北京市第一六一中学2024-2025学年高二下学期3月阶段练习 数学试卷（含解析）

这是一份北京市第一六一中学2024-2025学年高二下学期3月阶段练习 数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
班级______ 学号______ 姓名______
本试卷共2页，共120分．考试时长90分钟．考生务必将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效．
一、选择题：本大题共10道小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求．把正确答案涂写在答题卡上相应的位置．
1. 若一数列的前4项分别为，则该数列的通项公式可能为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据数列前项的规律，分别分析数列的符号规律和数值规律，进而得出数列的通项公式.
【详解】观察数列的前项，可以发现奇数项为正，偶数项为负.
根据当为偶数时结果为，当为奇数时结果为；当为奇数时结果为，当为偶数时结果为，可知该数列的符号规律可以用来表示.
分母依次为3,5,7,9，得该数列分母的通项公式为.
结合上述对符号规律和数值规律的分析，可知该数列的通项公式为.
故选：A.
2. 在等差数列中，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用等差中项即可求解.
【详解】由可得，
故，
故选：D
3. 已知数列{an}的前n项之和Sn＝n2+1，则a1+a3＝（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】
根据数列{an}的前n项之和Sn＝n2+1，求出，再求解.
【详解】已知数列{an}的前n项之和Sn＝n2+1，
所以，
所以，
所以，
所以a1+a3＝7.
故选：B
【点睛】本题主要考查数列的前n项和与项的关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
4. 甲、乙两人独立地破译一份密码，已知两人能破译的概率分别是，，则（ ）
A. 密码被成功破译概率为B. 密码被成功破译的概率为
C. 两人都成功破译的概率为D. 两人都成功破译的概率为
【答案】B
【解析】
【分析】对于AB，利用对立事件和独立事件的概率公式可求出密码被成功破译的概率，对于CD，利用独立事件的概率公式可求出两人都成功破译的概率.
【详解】对于AB，因为甲、乙两人独立地破译一份密码，已知两人能破译的概率分别是，，
所以密码被成功破译的概率为，所以A错误，B正确；
对于CD，因为甲、乙两人独立地破译一份密码，已知两人能破译的概率分别是，，
所以两人都成功破译的概率为，所以CD错误.
故选：B
5. 某校学生中有40%的同学爱好羽毛球，50%的同学爱好乒乓球，60%的同学爱好羽毛球或乒乓球．在该校的学生中随机调查一位同学，若该同学爱好羽毛球，则该同学也爱好乒乓球的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出同时爱好羽毛球和乒乓球的概率，求出该同学爱好羽毛球的概率和该同学爱好乒乓球的概率即可求解.
【详解】有的同学爱好羽毛球，的同学爱好乒乓球，的同学爱好羽毛球或乒乓球，
则同时爱好羽毛球和乒乓球的概率为，
设“该同学爱好羽毛球”为事件，“该同学爱好乒乓球”为事件，
则，
所以．
故选：B.
6. 将一枚质地均匀的硬币抛掷2次，记X为“正面朝上”出现的次数，则随机变量X的均值是（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】先判断出，然后利用均值的计算公式求解即可．
【详解】由题意可知，，
所以．
故选：C
7. 若随机变量，则（ ）
A. 1.2B. 2.4C. 4.8D. 9.6
【答案】D
【解析】
【分析】根据二项分布的方差计算公式得到，再离散型随机变量的方差的性质计算求解.
【详解】因为，所以，，
所以，
故选：D.
8. 某项羽毛球单打比赛规则是3局2胜制，运动员甲和乙进入了男子羽毛球单打决赛，假设甲每局获胜的概率为，则由此估计甲获得冠军的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】按照以下两种情形，利用独立事件同时发生用乘法，结合二项分布概率公式进行计算即可.
【详解】甲获得冠军分以下二类：
第一类：甲获胜的概率为：；
第二类：甲获胜的概率为：；
所以甲获胜的概率为，
故选：D.
9. 记为数列的前n项和.若，则（ ）
A. 有最大项，有最大项
B. 有最大项，有最小项
C. 有最小项，有最大项
D. 有最小项，有最小项
【答案】A
【解析】
【分析】利用二次函数的性质可判断得有最大项，再分析的正负情况可判断得有最大项，从而得解.
【详解】根据题意，，
对于二次函数，，其开口向下，对称轴为，
则当时，取得最大值，
所以当时，有最大值为16，所以有最大项.
又由可解得，
则当时，，当时，，当时，，
所以当或8时，最大，
则有最大项，有最大项.
故选：A.
10. 在数列中，，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知的递推式和首项依次求出，可得数列是以4为周期的周期数列，从而可求出.
【详解】因为，，
所以，
，
，
，
所以数列是以4为周期的周期数列，
所以.
故选：C
二、填空题：本大题共5道小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题纸中相应的横线上．
11. 假设某市场供应的灯泡中，甲厂产品占，乙厂产品占，甲厂产品的合格率是，乙厂产品的合格率是.在该市场中随机购买一个灯泡，是合格品的概率为______．
【答案】0.86##
【解析】
分析】根据全概率公式求解即可.
【详解】设事件为“购买一个甲厂灯泡”，事件为“购买一个乙厂灯泡”，
事件为“购买的灯泡是合格品”，
则，，
，，
所以.
故答案为：0.86.
12. 已知A，B是一个随机试验中的两个事件，且，，，则______；______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据条件概率公式求解即可.
【详解】由，，，
则，
.
故答案为：；.
13. 设随机变量的分布列如下：其中成等差数列，若，则方差__________.
【答案】
【解析】
【分析】由分布列的性质以及等差中项，结合均值的计算即可求解，由方差公式即可求解.
【详解】成等差数列，,由变量的分布列，
知：，解得，
.
故答案为：
14. 某新能源汽车购车费用为14.4万元，每年应交付保险费、充电费用共0.9万元，汽车的保养维修费如下：第一年0.2万元，第二年0.4万元，第三年0.6万元，…，依等差数列逐年递增．则使用4年该车的总费用（包括购车费用）为______；这种新能源汽车使用______年报废最合算（即该车使用的年平均费用最少）？
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】设第的总费用为，根据题意，得到，令时，求得的值，再设该车的年平均费用为万元，得到，结合基本不等式，即可求解.
【详解】设第的总费用为，
由题意，可得
，
当时，可得（万元）；
设该车的年平均费用为万元，
则，
当且仅当时，即时，等号成立，即的最小值为（万元），
所以这种新能源汽车试验年报废最合理，年平均费用的最小值为万元.
故答案为：；.
15. 无穷等差数列的各项均为整数，首项为，公差为，3，21，15是其中的三项，给出下列命题：
①满足条件的有8个不同的取值；
②对任意满足条件的，存在，使得99一定是数列中的一项；
③对任意满足条件的，存在，使得30一定是数列中的一项；
④存在满足条件的数列，使得对任意的，成立．
其中正确命题为______．（写出所有正确命题的序号）
【答案】①②④
【解析】
【分析】利用等差数列的性质，可推理出公差可能的取值，据此可判断命题①②③；利用等差数列前项和公式，计算化简，可得出结论判断命题④.
【详解】由题意，3，15，21是等差数列的三项，若数列是递增数列，则，且因为，所以都是公差的倍数，且是整数，所以可能取值是.
同理，若数列是递减数列，则，可能取值是.
所以，满足条件的有8个不同的取值，故①正确；
因为是6的倍数，所以是公差的倍数，即，所以存在，使得99一定是数列中的一项，故②正确；
因为不是6的倍数，若公差，则30不是数列中的一项，故③错误；
若，则，化简得，
所以，只要，对任意的，成立.故④正确.
故答案为：①②④.
三、解答题：本大题共4道小题，共55分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16. 等差数列的前项和记为，已知，且成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和
（3）求数列的前16项的和.
【答案】（1）
（2）
（3）160
【解析】
【分析】（1）利用等差数列的基本量，结合已知条件，求得的首项和公差，即可求出通项公式，
（2）把（1）结论代入等差数列的求和公式求解即可；
（3）判断的正负，脱去绝对值，再求数列的和即可.
【小问1详解】
设等差数列的公差为d，
由题可得：，
解得，
【小问2详解】
由（1）知，，
所以，
【小问3详解】
由，
所以均为负数，且从开始，后面每一项均为正数，
17. 某校为了解高二学生每天作业完成时长，在该校高二学生中随机选取了100人，对他们每天完成各科作业的总时长进行了调研，结果如下表所示：
用表格中的频率估计概率，且每个学生完成各科作业时互不影响，
（1）从该校高二学生中随机选取1人，估计该生可以在3小时内完成各科作业的概率；
（2）从样本“完成各科作业的总时长在2.5小时内”的学生中随机选取3人，其中共有X人可以在2小时内完成各科作业，求X的分布列和数学期望．
【答案】（1）0.4 （2）
【解析】
【分析】（1）由在3小时内完成各科作业的人数为40，利用古典概型的概率求解；
（2）由X的可能取值为0，1，2，3，利用超几何发布，分别求得其概率，列出分布列，再求期望.
【小问1详解】
在3小时内完成各科作业的人数为40，
所以在3小时内完成各科作业的概率为；
【小问2详解】
完成各科作业的总时长在2.5小时内共有7人，
其中完成各科作业的总时长在2小时内有3人，
若从这7人中随机取3人，
则X的可能取值为0，1，2，3，
则，
，
所以X的分布列为：
.
18. 根据《国家学生体质健康标准》，高三男生和女生立定跳远单项等级如下（单位：cm）：
从某校高三男生和女生中各随机抽取名同学，将其立定跳远测试成绩整理如下（精确到）：
假设用频率估计概率，且每个同学的测试成绩相互独立．
（1）分别估计该校高三男生和女生立定跳远单项的优秀率；
（2）从该校全体高三男生中随机抽取人，全体高三女生中随机抽取人，设为这人中立定跳远单项等级为优秀的人数，估计的数学期望；
（3）从该校全体高三女生中随机抽取人，设“这人的立定跳远单项既有优秀，又有其它等级”为事件，“这人的立定跳远单项至多有个是优秀”为事件．判断与是否相互独立．（结论不要求证明）
【答案】（1）
（2）
（3）与相互独立
【解析】
【分析】（1）样本中立定跳远单项等级获得优秀的男生人数为，获得优秀的女生人数为，计算频率得到优秀率的估计值；
（2）由题设，的所有可能取值为．算出对应概率的估计值，得到的数学期望的估计值；
（3）利用两个事件相互独立的定义判断即可.
【小问1详解】
样本中立定跳远单项等级获得优秀的男生人数为，获得优秀的女生人数为，
所以估计该校高三男生立定跳远单项的优秀率为；估计高三女生立定跳远单项的优秀率为．
【小问2详解】
由题设，所有可能取值为．
估计为；
估计为；
估计为；
估计为．
估计的数学期望．
【小问3详解】
估计为；
估计为；
估计为，
，所以与相互独立．
19. 已知椭圆的焦距和半长轴长都为2.过椭圆C的右焦点F作斜率为的直线l与椭圆C相交于P，Q两点.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设点A是椭圆C的左顶点，直线AP，AQ分别与直线相交于点M，N.求证：以MN为直径的圆恒过点F.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据焦距和半长轴长都为2，以及椭圆的性质即可求解；
（2）设出直线l的方程以及P（，），Q，），联立 求出韦达定理，令求出 M（4，），N（4，），由即可证明.
【小问1详解】
由题意得，
解得
所以椭圆C的方程为；
【小问2详解】
F（1，0），A（-2，0），
设直线l的方程为，
由得
直线l过椭圆C的右焦点，显然直线l椭圆C相交.
设P（，），Q，），
则.
直线AP的方程为，
令，得，即M（4，），
同理，N（4，），
所以，
所以
，
所以以MN为直径的圆恒过点F.
-1
0
1
时长t（小时）
人数
3
4
33
42
18
X
0
1
2
3
P
立定跳远单项等级
高三男生
高三女生
优秀
及以上
及以上
良好
~
~
及格
~
~
不及格
及以下
及以下
男生
女生