2022-2023学年北京市房山区高二上学期诊断性评价数学试题（解析版）

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2022-2023学年北京市房山区高二上学期诊断性评价数学试题一、单选题1．椭圆的焦距是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据椭圆方程直接求解即可.【详解】由得：，解得：，焦距为.故选：A.2．直线经过定点（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】令求解.【详解】解：令，得，此时，所以直线经过定点，故选：D3．已知以点A(2，－3)为圆心，半径长等于5的圆O，则点M(5，－7)与圆O的位置关系是(　　)A．在圆内 B．在圆上C．在圆外 D．无法判断【答案】B【详解】因为 ,所以点M在圆上，选B.4．“”是“方程表示的曲线为双曲线”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据双曲线的方程以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】当，则且或且，此时方程表示的曲线一定为双曲线；则充分性成立；若方程表示的曲线为双曲线，则，则必要性成立，故选：.5．已知椭圆的左右焦点分别为，点A在椭圆上，点B在的延长线上，且，则点B的轨迹是（    ）A．两条平行线 B．双曲线 C．椭圆 D．圆【答案】D【分析】结合椭圆和圆的定义求得正确答案.【详解】根据椭圆的定义可知，由于，所以，即，所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆.故选：D6．直线与直线垂直，则的值是A．－1或 B．1或 C．－或－1 D．－或1【答案】D【详解】因为直线与直线垂直，所以故选D.7．过抛物线y2＝8x的焦点，作倾斜角为45°的直线，则被抛物线截得的弦长为(　　)A．8 B．16 C．32 D．64【答案】B【分析】求出抛物线的焦点为F（2，0），直线的斜率k=tan45°=1，从而得到直线的方程为y=x﹣2．直线方程与抛物线方程联解消去y得x2﹣12x+4=0，利用根与系数的关系可得x1+x2=12，再根据抛物线的定义加以计算，即可得到直线被抛物线截得的弦长．【详解】∵抛物线方程为y2=8x，2p=8，=2，∴抛物线的焦点是F（2，0）．∵直线的倾斜角为45°，∴直线斜率为k=tan45°=1可得直线方程为：y=1×（x﹣2），即y=x﹣2．设直线交抛物线于点A（x1，y1），B（x2，y2），联解，消去y得x2﹣12x+4=0，∴x1+x2=12，根据抛物线的定义，可得|AF|=x1+=x1+2，|BF|=x2+=x2+2，∴|AB|=x1+x2+4=12+4=16，即直线被抛物线截得的弦长为16．故选B．【点睛】本题给出经过抛物线的焦点的直线倾斜角为45°，求直线被抛物线截得的弦长．着重考查了抛物线的定义与标准方程、一元二次方程根与系数的关系、直线与圆锥曲线的位置关系等知识，属于中档题．8．过定点作圆的切线．则切线的方程为（    ）A． B．C．或 D．或【答案】C【分析】根据圆心到直线的距离等于半径求得切线方程，【详解】依题意可知，切线的斜率存在，设切线方程为，即，圆的圆心为，半径为，所以，解得或，所以切线方程为或，即或.故选：C9．已知双曲线过点且渐近线为，则下列结论正确的是（    ）A．双曲线的方程为 B．双曲线的离心率为C．曲线经过双曲线的一个焦点 D．直线与双曲线有两个不同交点【答案】A【分析】根据待定系数法求得双曲线方程，进而逐项求解判断即可.【详解】由题意设双曲线方程为，将点代入解得，所以双曲线方程为，A正确；因为，，所以，，B错误；因为双曲线的焦点坐标为，代入均不满足，C错误；联立得，，所以直线与双曲线仅有一个交点，D错误；故选：A10．已知是双曲线的左、右焦点，若在右支上存在点A，使得点到直线的距离为，则双曲线离心率e的范围是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】设，，其中，设直线方程为，其中利用点到直线的距离为，得到关于表达式，再利用可得答案.【详解】设，，其中，设直线方程为，则.因点到直线的距离为，则则，则.故选：D二、填空题11．直线的倾斜角是__________．【答案】【分析】根据斜率和倾斜角的对应关系确定正确答案.【详解】直线的斜率为，倾斜角范围是[0,π），所以倾斜角为.故答案为：12．抛物线的准线方程为________．【答案】【详解】抛物线的准线方程为；故填.13．圆的圆心到直线的距离是____________．【答案】【分析】将圆的一般方程化为标准方程，找出圆心，再利用点到直线的距离公式求解即可.【详解】由圆有圆的标准方程为：，所以圆心为，则到直线的距离为：，故答案为：.14．已知双曲线M满足以下条件：①离心率为2；②焦点在坐标轴上；③对称轴是坐标轴．则满足上述条件的双曲线M的一个方程是____________．【答案】（答案不唯一）【分析】根据条件写出一个双曲线方程即可.【详解】由双曲线中，故离心率为2，且焦点在x轴上，曲线关于坐标轴对称，所以双曲线满足题设.故答案为：（答案不唯一）15．已知点是圆上一点，给出下列结论：①；②圆C的圆心为；③圆C的半径为25；④点也是圆C上一点．其中正确结论的序号是___________．【答案】①②④【分析】利用点坐标求得，进而确定正确答案.【详解】由于点是圆上一点，所以，①正确，圆的方程为，即，故圆心为，半径为，②正确，③错误.，所以点也是圆C上一点，④正确.故答案为：①②④三、双空题16．已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，椭圆的上顶点为．且．双曲线和椭圆有相同焦点，且双曲线的离心率为，为曲线与的一个公共点，若．则_________，________．【答案】          【分析】根据可得，，由此可得；假设在第一象限，由求出，，根据余弦定理得，将，代入可得，再根据离心率公式可求出结果.【详解】在椭圆中，因为上顶点为．且，所以，所以，所以，所以.设双曲线方程为，假设点在第一象限，则由得，，在中，由余弦定理得，所以，整理得，得，所以，所以，解得.故答案为：；.四、解答题17．已知的边AC，AB上的高所在直线方程分别为﹐顶点．(1)求顶点C的坐标；(2)求BC边所在的直线方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据的边AC的高所在直线方程为和顶点，得到直线AC的方程，与的边AB上的高所在直线方程联立求解；（2）利用（1）的方法，再求得顶点B的坐标，然后利用两点式写出直线AB所在的直线方程.【详解】（1）解：因为的边AC的高所在直线方程为，所以﹐又顶点，所以直线AC的方程为，即，又的边AB上的高所在直线方程为，由，解得，所以顶点；（2）由 的边AB上的高所在直线方程为，得﹐又顶点，所以直线AB的方程为，即，又的边AC的高所在直线方程分别为，由，解得，所以顶点；所以BC边所在的直线方程，即．18．已知圆，点．P是圆C上的任意一点．(1)求圆C的圆心坐标与半径大小；(2)求的最大值与最小值．【答案】(1)圆心为，半径(2)最大值、最小值分别为16、8.【分析】（1）写出圆C的标准方程，即可确定圆心和半径；（2）设，则有，问题转化为求的范围，即圆上点到原点O距离平方的范围，即可得结果.【详解】（1）由题设，故圆心为，半径；（2）令，则，而为圆上点到原点O距离的平方，所以，只需确定的范围，即可确定的最值，因为，故，所以的最大值、最小值分别为16、8.19．圆过点A(1，－2)，B(－1，4)，求：（1）周长最小的圆的方程；（2）圆心在直线2x－y－4＝0上的圆的方程．【答案】（1）x2＋(y－1)2＝10；（2）(x－3)2＋(y－2)2＝20.【分析】（1）根据当AB为直径时，过A，B的圆的半径最小进行求解即可；（2）根据垂径定理，通过解方程组求出圆心坐标，进而可以求出圆的方程.【详解】解：（1）当AB为直径时，过A，B的圆的半径最小，从而周长最小，即AB中点(0，1)为圆心，半径r＝|AB|＝.故圆的方程为x2＋(y－1)2＝10；（2）由于AB的斜率为k＝－3，则AB的垂直平分线的斜率为，AB的垂直平分线的方程是y－1＝x，即x－3y＋3＝0.由解得即圆心坐标是C(3，2)．又r＝|AC|＝＝2.所以圆的方程是(x－3)2＋(y－2)2＝20.20．已知抛物线C的顶点在原点，对称轴是y轴，焦点F在y轴正半轴，直线l与抛物线C交于A，B两点，线段AB的中点M的纵坐标为2，且．(1)求抛物线C的标准方程；(2)若直线l经过焦点F，求直线l的方程【答案】(1)(2)【分析】（1）首先根据中点坐标，得，再根据焦半径公式求，即可求抛物线方程；（2）首先设直线的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理求，即可求抛物线方程.【详解】（1）设抛物线方程，，，由条件可知，，，得，所以抛物线C的标准方程是；（2）由（1）可知，直线的斜率存在，且焦点，设直线，联立，得，得，所以直线l的方程是.21．已知椭圆过点．离心率为，右焦点为﹐过的直线与椭圆交于，两点，点的坐标为﹒(1)求椭圆的方程；(2)设为坐标原点．证明：．【答案】(1)；(2)证明见解析.【分析】（1）根据由题意，列关于的方程组求解，即可得椭圆的方程；（2）讨论直线与轴重合以及垂直的情况可得，然后讨论直线与轴不重合也不垂直的情况，设直线方程，联立方程组，写出韦达定理，表示出直线和直线的斜率之和，从而代入韦达定理计算，可得，从而得直线和直线的倾斜角互补，即可证明.【详解】（1）由题意，列式得，解得，所以椭圆的方程为.（2）当直线与轴重合时，，当直线与轴垂直时，直线为的垂直平分线，所以.当直线与轴不重合也不垂直时，由题意，，设直线的方程为，，，则，得.所以，由题意，直线和直线的斜率之和为，代入韦达定理得，，所以，故直线和直线的倾斜角互补，所以.综上，得证.【点睛】思路点睛：（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去(或)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系；（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为或不存在等特殊情形．