河南省郑州市2024-2025学年高三下学期第二次质量预测 数学试题

这是一份河南省郑州市2024-2025学年高三下学期第二次质量预测 数学试题，共8页。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 某小区随机调查了10位业主2月份每户的天然气使用量，数据如下（单位：）：18，19，20，20，21，21，22，23，23，24．估计该小区业主月均用气量的样本数据的60%分位数为（ ）
A. 21B. 21.5C. 22D. 22.5
3. 已知圆锥的侧面展开图是半径为3的半圆，则该圆锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
4. 若，，则（ ）
A. B. C. D.
5. 函数与函数图象交点个数为（ ）
A. B. C. D.
6. 某高校计划安排甲、乙、丙、丁、戊、己6名教师到4所不同的高中学校进行宣讲，每个学校至少安排1人，其中甲、乙必须安排在同一个学校的概率为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知是抛物线的焦点，是的准线，点是上一点且位于第一象限，直线的斜率为正数，且与圆相切，过点作的垂线，垂足为，则的面积为（ ）
A. B. 4C. D.
8. 已知函数，，有恒成立，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9. 已知复数满足，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. 若，则D. 若，则
10. 在棱长为1的正方体中，是棱的中点，则（ ）
A. 过点有且只有一条直线与直线和都相交
B. 过点有且只有一个平面与直线和所成角相等
C. 过，，三点的截面把正方体分成两部分，则该截面的周长为
D. 点是正方形内的动点，，则点的轨迹长度
11. 已知对于任意非零实数，函数均满足，，下列结论正确的有（ ）
A.
B 关于点中心对称
C. 关于轴对称
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知向量，向量在向量方向上的投影向量的模长为，写出一个满足条件的向量________．
13. 设，分别为双曲线的左、右焦点，过且斜率为的直线与的右支交于点，与的左支交于点，点满足，，则双曲线的离心率为________．
14. 已知正四棱锥的底面边长与高均为2，设是正方形及其内部的点构成的集合，点是正方形的中心，若集合，则直线与平面所成角的正切值的最小值为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 近年来，儿童近视问题日益严重，已成为影响儿童健康的重要问题之一，教育部提出了一系列措施，旨在通过学校、家庭和社会的共同努力，减少儿童近视的发生率．多项研究表明，每天增加户外活动时间可以显著降低儿童近视的发生率．为研究近视是否与户外活动时长有关，某学校数学兴趣小组采用简单随机抽样的方法调查了六年级的100名学生，其中有55名同学的户外活动时间超过2小时；100名同学中近视的学生有60人，这60人中每天户外活动时间不足2小时的有35人．
（1）根据所给数据，得到成对样本数据的分类统计结果，完成以下列联表，依据小概率值的独立性检验，分析学生患近视与户外活动时间长短是否有关．
（2）用频率估计概率，从已经近视学生中采用随机抽样的方式选出1名学生，利用“物理十药物”治疗方案对该学生进行治疗．已知“物理+药物”治疗方案的治愈数据如下：在已近视的学生中，对每天户外活动时间超过2小时的学生的治愈率为，对每天户外活动时间不足2小时治愈率为，求近视学生被治愈的概率．
参考公式与数据：，其中．
16. 记的内角，，的对边分别为，，，已知．
（1）求；
（2）若，，，边上的中线，相交于点．
（i）求；
（ii）求．
17. 已知函数，．
（1）若，求曲线的斜率为1的切线方程；
（2）若不等式没有整数解，求实数的取值范围．
18. 已知等差数列的前项和为，且，，．
（1）求的通项公式；
（2）设其中正整数．
（i）求，，，；
（ii）求．
19. 若一个四面体三组对棱分别相等，我们称它为“等腰四面体”．已知在等腰四面体中，分别为所在棱的中点，如图所示．
（1）求证：平面；
（2）若，，求二面角的大小；
（3）在空间直角坐标系中，平面内有椭圆，直线与交于，两点．为空间中一点，若四面体为等腰四面体，求其外接球表面积的最小值．
郑州市2025年高中毕业年级第二次质量预测
数学试题卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
【1题答案】
【答案】B
【2题答案】
【答案】B
【3题答案】
【答案】C
【4题答案】
【答案】D
【5题答案】
【答案】A
【6题答案】
【答案】A
【7题答案】
【答案】C
【8题答案】
【答案】D
二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
【9题答案】
【答案】ABC
【10题答案】
【答案】AD
【11题答案】
【答案】ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
【12题答案】
【答案】或（答案不唯一，写出任意一个即可）
【13题答案】
【答案】
【14题答案】
【答案】2
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
【15题答案】
【答案】（1）列联表见解析，有关
（2）
【16题答案】
【答案】（1）
（2）（i）；（ii）
【17题答案】
【答案】（1）
（2）
【18题答案】
【答案】（1）
（2）（i），，，；（ii）
【19题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
近视人数
未近视人数
合计
户外活动时间不足2小时
35
户外活动时间超过2小时
55
合计
60
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6635
7.879
10.828