北京市第五十中学2024−2025学年高二下学期3月检测 数学试卷（含解析）

这是一份北京市第五十中学2024−2025学年高二下学期3月检测 数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共10小题）
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．与向量平行的一个向量的坐标是（ ）
A．B．
C．D．
4．若函数，则的单调递增区间为（ ）
A．B．C．D．
5．如图，已知棱长为的正方体，分别为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．
C．D．
6．曲线在处的切线与坐标轴所围成的三角形面积为（ ）
A．B．C．D．
7．设，其中为自然对数的底数，则（ ）
A．B．
C．D．
8．如图所示，已知直线与曲线相切于两点，函数，则对函数描述正确的是（ ）
A．有极小值点，没有极大值点B．有极大值点，没有极小值点
C．至少有两个极小值点和一个极大值点D．至少有一个极小值点和两个极大值点
9．函数f（x）=x2–xsinx的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
10．已知函数.若过点可以作曲线三条切线，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共6小题）
11．如图，直线是曲线在点处的切线，则 ．

12．函数，则 .
13．已知在R上不是单调增函数，那么实数的取值范围是 ．
14．已知定义在区间(－π，π)上的函数f(x)＝xsin x＋cs x，则f(x)的单调递增区间为 .
15．我们把分子，分母同时趋近于0的分式结构称为型，比如：当时，的极限即为型，两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在．早在1696年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造一种算法（洛必达法则），用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，法则的大意为：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．
如：，则 ．
16．已知函数，下列命题正确的有 ．（写出所有正确命题的编号）
①是奇函数；
②在上是单调递增函数；
③方程有且仅有1个实数根；
④如果对任意，都有，那么的最大值为2.
三、解答题（本大题共5小题）
17．已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)求函数的极值．
18．如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面，，点为棱的中点.
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)求点到平面的距离.
19．已知函数，其中为常数，且．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数的单调区间；
(3)若函数在上单调递减，请直接写出一个满足条件的值．
20．已知椭圆C：过点，过其右焦点且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，且．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线l：与椭圆C交于E，F两点，线段EF的中点为Q，在y轴上是否存在定点P，使得∠EQP＝2∠EFP恒成立？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
21．定义：，，是曲线上三个不同的点，直线与曲线在点处的切线平行，若，，成等差数列，则称为“等差函数”，若，，成等比数列，则称为“等比函数”.
(1)若函数是二次函数，证明：是“等差函数”.
(2)判断函数是否为“等差函数”，并说明理由.
(3)判断函数是否为“等比函数”，并说明理由.
参考答案
1．【答案】A
【详解】.
故选：A.
2．【答案】A
【详解】由，则，
所以在复平面内z对应点的坐标为，位于第一象限.
故选：A
3．【答案】B
【详解】对于A，，A不是；
对于B，，B是；
对于C，，C不是；
对于D，，D不是.
故选：B
4．【答案】B
【详解】由函数的定义域，可得，
令，解得，即函数的单调递增区间为.
故选：B.
5．【答案】A
【详解】
如图分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，
则、 、 、，
所以，，
设异面直线与所成角为，
则 ，
故选：A
6．【答案】A
【详解】由，可得，又，，
故在点处的切线方程为，即.
令得，令得，
所以切线与坐标轴所围成的三角形面积为.
故选：A.
7．【答案】A
【详解】令，则，
当时，，单调递增，
所以，即，
令，则，
当时，，单调递减，
所以，即
所以.
故选：A
8．【答案】C
【详解】由题设，，则，
又直线与曲线相切于两点且横坐标为且，
所以的两个零点为，由图知：存在使，
综上，有三个不同零点，
由图：上，上，上，上，
所以在上递减，上递增，上递减，上递增.
故至少有两个极小值点和一个极大值点.
故选：C.
9．【答案】A
【分析】分析函数的奇偶性，并利用导数分析该函数在区间上的单调性，结合排除法可得出合适的选项.
【详解】因为，且定义域关于原点对称，所以函数为偶函数，故排除B项；
，设，则恒成立，所以函数单调递增，所以当时，，
任取，则，所以，，所以，所以函数在上为增函数，故排除C,D选项.
故选A.
【关键点拨】本题考查利用函数解析式选择图象，一般分析函数的定义域，奇偶性，单调性，函数零点，以及函数值符号，结合排除法得出合适的选项.
10．【答案】A
【详解】设切点为，由可得，
所以在点处的切线的斜率为，
所以在点处的切线为：，
因为切线过点，所以，
即，即这个方程有三个不等根即可，
切线的条数即为直线与图象交点的个数，
设，
则
由可得，由可得：或，
所以在和上单调递减，在上单调递增，
当趋近于正无穷，趋近于0，当趋近于负无穷，趋近于正无穷，
的图象如下图，且，
要使与的图象有三个交点，则.
则的取值范围是:.
故选：A.
11．【答案】1
【详解】根据函数切线过,则曲线在处的切线斜率为，
根据导数的定义，可得.
故答案为：1．
12．【答案】
【详解】令，，则，
故.
故答案为：
13．【答案】（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）．
【详解】∵函数yx3+mx2+（m+2）x+3，
∴f′（x）＝x2+2mx+m+2，
∵函数yx3+mx2+（m+2）x+3在R上不是增函数，
∴f′（x）＝x2+2mx+m+2≥0不恒成立，
∴判别式△＝4m2﹣4（m+2）＞0，
∴m2﹣m﹣2＞0，
即m＜﹣1或m＞2，
故答案为（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）．
14．【答案】
【详解】由题意，
令，则其在区间上的解集为，
所以f(x)的单调递增区间为.
故答案为：.
15．【答案】2
【详解】由题可得.
故答案为：2.
16．【答案】①②④
【详解】 根据题意，依次分析四个命题：
对于①中，，定义域是，且是奇函数，所以是正确的；
对于②中，若，则，所以的递增，所以是正确的；
对于③中，，令，
令可得，，即方程有一根，
，则方程有一根之间，
所以是错误的；
对于④中，如果对于任意，都有，即恒成立，
令，且，
若恒成立，则必有恒成立，
若，即恒成立，
而，若有，所以是正确的，综上可得①②④正确.
17．【答案】(1)单调增区间为和，单调减区间为
(2)极大值16，极小值
【详解】（1）函数的定义域为，导函数，
令，解得，
则，随的变化情况如下表：
故函数的单调增区间为和，单调减区间为;
（2）由小问1知，当时，函数取得极大值16;
当时，函数取得极小值．
18．【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【详解】（1）连接，交于点，
由分别为和的中点，得，
而平面平面，
所以平面.
（2）由直线平面，以所在的直线为轴，
以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立如图所示的直角坐标系.
则
，
设平面的法向量n=x,y,z，
则令，得，
设直线与平面所成角的正弦值，则
.
（3），
设平面的法向量为，
则，令，得，
所以点到平面的距离
19．【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)（答案不唯一）
【详解】（1）当时，函数．
令，得，即切点坐标为．
导函数．
令，得，即切线斜率．
故切线方程为，即．
（2）函数的定义域为．
导函数．
讨论：①当时，恒成立，故函数的单调增区间为．
②当时，令，解得．
所以函数的单调增区间为，单调减区间为．
综上所述，当时，函数的单调增区间为；
当时，函数的单调增区间为，单调减区间为．
（3）结合（2）的结论可知，，
要使函数在上单调递减，则有，解得，
任取一个值，比如.
20．【答案】(1)
(2)存在定点，
【详解】（1）由题知，椭圆C过点和，
所以，解得
所以椭圆C的方程为．
（2）
假设在y轴上存在定点P，使得∠EQP＝2∠EFP恒成立，设，，
由，得，∴，
∵∠EQP＝2∠EFP，∴∠EFP＝∠FPQ，∴QE＝QF＝QP
∴点P在以EF为直径的圆上，即PE⊥PF
，
∴
∴恒成立
∴，解得
∴
∴存在定点，使得∠EQP＝2∠EFP恒成立．
21．【答案】(1)证明见解析
(2)函数不是“等差函数”，理由见解析
(3)函数不是“等比函数”，理由见解析
【详解】（1）令.
设，，是曲线上三个不同的点.
直线的斜率，
因为，所以曲线在点处的切线斜率，
直线与曲线在点处的切线平行，则，即，则，故是“等差函数”.
（2）假设函数为“等差函数”.
因为，且，，成等差数列，所以.
直线的斜率，
因为，所以曲线在点处的切线斜率，
直线与曲线在点处的切线平行，则，整理得，令，即.
令，则.
令，则，故在上单调递增，
，即，则在上单调递增，.
故当时，，即无解，
故函数不是“等差函数”.
（3）假设函数为“等比函数”.
因为，且，，成等比数列，设公比为，所以，，
直线的斜率
因为，所以曲线在点处的切线斜率，
直线与曲线在点处的切线平行，则，整理得.
令，则，
所以在上单调递增，所以，
所以在时无实数解，所以函数不是“等比函数”.2
0
0
取极大值
取极小值
0