
因为(45)2+m2=1，点A在第一象限，
所以m=35，
即A(45,35)，
则sinα=35，
因为∠AOB=π2，
所以β=π2+α，
所以csα=sinβ=45，
所以sinα−sinβ=−15．
【解析】(Ⅰ)若α=π3，直接利用三角函数的定义求点A的坐标；
(Ⅱ)若点A的坐标为(45,m)，则sinα=35，csα=sinβ=45，即可求sinα−sinβ的值．
本题考查任意角的三角函数的定义、诱导公式的应用，比较基础．
21.【答案】解：(1)因为f(2π9)=3，所以2sin(3×2π9−π6)+a=3，
所以2sinπ2+a=3，即2+a=3，解得a=1．
(2)由(1)可得f(x)=2sin(3x−π6)+1，
则f(x)的最小正周期为T=2π3，
令2kπ−π2≤3x−π6≤2kπ+π2，k∈Z，
解得2kπ3−π9≤x≤2kπ3+2π9，k∈Z，
故f(x)的单调递增区间为[2kπ3−π9,2kπ3+2π9]，k∈Z．
【解析】(1)由f(2π9)=3，代入函数解析式从而可求解．
(2)由(1)可知f(x)=2sin(3x−π6)+1，从而可求解T=2π3，利用整体代换法从而可求解单调递增区间．
本题主要考查了正弦函数性质的应用，属于中档题．
22.【答案】解：(1)选①④理由：
由f(x)=sinx在x∈(0,π2)上单调递增，故①满足，②不满足；
由x1+x2+x3=π，且0故0<2x1<2π3,π2<2x2<π,2π3<2x3<π，且2x1<2x2<2x3，
显然f(2x2)=sin2x2>f(2x3)=sin2x3，故③错；
由于x1+x2>π2，则2x1+2x2>π，
当0π2−2x1，
此时2x1与π2的距离比2x2与π2的距离小，且2x1、2x2在π2两侧，
故f(2x1)=sin2x1>f(2x2)=sin2x2，
当π4≤x1则f(2x1)=sin2x1>f(2x2)=sin2x2，
综上，f(2x1)>f(2x2)>f(2x3)，故④对．
所以f(x)=sinx,t=π2满足①④；
(2)由x∈(0,π4)，则0而t∈(0,1)时，k(t)=(sinx)t在(0,1)上单调递减，φ(t)=tsinx在(0,1)上递增，
所以f(x)=(sinx)csx故f(x)证明：(3)由题意知，已知函数在给定区间(0,t)内递减，
f(x)>0在(0,π)恒成立，
当x∈(0,π2]时，y=x的增长率比y=sinx大，故随着x增大，sinxx变小，
当x∈(π2,π)时，y=x递增，y=sinx递减，故随x增大，sinxx变小，
综上，在(0,π)上f(x)>0且递减，而在[π,2π)上，f(x)≤0，
显然，存在t0∈[π,2π)，使f(x)在(0,t0)上递减，
所以f(x)=sinxx在x∈(0,t)上递减，则最大值tmax≥π，得证．
【解析】(1)结合正弦函数的单调性判断①②，根据题意推出0<2x1<2π3,π2<2x2<π,2π3<2x3<π，且2x1<2x2<2x3，即可判断f(2x2)=sin2x2>f(2x3)=sin2x3，判断③；继而讨论0f(2x2)，即可判断④；
(2)构造t∈(0,1)时，k(t)=(sinx)t在(0,1)上单调递减，φ(t)=tsinx在(0,1)上递增，利用函数单调性，即可比较大小；
(3)结合正弦函数性质可得在(0,π)上f(x)>0且递减，在[π,2π)上，f(x)≤0，再结合函数的单调性，即可证明结论．
本题考查了三角函数的应用，属于难题．