北京市第一七一中学2024-2025学年高二下学期3月月考 数学试题（含解析）

这是一份北京市第一七一中学2024-2025学年高二下学期3月月考 数学试题（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（每题4分，共40分）
1. 函数在区间上的平均变化率为（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用平均变化率的定义求解.
【详解】设，则函数在区间上的平均变化率为．
故选：A.
2. 函数的导数为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用导数的运算法则以及复合函数求导法则可求出原函数的导数.
【详解】
．
故选：B.
3. 函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)( )．

A. 无极大值点，有四个极小值点
B. 有三个极大值点，两个极小值点
C. 有两个极大值点，两个极小值点
D. 有四个极大值点，无极小值点
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：所给图象是导函数图象，只需要找出与轴交点，才能找出原函数的单调区间，从而找出极值点；由本题图中可见与有四个交点，其中两个极大值，两极小值.
考点：函数的极值.
4. 已知四棱锥有5个顶点，则以其中任意3个顶点组成的三角形的个数是（ ）
A. 6B. 10C. 14D. 18
【答案】B
【解析】
【分析】根据组合数的知识求解即可.
【详解】因为这5个点中任何3个点都不在一条直线上，并且构成的三角形的点没有顺序区分，
所以所有三角形的个数是．
故选：B.
5. 函数的单调递减区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】直接求导并解不等式，即可得到的单调递减区间.
【详解】函数的定义域为，，
解不等式，得，即，即的单调递减区间为．
故选：D.
6. 曲线在点处切线为，则 等于（ ）
A. B. C. 4D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】
根据导数的定义结合导数的几何意义，即可得出答案.
【详解】由题意可得
而
故选：C.
【点睛】本题主要考查了导数的几何意义以及导数的定义，属于基础题.
7. 某航天科研所安排甲，乙，丙，丁4位科学家应邀到创A，B，C三所学校开展科普讲座活动，要求每所学校至少安排1名科学家，且丙必须去A学校，则不同的安排方式共有（ ）
A. 6种B. 12种C. 24种D. 30种
【答案】B
【解析】
【分析】分两种情况：一是A学校只去丙，二是A学校去了丙和另一个科学家，然后利用分类加法原理可求得结果.
详解】由题意得，当A学校只去丙时，则将甲，乙，丁分成两组，分配到B，C两所学校，共有种安排方式，
当A学校去了丙和另一个科学家，则从甲，乙，丁中选一个和丙去A学校，剩下两人分别去B，C两所学校，共有种安排方式，
所以根据分类加法原理可得共有种安排方式，
故选：B
8. 函数，若存在，使有解，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】构造函数，利用导数求最值，进而得的取值范围.
【详解】若存在，使得有解，即．
设，，则．
令，解得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，所以．
故的取值范围为．
故选：A
9. 设，，，则、、的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用函数在上的单调性可得出、的大小关系，利用函数在上的单调性可得出、的大小关系，由此可得出、、的大小关系.
【详解】令，则，
当时，，则单调递增，所以，
即，则；
令，则，当时，，单调递增，
所以，即，即．
综上所述，．
故选：A．
【点睛】结论点睛：两个常见的重要不等式：
（1）；（2）.
10. 在同一平面直角坐标系内，函数及其导函数的图象如图所示.已知这两个函数图象恰有一个公共点，其坐标为，则（ ）
A. 函数的最大值为1B. 函数的最小值为1
C. 函数的最大值为1D. 函数的最小值为1
【答案】A
【解析】
【分析】先由图求出的正负情况，接着研究函数的导函数正负情况即可得解判断AB，研究函数的导函数正负情况即可得解判断CD.
【详解】由图可知恒成立，且不存在导数连续为0情况，
所以函数单调递增，
所以实线表示函数图象的，虚线表示导函数的图象，
所以时，时，
对于AB，函数的导函数为，
则时，时，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以函数有最大值为，故A正确，B错误；
对于CD，函数的导函数为恒成立，
所以函数在R上单调递增，
所以函数无最值，故CD错误；
故选：A
二、填空题（每题5分，共25分）
11. 已知函数，则的图象在处的切线方程为__________ .
【答案】
【解析】
【分析】应用导数的几何意义求函数图象一点处的切线方程即可.
【详解】由题设，则，所以，，
则的图象在处的切线方程为，即.
故答案为：
12. 要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、艺术5门课各一节的课程表，英语课不排在第5节，则不同的排法种数为____ .（以数字作答）
【答案】96
【解析】
【分析】应用特殊元素法，先安排英语课，再把其它课作全排列，最后应用乘法公式求排法数.
【详解】由题意，先把英语安排在前4节课有4种方法，再把余下的4门课安排到其它4节课中有种方法，
所以，一共有种方法.
故答案为：96
13. 已知函数，则__________.
【答案】24
【解析】
【分析】求导后代入即可得，代入求解即可.
【详解】，故，解得，
故，所以.
故答案为：24
14. 用数字0，1，2，3，4，5可组成________个没有重复数字的四位数，在这些四位数中，按从小到大的顺序排成一个数列，则第85个数为________．
【答案】 ①. 300 ②. 2301
【解析】
【分析】根据分步计数原理和分类计数原理求解即可.
详解】法一(直接法)：(个)．法二(间接法)：(个)．
1在首位的数的个数为；2在首位且0在第二位的数的个数为；2在首位且1在第二位的数的个数为；以上四位数共有84个，故第85个数是2 301.
故答案为：300，2301.
15. 已知函数，若没有零点则的取值范围为________.
【答案】
【解析】
【分析】由题设有，讨论、、并利用导数研究的单调性和极值，根据函数无零点列不等式求参数范围.
【详解】令（后续讨论注意分母不为0），则，显然满足题设，
根据题意无零点，而，
当，定义域为且，故在定义域上单调递增，
又趋向时趋向于，趋向时趋向于，即有可能存在一个零点，
若，即，则在定义域上必存在一个零点，
若，即，则在定义域上不存在零点，
所以，时满足题设，
当时，定义域为R，令，
若时，，在上单调递减，
若时，，在上单调递增，
此时，只需，可得，
所以，时满足题设，
综上，
故答案为：
三、解答题（共6题，合计85分）
16. 如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱的中点．

（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）以为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求得直线的方向向量和平面的法向量，计算后即可证明；
（2）根据线面角的向量求法即可求解.
【小问1详解】

以为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，
因为为棱的中点，为棱的中点，所以，
所以，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
因为，所以，
因为平面，所以平面.
【小问2详解】
由（1）得，，
设直线与平面所成的角为，
则.
17. 已知函数，且当时，有极值．
（1）求，的值；
（2）求在上的最大值和最小值．
【答案】（1），；
（2）最大值为，最小值为．
【解析】
【分析】（1）由极值的必要条件以及可列方程求解参数；
（2）求导得出在的单调性，比较极值点与端点函数值即可得解.
【小问1详解】
由，得，
又当时，有极值，
所以，解得
所以，当时，，单调递减；
当时，，单调递增．所以当时，有极小值．
所以，满足题意．
【小问2详解】
由（1）知，．
令，得，，
，的值随的变化情况如下表：
由表可知在上的最大值为，最小值为．
18. 某学校高一 、高二 、高三三个年级共有 名教师，为调查他们的备课时间情况，通过分层
抽样获得了名教师一周的备课时间 ，数据如下表（单位 ：小时）：
（1）试估计该校高三年级的教师人数 ；
（2）从高一年级和高二年级抽出的教师中，各随机选取一人，高一年级选出的人记为甲 ，高二年级选出的人记为乙 ，求该周甲的备课时间不比乙的备课时间长的概率 ；
（3）再从高一、高二、高三三个年级中各随机抽取一名教师，他们该周的备课时间分别是（单位： 小时），这三个数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为，表格中的数据平均数记为 ，试判断与的大小. （结论不要求证明）
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】
【详解】试题分析：（1）直接根据分层抽样方法，可得高三年级的教师共有（人）；（2）根据互斥事件、独立事件的概率公式求解；（3）分别求出三组总平均值，以及新加入的三个数的平均数为9，比较大小即可.
试题解析：（1）抽出的20位教师中，来自高三年级的有8名，
根据分层抽样方法，高三年级的教师共有（人）
（2）设事件为 “甲是现有样本中高一年级中的第个教师”， ，
事件“乙是现有样本中高二年级中的第个教师”， ，
由题意知：，，
设事件为“该周甲的备课时间比乙的备课时间长”，由题意知，
所以
故；
（3），，
三组总平均值，
新加入的三个数的平均数为9，比小，
故拉低了平均值，∴．
19. 已知椭圆的下顶点和右顶点都在直线上.
（1）求椭圆方程及其离心率；
（2）不经过点的直线交椭圆于两点，过点作轴的垂线交于点，点关于点的对称点为.若三点共线，求证：直线经过定点.
【答案】（1），离心率为.
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）求出顶点坐标后可求椭圆的方程和离心率；
（2）设，则可用此两点坐标表示，根据三点共线可得，利用点在直线可得，再联立直线方程和椭圆方程，消元后利用韦达定理可得定点.
【小问1详解】
因为下顶点和右顶点都在直线上，
故，故椭圆方程为：.
其离心率为
【小问2详解】
设，则.
则，故，
因为三点共线，故，整理得到：
，
即.
由可得，
故且，
故，
整理得到：，
若，则，故过，与题设矛盾；
若，则，故过定点.
20. 已知函数.
（1）若，
①求曲线在点处的切线方程；
②求证：函数恰有一个零点；
（2）若对恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）①；②证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）①求导，即可求解斜率，进而可求直线方程，②根据函数的单调性，结合零点存在性定理即可，
（2）求导后构造函数，利用导数判断单调性，可得的最大值为，对分类讨论即可求解.
【小问1详解】
当时，.
①.
所以.
所以曲线在点处的切线方程为.
②由①知，且.
当时，因为，所以；
当时，因为，所以.
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减.
因为.
所以函数恰有一个零点.
【小问2详解】
由得.
设，则.
所以是上的减函数.
因为，
所以存在唯一.
所以与的情况如下：
所以在区间上最大值是
.
当时，因为，所以.
所以.
所以，符合题意.
当时，因为，所以.
所以，不合题意.
综上所述，的取值范围是.
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
21. 设为正整数，若无穷数列满足，则称为数列.
（1）数列是否为数列？说明理由；
（2）已知其中为常数.若数列为数列，求；
（3）已知数列满足，，，求.
【答案】（1）是数列，理由见解析；
（2） ；
（3） .
【解析】
【分析】(1)根据数列的性质判断即可；
(2)根据数列的性质，求出 即可；
(3)根据数列的性质，利用所给的条件，合理演绎即可.
【小问1详解】
∵，∴，
符合的定义，故数列是数列；
【小问2详解】
依题意，，，
因为是数列， ，
①，②,
由①②两式解得
【小问3详解】
∵ 是 数列， ， ，
①，
， ②，，
由①②得又因为，，所以.同理解得.
∴猜想是等差数列，则，公差，所以数列通项公式为.下面再证明数列为满足条件的唯一数列.
因为，则，假设存在使得不成立，且此时最小的为，则，，，因为，所以，与假设想矛盾，
所以，恒成立，所以.
下面证明数列为数列；
检验： ，∴是数列；
，∴是 数列；
，∴是 数列，
并且 ，（），
∴ ， 符合题意，
故.3
4
＋
0
－
0
＋
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
高一年级
高二年级
高三年级
+
0
-
极大