北京市2023_2024学年高一数学下学期3月月考试题含解析

这是一份北京市2023_2024学年高一数学下学期3月月考试题含解析，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（考试时长：120分钟）
一、选择题（每题4分，共10题）
1. 在中，，则∠A=（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据及特殊角的函数值得到答案.
【详解】因为，所以.
故选：D
2. 下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，结合三角函数的奇偶性、单调性判断即得.
【详解】对于A，函数是奇函数，在上单调递增，A是；
对于B，函数是偶函数，B不是；
对于C，函数是奇函数，而当时，取最大值，
则在上不单调，C不是；
对于D，函数是奇函数，在上单调递减，D不是.
故选：A
3. 在下列函数中，以π为周期的是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用函数性质逐一确定周期.
【详解】对于A：的周期，错误；
对于B：，其周期，正确；
对于C：的周期，则的周期，错误；
对于D：，其周期，错误.
故选：B
4. 一个扇形的弧长为，面积为，则此扇形的圆心角为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，利用扇形面积公式求出扇形所在圆半径，再利用弧长公式求解即得.
【详解】设扇形所在圆半径为，于是，解得，
所以此扇形的圆心角.
故选：C
5. 将函数的图象向右平移个单位长度，再将图象上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则的解析式为（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意利用的图象变换规律，得出结论.
【详解】将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象；
再将图象上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象.
故选：A.
6. 在中，，，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，利用等腰三角形性质，借助二倍角公式计算即得.
【详解】在中，，则，而，
所以.
故选：C
7. 在中，“”是“”的（）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义判断得解.
【详解】在中，由，得为锐角，为锐角，
当为锐角时，，即，则，
当为钝角时，，即，则，
因此命题“若，则”是假命题；
当时，，有，则，
所以“”是“”的必要而不充分条件.
故选：B
8设函数，则可断定函数（）
A. 最小正周期π，奇函数，在区间上单调递增
B. 最小正周期为π，偶函数，在区间上单调递减
C. 最小正周期为，奇函数，在区间上单调递增
D. 最小正周期为，偶函数，在区间上单调递减
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用奇偶函数定义、复合函数单调性，结合正切函数性质判断得解.
【详解】函数的定义域为，
显然，即函数是偶函数，排除AC；
又，即函数的周期是，
而，当时，无意义，则不是的周期，因此的最小周期是，排除D；
函数在上单调递增，且，则在上单调递增，
所以函数在上单调递减，B正确.
故选：B
9. 已知函数的部分对应值如下表：
且函数在区间上单调递增，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定表格中数据，结合单调区间可得函数图象的对称轴及对称中心，函数的周期，再利用正弦函数的图象性质求解即得.
【详解】由函数在区间上单调，得函数的周期，
又，且，于是得图象的一条对称轴为，
又，，于是得图象的一个对称中心为，
而，，因此，，，
显然，解得，而，则，
函数，当时，，函数在上单调递增，符合题意，
所以.
故选：A
10. 设锐角的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，则周长的取值范围为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先求出角的范围，利用二倍角的正弦公式和正弦定理得，再利用正弦定理和三角恒等变换得，最后得到周长表达式，再利用二次函数的性质即可得到范围.
【详解】因为△为锐角三角形，所以，，，
即，，，所以，；
又因为，所以，又因为和正弦定理得，
由，即
，
所以，令，则，
又因为函数在上单调递增，所以函数值域为，
则的周长的取值范围为.
故选：C.
【点睛】关键点睛：本题解题关键是利用正弦定理实现边角的转化得到周长关于角的函数关系，借助二次函数的单调性求最值.
二、填空题（每题5分，共6题）
11. 已知，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据二倍角的余弦公式求解即可.
【详解】，，即.
故答案为：.
12. 在中，，，，则______；边______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】先利用正弦定理求，再用余弦定理求.
【详解】因为，则，
所以，
由正弦定理得，
又，所以，
所以，
由余弦定理，
解得，负值舍去.
故答案为：；.
13. 在平面直角坐标系中，角与角均以原点为顶点，以Ox为始边，它们的终边关于原点对称，点在角的终边上．若，则x=______；=______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据给定信息，利用正切函数的定义求出，再利用正弦函数的定义求出.
【详解】依题意，，解得，因此，角的终边过点，
于是，.
故答案为：；
14. 设函数．则=______；函数的最小值为______．
【答案】 ①. ②. ##
【解析】
【分析】先化简，然后计算，换元，然后利用二次函数的性质求最值.
【详解】，
则，
令，
则，对称轴为，
故最小值为.
故答案为：；.
15. 对于函数，满足“，都有，”，且，则=______．
【答案】1
【解析】
【分析】确定函数周期性，然后赋值求解.
【详解】因为，所以函数的周期为，
当时，由得
当时，由得，即，
又，
所以，
所以.
故答案为：
16. 设是单位圆的一条直径，的顶点在该单位圆上，延长到（在线段），使得，则的最大值为______．
【答案】
【解析】
【分析】由题意得到，根据边和的范围可设，，其中，转化为三角函数求最大值即可.
【详解】是单位圆的一条直径，的顶点在该单位圆上，
，，
，，
故可设，，其中，
则，
，，，
，
的最大值为.
故答案为：.
三、解答题（共五小题，共80分）
17. 在中，．
（1）求的大小；
（2）若，，求的面积．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角求出即可得解.
（2）由（1）的结论，利用正弦定理求出，再利用三角形面积公式求解即得.
小问1详解】
在中，由及正弦定理定理，得，
而，则，又，
所以.
【小问2详解】
由（1）知，而，，
由正弦定理得，而，则，于是，,
所以的面积.
18. 已知函数．
（1）求的定义域；
（2）求证：；
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）直接根据正切函数的性质求定义域；
（2）利用三角公式变形证明.
【小问1详解】
令，得，
即的定义域为；
【小问2详解】
，，
，
所以.
19. 在中，．
（1）求的大小；
（2）若，求证：为直角三角形．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）在中，，结合降幂公式，化简即可得到答案；
（2）利用余弦定理，结合，化简即可求证.
【小问1详解】
由于在中，，则，
所以，可化简为：，即，
因为，所以.
【小问2详解】
由（1）知，根据余弦定理得：，
由于，则，所以，则是以为直角的直角三角形.
20. 已知函数，在下列三个条件中，选择可以确定和的值的两个条件作为已知．
条件①：的最小正周期为；
条件②：的最大值与最小值之和为0；
条件③：，
（1）求函数的解析式；
（2）求函数在区间的最大值；
（3）令，若在上恒成立，求实数t的取值范围．
【答案】（1）；
（2）1；（3）.
【解析】
【分析】（1）由条件①②③分别求出参数，再确定选择的两个条件求出函数解析式.
（2）由（1）的结论，利用正弦函数的性质求出最大值.
（3）由（1）求出及在指定区间上的值域，由不等式分离参数，用换元法后结合函数的单调性求出最值得的范围.
【小问1详解】
依题意，函数，
条件①，，解得；
条件②，，解得；
条件③，，解得，
显然选择条件①②或①③可以确定和的值，
选择条件①②，，
选择条件①③，.
【小问2详解】
由（1）知，当时，，
则当，即时，，
所以函数在的最大值为1.
【小问3详解】
由（1）知，
当时，，由，得，
令，，则，显然函数在上单调递增，
因此当时，取得最小值，则，
所以实数t的取值范围是.
21. 如图所示，在中，，，D、E分别是边AB、AC上的点（不与端点重合），且．再从条件①、条件②、条件③
条件①：；
条件②：；
条件③：．
中选择两个使得三角形存在且解唯一，并求：
（1）的值；
（2）BE的长度；
（3）四边形BCED的面积．
【答案】（1）；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）选条件①③，利用余弦定理结合已知判断并求的值；选条件②③，利用同角公式及和角的正弦、正弦定理判断并求的值；选条件①②，由正弦定理判定三角形解的情况即得.
（2）由（1）的结论，利用余弦定理求出.
（3）由（1）的结论，求出、的面积，作差可得出四边形的面积.
【小问1详解】
选条件①③，，，在中，，，
由余弦定理得，即，
整理得，解得或，而，则，
于是存在且唯一，由正弦定理得.
选条件②③，，，在中，，，
则，由正弦定理得，
，
由正弦定理得，于是存在且唯一，
因此.
选条件①②，，，在中，，，
由余弦定理得，，
此时，，符合题意，即存在且唯一，
由D、E分别是边AB、AC上的点（不与端点重合），知点位置不确定，保证的点不能确定，
因此不能确定，即不符合题意.
【小问2详解】
由（1）知，，，，在中，，
由余弦定理得
【小问3详解】
由（1）知，，而，则，
在中，，由余弦定理得，
即，整理得，解得，
，所以四边形的面积为.
x