北京市广渠门中学2024-2025学年高二下学期3月月考 数学试卷（含解析）

这是一份北京市广渠门中学2024-2025学年高二下学期3月月考 数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了 下列求导运算正确的是， 已知函数，则， 若，则， 设，若为函数的极大值点，则等内容，欢迎下载使用。
时间：120分钟 满分：150分
一.选择题（共48分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）
1. 下列求导运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据基本初等函数的导数公式计算可得.
【详解】对于A：，故A错误；
对于B：，故B错误；
对于C：，故C错误；
对于D：，故D正确；
故选：D．
2. 已知物体的运动方程是（表示时间，表示位移），则瞬时速度为0的时刻是
A. 0秒、2秒或4秒B. 0秒、2秒或16秒
C. 2秒、8秒或16秒D. 0秒、4秒或8秒
【答案】D
【解析】
【分析】对物体的运动方程求导为瞬时速度，令其为0得瞬时速度为0米每秒的时刻．
【详解】因为物体的运动方程为，则可知，
令得t=0或 t=4或t=8，
故选：D
3. 已知函数，则（ ）
A. 1B. C. 2D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】由题意，根据求导公式和运算法则可得，结合导数的定义即可求解.
【详解】由题意知，，则.
所以.
故选：B
4. 若，则（ ）
A. 6B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意为展开式中含项的系数，写出展开式的通项公式，令，从而可得答案.
【详解】由题意为展开式中含项的系数.
展开式的通项公式为：
令，得，
所以
故选：D
5. 某社区计划在端午节前夕按如下规则设计香囊：在基础配方以外，从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药中至少选择一味添加到香囊，则不同的添加方案有（ ）
A. 种B. 种C. 种D. 种
【答案】C
【解析】
【分析】分四种情况，利用分类计数原理即可求出结果.
【详解】从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药中选一种，有种，
从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药中选二种，有种，
从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药中选三种，有种，
从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药全选，有种，
所以从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药中至少选一种，共有种，
故选：C.
6. 设，若为函数的极大值点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否变号，结合极大值点的性质，对进行分类讨论，画出图象，即可得到所满足的关系，由此确定正确选项.
【详解】若，则为单调函数，无极值点，不符合题意，故.
有和两个不同零点，且在左右附近是不变号，在左右附近是变号的.依题意，a为函数的极大值点，在左右附近都是小于零的.
当时，由，，画出的图象如下图所示：

由图可知，，故.
当时，由时，，画出的图象如下图所示：

由图可知，，故.
综上所述，成立.
故选：D
【点睛】本小题主要考查三次函数的图象与性质，利用数形结合的数学思想方法可以快速解答.
7. 现要从6名学生中选4名代表班级参加学校4×100m接力赛，其中已确定甲跑第1棒或第4棒，乙和丙2人只能跑第2、3棒，丁不能跑第1棒，那么合适的选择方法种数为（ ）
A. 56B. 60C. 84D. 120
【答案】B
【解析】
【分析】特殊位置优先排，甲很特殊，所以分当甲排第1棒时和当甲排第4棒时两类进行讨论求解可得.
【详解】由题设六人中确定甲跑第1棒或第4棒，乙、丙只能跑第2，3棒，丁不能跑第1棒
当甲排第1棒时，乙、丙均不参与则有种，乙、丙至少有一人参与则有种；
当甲排第4棒时，乙、丙均不参与则有种，乙、丙至少有一人参与则有种．
故合适的选择方法种数为种．
故选：B．
8. 定义在上的可导函数的导函数的图象如图所示，则（ ）

A. 是的一个零点B. 和都是的极大值点
C. 的单调递增区间是D. 的单调递减区间是
【答案】C
【解析】
【分析】利用导数分析函数的单调性，逐项判断即可得出结论.
【详解】当时，，函数的单调递减区间为，
当时，恒成立，当且仅当时，等号成立，
所以，函数的单调递增区间为，则是函数的极小值点，
函数无极大值点，无法判断是函数的一个零点，A错B错C对D错.
故选：C.
9. 已知，，，其中为自然对数的底数，则（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先将化成统一形式，构造函数，研究单调性进而比较大小即可.
【详解】由题意得，，；
设，则，
当时，，所以单调递增，又，
所以，即，所以.
故选：A.
10. 已知，则“”是“在内单调递增”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数在内单调递增求出实数的取值范围，再利用集合的包含关系判断可得出结论.
【详解】因为在内单调递增，
则对任意的恒成立，即，
当时，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，
所以，.
因为，因此，“”是“在内单调递增”的充分不必要条件.
故选：A.
11. 已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先判断时，在上恒成立；若在上恒成立，转化为在上恒成立．
【详解】∵，即，
（1）当时，，
当时，，
故当时，在上恒成立；
若在上恒成立，即在上恒成立，
令，则，
当函数单增，当函数单减，
故，所以．当时，在上恒成立；
综上可知，的取值范围是，
故选C．
【点睛】本题考查分段函数的最值问题，关键利用求导的方法研究函数的单调性，进行综合分析．
12. 在同一平面直角坐标系内，函数及其导函数的图象如图所示.已知这两个函数图象恰有一个公共点，其坐标为，则（ ）
A. 函数的最大值为1B. 函数的最小值为1
C. 函数的最大值为1D. 函数的最小值为1
【答案】A
【解析】
【分析】先由图求出的正负情况，接着研究函数的导函数正负情况即可得解判断AB，研究函数的导函数正负情况即可得解判断CD.
【详解】由图可知恒成立，且不存在导数连续为0情况，
所以函数单调递增，
所以实线表示函数图象的，虚线表示导函数的图象，
所以时，时，
对于AB，函数的导函数为，
则时，时，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以函数有最大值为，故A正确，B错误；
对于CD，函数的导函数为恒成立，
所以函数在R上单调递增，
所以函数无最值，故CD错误；
故选：A
二.填空题（共34分）
13. （1）若，则______；
（2）若，则______；
（3）若，则______.
【答案】 ①. ②. ③.
【解析】
【分析】应用导函数的运算律结合基本初等函数计算（1）及（3）；应用复合函数求导计算（2）.
【详解】（1）若，则；
（2）若，则；
（3）若，则.
故答案为：；；.
14. 的展开式有7项，则______；二项式系数最大的项为______.
【答案】 ①. 6 ②.
【解析】
【分析】由二项展开式的性质求解.
【详解】因为的展开式有7项，所以；
则二项式系数最大的项为第四项，
所以，
故答案为：6，
15. 已知在一次降雨过程中，某地降雨量（单位：mm）与时间（单位：mm）的函数关系可近似表示为，则在时的瞬时降雨强度（某一时刻降雨量的瞬间变化率）为__________mm/min.
【答案】##
【解析】
【分析】将函数关于求导，再将代入上式的导函数，即可求解．
【详解】解：因为
，
．
故在时的瞬时降雨强度（某一时刻降雨量的瞬间变化率）为mm/min.
故答案为：
16. 两家夫妇各带一个小孩一起去公园游玩，购票后排队依次入园，为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数为________.
【答案】24
【解析】
【分析】先将两位爸爸排在两端，然后将两个小孩视作一人与两位妈妈排在中间三个位置，进而得到答案.
【详解】第一步：将两位爸爸排在两端有2种排法；第二步：将两个小孩视作一人与两位妈妈任意排在中间的三个位置上有种排法，故总的排法有＝24(种).
故答案为：24.
17. 已知点P在曲线上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】求导，结合基本不等式可得，即可根据求解.
【详解】由于，∵，
∴，∴，即，
∵，∴，
故答案为：
18. 对于偶函数，下列结论中正确的是______
①函数在处的切线斜率为；
②，使得；
③若，则；
④若，都有成立，则m的最大值为.
【答案】①④
【解析】
【分析】根据奇偶性得出的值，再求导即可判断①；构造gx=sinx−x,x>0，研究其最值即可判断②；构造，判断在上的单调性即可判断③④.
【详解】因为奇函数，为偶函数，则为奇函数，
得，经检验成立，故，，
得，故①正确；
令gx=sinx−x,x>0，则，则在上单调递减，
则，即，即，故②错误；
令，则，
则在上单调递减，则，，
即在上单调递减，故③错误；
因在上单调递减，则fx>fπ2=2π，
因，都有成立，则，故④正确.
故答案为：①④
三.解答题（共68分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）
19. 已知函数，.
（1）求的单调区间；
（2）若在区间上的最大值为20，求它在该区间上的最小值.
【答案】（1）的单调递增区间为；单调递减区间为.
（2）
【解析】
【分析】（1）由已知得，由此即能求出的单调区间.
（2）由，得或(舍)，由此结合函数的单调性可知当时，取到最大值，从而求得n的值，即可求得在区间上的最小值.
【小问1详解】
因为，
所以，
由，得，
所以的单调递增区间为；
由，得或，
所以的单调递减区间为.
【小问2详解】
由，得或(舍)，
由（1）可知，在区间上单调递减，在区间上单调递增，
故当时，取到最小值，
由因为，
，
所以当时，取到最大值，
所以，所以，
所以，
所以在区间上的最小值为.
20. 已知是一个极值点.
（1）求的值；
（2）设，试问过点可作多少条直线与曲线相切？请说明理由.
【答案】（1）；
（2）条，理由见解析.
【解析】
【分析】（1）由题意可得出，求出值，再结合函数极值点的定义验证即可；
（2）设切点为，利用导数求出切线方程，将点的坐标代入切线方程，可得出，令，其中，利用导数分析函数的单调性，结合零点存在定理可得出结论.
【小问1详解】
因为，该函数的定义域为，则，
由题意可得，解得，
则，
因为时，由可得，列表如下：
所以，函数在处取得极小值，合乎题意，故.
【小问2详解】
由（1）得，则，其中，
设切点为，则，切线斜率为，
所以，曲线在处的切线方程为，
将点的坐标代入切线方程可得，
整理可得，
令，其中，且，则，
由可得，列表如下：
所以，函数的减区间为，增区间为，极小值为，
且，则函数在区间上有且只有一个零点，
因为，且函数在上单调递增，，
由零点存在定理可知，存在唯一的，使得，
所以，函数在区间内存在唯一的零点，
所以，函数有且只有两个零点，
综上所述，过点可作两条直线与曲线相切.
21. 已知椭圆：的离心率为，长轴长为4，过椭圆右焦点的直线与椭圆交于，两点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）当直线与轴不垂直时，在轴上是否存在一点（异于点），使轴上任意点到直线，的距离均相等？若存在，求点坐标：若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）存在，
【解析】
【分析】（1）根据椭圆的离心率以及长轴长求出，即可求得答案；
（2）假设在轴上存在一点，使轴上任意点到直线，的距离均相等，设直线方程并联立椭圆方程，可得根与系数的关系式，结合假设得，结合根与系数关系式化简，即可得结论.
【小问1详解】
由题意知椭圆：的离心率为，长轴长为4，
设椭圆焦距为2c，故，
故椭圆的标准方程为：；
【小问2详解】
由题意可得，假设在轴上存在一点（异于点），使轴上任意点到直线，的距离均相等；

由题意可设直线，设，，
联立，整理得，
由于直线l过椭圆焦点，必有，
则，
由轴上任意点到直线，的距离均相等，可知直线，关于x轴对称，
即，即，
当时，，即，
整理得，即，
解得，即此时在轴上存在一点，使轴上任意点到直线，的距离均相等；
当时，此时l即为x轴，A，B为椭圆长轴上的两端点，此时也满足题意，
综合知x轴存在一点（异于点），使轴上任意点到直线，的距离均相等，且.
【点睛】关键点睛：本题考查了椭圆方程的求解，以及直线和椭圆位置关系中的探究性问题，解答的关键在于第二问探究形问题，解答时要假设存在，进而明确问题的含义，即为直线，关于x轴对称，即，由此结合根与系数的关系，化简求值，即可解决问题.
22. 已知函数，.
（1）若曲线在点处切线平行于直线，求该切线方程；
（2）若，求证：当时，；
（3）若有且只有两个零点，求a的值.
【答案】（1）；
（2）证明见解析； （3）．
【解析】
【分析】（1）求出，根据求出，再求出，从而可求切线方程.
（2）利用导数求出，根据可得不等式成立.
（3）就和分类讨论，后者可根据极小值的符号来讨论.
【小问1详解】
因为，所以，故．
所以．
所求切线方程为，即．
【小问2详解】
当时，，．
当时，；当时，．
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增．
所以的最小值为f2=1−4e2>0．
故时，．
【小问3详解】
对于函数，．
（i）当时，，没有零点；
（ii）当时，．
当时，，所以在区间上单调递增；
当时，，所以在区间上单调递减；
当时，，所以在区间上单调递增．
所以是的极大值，是的极小值．
因为，
所以在上有且只有一个零点．
由于，
①若，即，在区间上没有零点；
②若，即，在区间上只有一个零点；
③若，即，由于，所以在区间上有一个零点．
由（2）知，当时，，所以f4a=1−16a3e4a=1−16a3e2a2>1−16a32a4=1−1a>0．
故在区间上有一个零点．
因此时，在区间上有两个零点．
综上，当有两个零点时，．
23. 给定正奇数，数列： 是的一个排列，定义为数列： 的位差和.
（1）当时，求数列：1，3，4，2，5的位差和；
（2）若位差和，求满足条件的数列：的个数；
（3）若位差和，求满足条件的数列：的个数.
【答案】（1）;（2） ;（3）.
【解析】
【分析】（1）当时，结合数列的新定义，直接求解即可；
（2）由，可得分为两种情况：当，且和当分别等于或或，分求解，即可得到答案；
（3）将去绝对值符号后，得到结果为的形式，其中恰好有个数前面为减号，得到，进而得到减号的个数最小为：2个1，2个2，…，2个 和1个， 进而求得数列的个数.
【详解】（1）当时，可得.
（2）若数列：的位差和，有如下两种情况：
当，且，
其他项（其中）时，
有种可能，
当分别等于或或，
其他项（其中）时，有种可能；
综上，满足条件的数列：的个数为：.
例如：时，
形如2，1，4，3，5，共有种：2，1，4，3，5；2，1，3，5，4；1，3，2，5，4；
形如3，2，1，4，5，共有种：3，2，1，4，5；1，4，3，2，5；1，2，5，4，3；
形如2，3，1，4，5，共有种：2，3，1，4，5；1，3，4，2，5；1，2，4，5，3；
形如3，1，2，4，5，共有种：3，1，2，4，5；1，4，2，3，5；1，2，5，3，4.
（3）将去绝对值符号后，
所得结果为的形式，其中恰好有个数前面为减号，
这表明

，
此不等式成立是因为前面为减号的个数最小为：2个1，2个2，…，2个 和1个，
所以所求的数列：是使得最大的数列，这样的数列在时，要求从中任选一个数作为，将剩余数中较大的个数的排列作为的对应值，较小的个数的排列作为 的对应值，
于是所求数列的个数为，
综上，满足条件的数列的个数为.
减
极小值
增
减
极小值
增