北京市房山区房山中学2024-2025学年高二下学期诊断检测一 数学试题（含解析）

这是一份北京市房山区房山中学2024-2025学年高二下学期诊断检测一 数学试题（含解析），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
试卷共4页，共150分.考试时间90分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.
一、选择题：（每小题5分，共50分）
1. 数列，3，，，…，则是这个数列的第（ ）
A. 8项B. 7项C. 6项D. 5项
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知中数列的前若干项，我们可以归纳总结出数列的通项公式，进而构造关于的方程，解方程得到答案．
【详解】解：数列，3，，，，
可化为：数列，，，，，
则数列的通项公式为：，
当时，则，
解得：，
故是这个数列的第6项.
故选：C．
【点睛】本题考查的知识点是数列的函数特性，数列的通项公式，其中根据已知归纳总结出数列的通项公式，是解答的关键．
2. 设数列的前项和为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用公式进行求解即可.
【详解】由于数列的前项和，
所以，，
所以.
故选：A
3. 已知函数，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求导后，代入即可构造方程求得结果.
【详解】，，解得：.
故选：B.
4. 若等比数列满足，且公比，则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：方法一：根据观察，数列可以为，即，那么.
方法二：对于，又，则.
方法三：对于，解方程可得，，那么通项，可知，，则.
故选C.
考点：1等比数列的基本性质;2等比数列的通项公式.
5. 下列求导运算正确的是
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据导数的运算公式，即可作出判定，即可求解.
【详解】由题意，常数的导数为0，可得是正确的，所以A是正确的；
根据导数的运算公式，可得，，，所以B、C、D是错误的，故选A.
【点睛】本题主要考查了导数的运算，其中解答中熟记导数的运算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
6. 等差数列的前项和为，前项积为，已知，，则（ ）
A. 有最小值，有最小值B. 有最大值，有最大值
C. 有最小值，有最大值D. 有最大值，有最小值
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知条件求得，进而求得，结合数列的有关性质确定正确选项.
详解】依题意，
由解得，，
所以等差数列的前项和满足：最小，无最大值.
，……
，……
所以时：，且为递减数列.
故有最大值，没有最小值.
故选：C
7. 已知曲线在处的切线方程是，则与分别为
A. 5，B. ，5C. ，0D. 0，
【答案】D
【解析】
【分析】利用导数的几何意义得到f'（5）等于直线的斜率﹣1，由切点横坐标为5，
得到纵坐标即f（5）．
【详解】由题意得f（5）=﹣5+5=0，f′（5）=﹣1．
故选D．
【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于基础题．
8. 若数列为等差数列，数列为等比数列，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】对选项A，令即可检验；对选项B，令即可检验；对选项C，令即可检验；对选项D，设出等差数列的首项和公比，然后作差即可.
【详解】若，则
可得：，故选项A错误；
若，则
可得：，故选项B错误；
若，则
可得：，故选项C错误；
不妨设的首项为，公差为，则有：
则有：，故选项D正确
故选：D
9. 设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】设等差数列的公差为，则，利用等差数列的通项公式结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.
【详解】设等差数列的公差为，则，记为不超过的最大整数.
若为单调递增数列，则，
若，则当时，；若，则，
由可得，取，则当时，，
所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”；
若存在正整数，当时，，取且，，
假设，令可得，且，
当时，，与题设矛盾，假设不成立，则，即数列是递增数列.
所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”.
所以，“是递增数列”是“存在正整数，当时，”的充分必要条件.
故选：C.
10. 已知函数满足，，则函数在处的瞬时变化率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据导数的概念和运算法则，求导后代入即可.
【详解】，
在处的瞬时变化率为.
故选：C.
二、填空题（每小题5分，共30分）
11. 在等差数列中，已知，则该数列前5项和_______．
【答案】15
【解析】
【分析】根据等差数列的性质，结合前项和的公式求解即可
【详解】∵，∴．
故答案为：15
12. 已知函数，则______；______.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据解析式和导数的定义直接求解即可.
【详解】，；
.
故答案为：；.
13. 我国古代的数学名著《九章算术》中有“衰分问题”：今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问次日织几问？其意为：一女子每天织布的尺数是前一天的2倍，5天共织布5尺，请问第二天织布的尺数是______.
【答案】
【解析】
【分析】根据等比数列求和公式求出首项即可得解.
【详解】由题可得该女子每天织布的尺数成等比数列，设其首项为，公比为，
则，解得
所以第二天织布的尺数为.
故答案为：.
14. 已知是公差不为0的等差数列，且，，成等比数列.则该等比数列的公比为______.
【答案】2
【解析】
【分析】设，因，，成等比数列，则，据此可得答案.
【详解】设，则，，
又，，成等比数列，则，又，
则，则公比为.
故答案为：2
15. 无穷数列的前n项和记为．若是递增数列，而是递减数列，则数列的通项公式可以为____．
【答案】
（答案不唯一）.
【解析】
【分析】根据是递减数列，可以考虑该数列各项均为负数，再根据是递增数列，可以联想到在上是递增的函数，进而构造出数列.
【详解】因为是递减数列，可以考虑，而是递增数列，可以构造.
故答案为：（答案不唯一）.
16. 过原点作曲线的切线，则切点坐标为________，切线方程为________.
【答案】 ①. （e，1） ②. x-ey=0
【解析】
【分析】
设切点坐标为：，求导，根据切线过原点，由切线的斜率求解.
【详解】设切点坐标为：，
因为，
所以，
因为切线过原点，
所以切线的斜率为：，
解得， ，
所以切点坐标为：，
切线方程为：，即x-ey=0，
故答案为：； x-ey=0.
三、解答题（共70分.要求有必要的解题步骤）
17. 已知函数.
（1）求这个函数的导数；
（2）求曲线在点处的切线方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由导数乘法公式可得答案；
（2）由题可得切线斜率，然后利用点斜式可得答案
【小问1详解】
；
【小问2详解】
由（1），，又，
则切线方程满足.
18. 已知等差数列满足，.
（1）求的通项公式；
（2）等比数列的前项和为，且，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中任选择两个作为已知条件，求满足的的最大值.条件①：；条件②：；条件③：.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据等差数列下标和性质和通项公式直接推导求解即可；
（2）若选①②，根据等比数列通项公式和可求得公比；若选①③，根据等比数列通项公式和单调性可求得公比；若选②③，根据和等比数列单调性可求得公比；根据和可得，结合单调性可求得结果.
【小问1详解】
设等差数列的公差为，
，，，
.
【小问2详解】
由（1）知：，设等比数列的公比为
若选①②：，，，
，，
为递增数列，，，
满足的的最大值为；
若选①③：，，
又，，，
为递增数列，，，
满足的的最大值为；
若选②③：，或，
又，，，
为递增数列，，，
满足的的最大值为.
19. 已知数列满足，，
（1）计算，，，并推测的通项公式；
（2）证明你所得到的结论.
【答案】（1）；
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）由递推公式计算，，，即可推测通项公式；
（2）利用数学归纳法可完成证明.
【小问1详解】
由题，；
；.
则推测；
【小问2详解】
证明：.
当时，结论显然成立；
假设成立，则，
则.
即成立时，也成立，又时，结论成立，
则结论对所有正整数均成立，则.
20. 在数列中，，.
（1）证明：数列是等比数列；
（2）求数列的通项公式；
（3）求数列的前项和公式.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据递推关系式和等比数列定义直接证明即可；
（2）根据等比数列通项公式可求得，进而得到；
（3）采用分组求和法，结合等差和等比数列求和公式可求得结果.
【小问1详解】
，又，
数列是以为首项，为公比的等比数列.
【小问2详解】
由（1）得：，.
小问3详解】
由（2）得：.
21. 设和是两个等差数列，记（，2，3，…），其中表示，，…这s个数中最小的数.
（1）若，，求证：不是等差数列；
（2）若，，证明：是等差数列；
（3）证明：或者对任意实数M，存在正整数m，当时，；或者存在正整数m，使得，，，…是等差数列.
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析； （3）证明见解析；
【解析】
【分析】（1）把代入即可求得，即可证明不是等差数列；
（2）在（1）的启发下，证明当时，，所以关于单调递增. 所以，从而得证；
（3）首先求的通项公式，分三种情况讨论证明.
小问1详解】
，，
，
所以不是等差数列.
【小问2详解】
，
当时，
当时，，
所以关于单调递增，
所以，
所以对任意，因此，
所以是等差数列；
【小问3详解】
设数列和的公差分别为，则
.
所以
①当时，取正整数，则当时，，因此.
此时，是等差数列.
②当时，对任意，
此时，是等差数列.
③当时，
当时，有.
所以

对任意正数，取正整数，
故当时，.
【点睛】易错点睛：本题主要考查函数与数列的综合问题，属于难题.解决该问题应该注意的事项：
(1)数列是一类特殊函数，它的图像是一群孤立的点；
(2)转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问题；
(3)利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化.