北京市第一六一中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷（Word版附解析）

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本试卷共2页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效.
一、选择题：本大题共10道小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求.把正确答案涂写在答题卡上相应的位置．
1. 数列1，3，7，15，…的一个通项公式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由前4项得到，再利用累加法求解即得．
【详解】依题意得，，，由此可得，
所以．
又也符合上式，所以符合题意的一个通项公式是．
故选：A
2. 已知和在区间上的平均变化率分别为a和b，则（ ）
A. B. C. D. a和b的大小随着m，n的改变而改变
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数平均变化率的定义求得和，再比较大小即得.
【详解】依题意，，
，
所以.
故选：B
3. 数列的前n项和为，且，，则等于（ ）
A. 35B. 48C. D. 93
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，判断为等比数列，再根据等比数列前项和公式，即可求得结果.
【详解】根据题意，数列是首项为，公比为的等比数列，
故.
故选：D.
4. 函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
详解】原函数先减再增，再减再增，且位于增区间内，因此选D．
【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与轴的交点为，且图象在两侧附近连续分布于轴上下方，则为原函数单调性的拐点，运用导数知识来讨论函数单调性时，由导函数的正负，得出原函数的单调区间．
5. 已知等差数列的前n项和为，且满足，则数列的公差是（ ）
A. B. 1C. 2D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】在题设条件的两边同时乘以6，然后借助前项和公式进行求解．
【详解】解：，
，
，
．
故选：C．
【点睛】本题考查等差数列的性质和应用，解题时要注意前项和公式的灵活运用，属于基础题．
6. 函数在内有且只有一个零点，则（ ）
A 3B. 1C. 0D.
【答案】A
【解析】
【分析】对函数进行求导，并分类讨论函数的单调性，根据单调性结合已知可以求出的值.
详解】由函数，求导得，
①当时，在上，
可得函数上单调递增，且，函数在上没有零点；
②当a＞0时，在上的解为，
因此函数在单调递减，在单调递增，在处取得极小值，
又只有一个零点，，所以．
故选：A
7. 设，若函数有大于零的极值点，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出函数的导数，由函数极值点的定义，结合函数与方程参变分离即可求解.
【详解】由函数，求导得，
依题意，有正根，即方程有正根，
而当时，，所以的取值范围为.
故选：C
8. 设数列是等比数列，则“”是“为递增数列”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】当时，可得，但此时数列不单调，根据数列的单调性，结合充分、必要条件的判定方法，即可得答案.
【详解】当时，，虽然有，但是数列为摆动数列，并不是递增数列，所以不充分；
反之当数列是递增数列时，则必有，因此是必要条件，
故选：B．
【点睛】本题考查充分、必要条件的判断，数列的单调性，着重考查推理分析的能力，属基础题.
9. 若函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出函数的导数，利用单调性可得在上恒成立，再借助恒成立问题求解.
【详解】由函数，求导得，
由函数在上单调递减，得在上恒成立，
即在上恒成立，因此在上恒成立，
而，当时，， ，则，
所以实数a的取值范围是.
故选：C
10. 已知. 将四个数按照一定顺序排列成一个数列，则
A. 当时，存在满足已知条件的，四个数构成等比数列
B. 当时，存在满足已知条件的，四个数构成等差数列
C. 当时，存在满足已知条件的，四个数构成等比数列
D. 当时，存在满足已知条件的，四个数构成等差数列
【答案】D
【解析】
【分析】注意到时，符合题目的要求，由此得出正确选项.
【详解】注意到时，，且的值为，构成公差为的等差数列.由此判断出D选项正确.故选D.
【点睛】本小题主要考查等比数列、等差数列的定义，考查分析求解能力，属于基础题.
二、填空题：本大题共5小题，共25分．把答案填在答题纸中相应的横线上．
11. 函数在区间上的最大值是______；最小值是______．
【答案】 ①. 5 ②.
【解析】
【分析】求出给定函数的导数，探讨在指定区间上的单调性，求出最大值、最小值.
【详解】由，求导得，
而，则当时，，当时，，
因此函数在区间内单调递减，在区间内单调递增，
函数在处取到极小值，
当时，，当时，，则函数在处取到极大值5
所以函数在区间上的最大值是5，最小值是.
故答案为：5；
12. 已知曲线的一条切线的倾斜角为．则切点横坐标为______．
【答案】##
【解析】
【分析】根据导数的几何意义，结合已知条件，即可求得结果.
【详解】根据题意，设切点横坐标为，由，可得，故，解得.
故答案为：.
13. 等差数列的前n项和为，，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据等差数列前项和的性质，结合已知条件，即可求得结果.
【详解】根据等差数列前项和的片段和性质可知：也构成等差数列，也即构成等差数列，
则，解得.
故答案为：.
14. 剪纸，又叫刻纸，是一种镂空艺术，是中国古老的民间艺术之一，已知某剪纸的裁剪工艺如下：取一张半径为2的圆形纸片，记为，在内作内接正方形，接着在该正方形内作内切圆，记为，并裁剪去该正方形内多余的部分（如图所示阴影部分），记为一次裁剪操作，……重复上述裁剪操作4次，最终得到该剪纸．则第4次裁剪操作结束后，所有裁剪操作中裁剪去除的面积之和为______．
【答案】
【解析】
【分析】记第个内接正方形的边长为，其内切圆的半径为，找到它们之间的递推关系：，，这样就可以直接列举并求出结果.
【详解】第次剪去正方形内多余部分的面积记为；
因为的半径为2，由其内接正方形对角线为直径，所以内接正方形的边长为，
即，再作第一个内切圆，其直径为该正方形的边长，即，
所以第一次剪去部分的面积为，
同理：，， ，
，， ，
，， ，
所以前四次裁剪操作中裁剪去除部分的面积之和为：，
故答案为：.
15. 对于函数：①，②，③，④．判断如下两个命题的真假：
命题甲：在区间上是增函数；
命题乙：在区间上恰有两个零点，，且．
能使命题甲、乙均为真的函数的序号是______．（请写出所有满足条件的函数序号）
【答案】②③
【解析】
【分析】分别分析四个函数的性质，求出它们的单调区间，以及他们在区间上零点的个数，和题目中的两个条件进行比照，即可得到答案．
【详解】函数①，
令，可得，即，
解得，故在区间上有无数个零点，命题乙为假，函数①不满足条件；
函数②，
在区间上，函数是增函数， 函数也是增函数，
两者的和函数也是增函数，命题甲为真；
分别画出与的图像如图所示，在时恰有两个不同的交点，

即在区间上恰有两个零点，，且，有，命题乙为真，
函数②满足条件；
函数③，
，在区间上，，在区间上是增函数，命题甲为真；
在上，，单调递减；在上，，单调递增，
当时，取得最小值，又，
令，解得或，即为的两个零点，
∴在区间上恰有两个零点，，且，命题乙为真．
函数③满足条件.
函数④，
，当时，，单调递减；当时，
，单调递增，
则有，
故在区间上只有一个零点，命题乙为假，函数④不满足条件；
故答案为：②③.
三、解答题：本大题共6题，共85分．把答案填在答题纸中相应的位置上．
16. 已知等差数列的公差，且，，的前n项和为．
（1）求的通项公式；
（2）若，，成等比数列，求m的值．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，列出方程组求出，即可求得数列的通项公式.
（2）由（1）的结论，求出前n项和为，结合已知列出方程，即可求解.
【小问1详解】
等差数列中，由，得，又，而，即，
解得，则，于是
所以数列的通项公式为.
【小问2详解】
由（1）知，则，，，
由，，成等比数列，得，即，
整理得，而，解得，
所以.
17. 如图，在多面体中，平面平面.四边形为正方形，四边形为梯形，且，，，.
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见详解；（2）
【解析】
【分析】（1）由，平面平面，利用面面垂直的性质定理可得平面，再利用线面垂直的性质定理即可证出.
（2）取上的点，使得，证明且，过作于，则平面，连接，则为直线与平面所成角，求解三角形即可得出答案.
【详解】（1）证明：四边形正方形，
，
平面平面，且平面平面，
平面，则.
（2）取上的点，使得，
则且，
且，
则四边形为平行四边形，
则且，
由，，
可得，
过作于，则平面，连接，
则为直线与平面所成角，
在中，求得，
直线与平面所成角的正弦值为 .
【点睛】本题考查了面面垂直的性质定理、线面垂直的性质定理、线面角，考查了逻辑推理能力，属于基础题.
18. 已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，若曲线在直线的上方，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求出函数的导函数，利用导数的几何意义求出切线的斜率，从而求出切线方程；
（2）依题意可得当时，恒成立，参变分离可得当时，恒成立，令，，利用导数说明函数的单调性，即可求出的范围，从而得解.
【小问1详解】
当时，，则，
所以切线斜率，
又因为，
所以曲线在点处的切线方程为，即；
【小问2详解】
由题意可知，当时，恒成立，
即当时，恒成立，
设，，
则，
所以在上单调递减，
所以，
所以，
即实数的取值范围为．
19. 已知曲线：是焦点在轴上的椭圆．
（1）求实数的取值范围；
（2）若，过点的直线与直线交于点，与椭圆交于，点关于原点的对称点为，直线交直线交于点，求的最小值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意将椭圆方程化为标准式，根据焦点的位置及椭圆方程的特征列出不等式组，解得即可；
（2）首先得到椭圆方程，设出直线的方程，联立方程，求得点，的坐标，根据对称性得到点的坐标，从而得到直线的方程，令，求出点的坐标，得到的表达式，再根据均值不等式进行求解即可．
【小问1详解】
因为曲线是焦点在轴上的椭圆，
即，所以，解得，
则实数的取值范围为；
【小问2详解】
易知直线的斜率存在且不为，
不妨设直线的方程为，
联立，解得，即，
当时，椭圆方程为，
联立，消去并整理得，
解得，则，
即，
因为点关于原点的对称点为，所以，
此时，
所以直线的方程为，
当时，解得，即，
所以，
则，
因为，
所以，，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以当时，取得最小值，最小值为．
故的最小值为．
【点睛】方法点睛：
解答圆锥曲线的最值问题的方法与策略：
（1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决；
（2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：①配方法；②基本不等式法；③单调性法；④三角换元法；⑤导数法等，要特别注意自变量的取值范围.
20. 已知函数()，．
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）当时，若函数在区间内存在唯一的极值点，求的值．
【答案】（Ⅰ）答案见解析；（Ⅱ）或．
【解析】
【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论的范围求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）求出的导数，根据函数的单调性得到导函数的零点，求出函数的极值点，求出的值即可．
【详解】（Ⅰ）由已知得，．
（ⅰ）当时，恒成立，则函数在为增函数；
（ⅱ）当时，由，得；
由，得；
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为．
（Ⅱ）因为，
则．
由（Ⅰ）可知，函数在上单调递增，在上单调递减．
又因为，，
所以在上有且只有一个零点．
又在上，在上单调递减；
在上，在上单调递增．
所以为极值点，此时．
又，，
所以在上有且只有一个零点．
又在上，在上单调递增；
在上，在上单调递减．
所以为极值点，此时．
综上所述，或．
【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
21. 已知数列的首项，其中，，令集合．
（1）若，写出集合A中的所有的元素；
（2）若，且数列中恰好存在连续的7项构成等比数列，求a的所有可能取值构成的集合；
（3）求证：．
【答案】（1）4，5，6，2，3，1；
（2）{,}；
（3）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）由，利用递推关系依次求出a2，a3，a4，a5，a6，a7，发现a6以后的值与前面项中的值重复出现，由此可知集合A中共有6个元素；
（2）设出数列中的一项为，若是3的倍数，则有；若是被3除余1，由递推关系得到，若被3除余2，由递推关系得到．说明构成的连续7项成等比数列的公比为，结合数列递推式得到符合的形式，再保证满
足≤2020即能求出答案；
（3）分被3除余1，被3除余2，被3除余0三种情况讨论，借助于给出的递推式得到数列{an}中必存在某一项≤3，然后分别由，，进行推证，最终证得1∈A.
【小问1详解】
因为，，，，，，，
所以集合的所有元素为：4，5，6，2，3，1.
【小问2详解】
不妨设成等比数列的这连续7项的第一项为，
如果是3的倍数，则；
如果是被3除余1，则由递推关系可得，所以是3的倍数，所以；
如果被3除余2，则由递推关系可得，所以是3的倍数，所以.
因此该7项的等比数列的公比为.
又因为，所以这7项中前6项一定都是3的倍数，而第7项一定不是3的倍数（否则构成等比数列的连续项数会多于7项），
设第7项为，则是被3除余1或余2的正整数，则可推得
因为，所以或，
由递推关系式可知，在该数列的前项中，满足小于2020的各项只有：
或,或,
所以首项的所有可能取值的集合为{,}.
【小问3详解】
若被3除余1，则由已知可得,；
若被3除余2，则由已知可得,,；
若被3除余0，则由已知可得,；
因此，
所以，对于数列中的任意一项，“若，则”，
因为，所以.
所以数列中必存在某一项（否则会与上述结论矛盾！）
若,结论得证.
若,则；若,则,
所以.
【点睛】关键点点睛：涉及给出递推公式探求数列规律的问题，按条件写出变量的前几个取值对应数列，认真分析每个变量对应的数列，找准变化规律是解决问题的关键.