山东省临沂市蒙阴第一中学2024-2025学年高三下学期第三次模拟预测 数学试题（含解析）

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1. 已知集合，集合，则（ ）
A B. C. D.
2. 已知复数在复平面内所对应的点位于第一象限，且，则复数在复平面内所对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3. 函数在区间上是减函数，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
4. 已知的展开式中第2项，第3项，第4项的二项式系数成等差数列，则（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
5. 已知向量满足与垂直，则的最小值为（ ）
A. B. C. 1D. 3
6. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯用不同的平面截同一圆锥，得到了圆锥曲线，其中的一种如图所示．用过M点且垂直于圆锥底面的平面截两个全等的对顶圆锥得到双曲线的一部分，已知高，底面圆的半径为4，M为母线PB的中点，平面与底面的交线，则双曲线的两条渐近线所成角的余弦值为（ ）．

A. B. C. D.
7. 已知正方体的棱长为，为的中点，为棱上异于端点的动点，若平面截该正方体所得的截面为五边形，则线段的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数，若，则的最大值为（ ）
A. B. C. eD.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求、全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知、是正数，且，下列叙述正确的是（ ）
A. 最大值为B. 的最小值为
C. 最小值为D. 最小值为
10. 设是一次随机试验中的两个事件，且，则（ ）
A B. 相互独立
C. D.
11. 数学中有许多美丽的曲线，图中美丽的眼睛图案由两条曲线构成，曲线，上顶点为，右顶点为，曲线上的点满足到和直线的距离之和为定值4，已知两条曲线具有公共的上下顶点，过作斜率小于0的直线与两曲线从左到右依次交于且，则（ ）
A. 曲线由两条抛物线一部分组成
B. 线段的长度与点到直线的距离相等
C. 若线段的长度为，则直线的斜率为
D. 若，则直线的斜率为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 市环保局开展了环境治理专项活动，活动结束后对志愿者做了一次随机抽样调查，统计整理了部分志愿者的服务时长（单位：小时），得到如图所示的频率分布直方图，据此估计志愿者服务时长的第90百分位数为______．
13. 已知圆，直线与圆交于两点．若为直角三角形，则______．
14. 已知函数的图象平分系列圆的周长与面积，记圆在轴右侧的圆心的横、纵坐标分别组成数列，则的前项和为__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 某工厂在改进生产技术后，针对新旧两种技术所生产的电子元件实施质量检测，现从每种技术生产的产品中各随机抽取容量为40的样本进行电压测试.已知标准电压为3.7V，误差绝对值不超过0.1V的电子元件为优品，超过0.1V的电子元件为良品.
（1）已知旧技术生产的40个样本电子元件的电压测量值近似服从正态分布的近似值为样本均值3.7，的近似值为样本标准差0.09.假设该工厂前期运用旧技术已生产电子元件40000个，试估算旧技术生产的电子元件电压测量值高于3.88V的有多少个？
（2）从新技术生产的40个样本电子元件中随机选取一个是优品的概率为.请补全以下列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为电子元件的优良情况与新旧技术有关？
附：若随机变量服从正态分布，则，..
16. 在锐角中，内角所对的边分别为，，，满足，且.
（1）求证：；
（2）已知是的平分线，若，求线段长度的取值范围.
17. 已知双曲线的离心率为，点在双曲线上，过的左焦点的直线与的左支相交于两点，且分别交的两条渐近线于两点．
（1）求双曲线的方程；
（2）若是坐标原点，，求的面积．
18. 如图，四面体中，为等边三角形，且，为等腰直角三角形，且．
（1）当时，
（ⅰ）求二面角正弦值；
（ⅱ）当为线段中点时，求直线与平面所成角正弦值；
（2）当时，若，且平面为垂足，中点为中点为；直线与平面的交点为，当三棱锥体积最大时，求的值．
19. 已知，函数.
（1）当时，证明：；
（2）若恒成立，求a的取值范围；
（3）设集合，对于正整数m，集合，记中元素个数为，求数列的通项公式.
优品
良品
合计
旧技术
新技术
合计
16
0.100
0.050
0.025
0.005
2.706
3.841
5.024
7.879