山东省蒙阴第一中学2025届高三第五次模拟测试 数学试题（含解析）

这是一份山东省蒙阴第一中学2025届高三第五次模拟测试 数学试题（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．若集合，集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知为复数，为纯虚数，为实数，则（ ）
A．2B．C．D．3
3．已知，，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知，向量在向量上的投影向量与向量方向相反，且，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
5．已知等比数列的各项均为正数，且，则（ ）
A．6B．9C．27D．81
6．双曲线（，）的右焦点为，过点的直线与圆相切于点且与双曲线的左支交于点，线段的中点为，且在线段上，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．
C．D．
7．四棱锥中，，，，则三棱锥的体积为（ ）
A．5B．6C．8D．9
8．已知函数，若方程在区间上有且仅有2个不等的实根，，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列命题中，真命题的是（ ）
A．中位数就是第50百分位数
B．已知随机变量，若，则
C．已知随机变量，满足，若，，则，
D．已知采用分层抽样得到的高三年级男生、女生各100名学生的身高情况为：男生样本平均数172，方差为120，女生样本平均数165，方差为120，则总体样本方差为120
10．若函数有极值，则的可能取值为（ ）
A．8B．9C．10D．11
11．已知直线及圆，则（ ）
A．直线过定点
B．直线截圆所得弦长最小值为2
C．存在，使得直线与圆相切
D．存在，使得圆关于直线对称
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知数列的前项和为（），满足（），，则 .
13．的展开式中的系数为 （用数字作答）
14．如图，直线AB在平面内，点C在平面外，直线AB与AC的夹角为，直线AC与平面所成的角为交．若平面ABC与平面所成角的大小为，且，则的值为
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知数列的首项且满足．
(1)证明：是等比数列；
(2)数列满足，，记，求数列的前n项和．
16．如图所示，在三棱柱中，是边长为2的正三角形，，在底面上的射影为中点，为的中点．

(1)求证：平面；
(2)求直线与所成角的正弦值．
17．将某新开业的创意甜品店的开业天数与利润（单位：千元）之间的相关数据统计如表1所示.
表1
(1)已知与呈线性相关关系，求关于的经验回归方程；
(2)为了庆祝甜品店开业两个月，店家在开业刚好两个月这天组织消费者参加消费返利抽奖游戏，游戏规则如下：在抽奖盒中放有5张卡片，其中2张写有“幸运顾客”，3张写有“不要泄气”，一轮次机会中参加游戏的消费者有放回地抽取3次，每次抽取1张卡片，每一轮次抽奖之后根据表3计算奖金，消费金额（单位：元）在的消费者分别有轮次的抽奖机会.
已知这天顾客的消费情况以及每一轮次抽奖后具体的奖励情况如下，求这天返利总金额的数学期望.
表2
表3
参考公式：对于一组数据，其经验回归直线的斜率和截距最小二乘估计分别为.
18．已知函数，曲线在点处的切线与轴平行.
(1)求实数的值；
(2)若对于任意，恒成立，求实数的取值范围.
19．设分别为椭圆的左、右焦点，是椭圆的短轴的一个端点，的面积为，椭圆的离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)如图，是椭圆上不重合的三点，原点是的重心.
（i）当直线垂直于轴时，求点到直线的距离；
（ii）求点到直线的距离的最大值.
参考答案
1．【答案】D
【详解】由，，故.
故选D.
2．【答案】B
【详解】因为为复数，为纯虚数，为实数，
所以.
所以.
故选B.
3．【答案】B
【详解】因为；
又.
所以，.
所以.
故选B
4．【答案】D
【详解】设向量在向量的夹角为，，
因为向量在向量上的投影向量与向量方向相反，
所以，解得，所以.
故选D.
5．【答案】A
【详解】∵等比数列的各项均为正数，且，

故选A.
6．【答案】B
【详解】解：如图，设双曲线的左焦点为，连接，
因为过点的直线与圆相切于点，，
所以，
所以，
因为线段的中点为，为线段的中点，
所以 ，
所以，由双曲线的定义得，
所以，所以，
所以，在中，，即，
所以，离心率为.
故选B.
7．【答案】C
【详解】设平面的法向量为，
则，则，
则点到平面的距离为，
又，，
则点到直线的距离为，
则，
故三棱锥的体积为.
故选C.
8．【答案】A
【详解】当时，，当时，，
作出函数在区间上的图象如图所示，

结合图象可得，当时，方程在上有且仅有2个不等的实根，，
且，所以的取值范围是.
故选A.
9．【答案】AB
【详解】对于A选项，中位数就是第50百分位数，A选项正确.
对于B选项，已知随机变量，根据二项分布的方差公式（其中是试验次数，是每次试验成功的概率），可得.
又因为（、为常数），那么.
已知，即，解得，B选项正确.
对于C选项，已知随机变量，满足，根据期望的性质（、为常数），可得.
因为，所以.
再根据方差的性质（、为常数），可得.
因为，所以，C选项错误.
对于D选项，设男生样本为，平均数为，方差为；女生样本为，平均数为，方差为.
总体样本平均数.
根据分层抽样样本方差公式（其中、分别是男生、女生的样本数量），可得：
，所以D选项错误.
故选AB.
10．【答案】AB
【详解】函数，，
∵函数有极值，
∴有变号零点，
结合二次函数的性质可得：，解得，
结合选项可知的可能取值为8,9，
故选AB.
11．【答案】ABD
【详解】A选项，由，
得，解得，所以直线过定点为，故A正确；
B选项，由圆的标准方程可得圆心为，半径，直线过的定点为，
当时，直线截圆所得弦长最短，因为，
则最短弦长为，故B正确；
C选项，，故点在圆内，所以直线与圆一定相交，故C错误；
D选项，当直线过圆心时，满足题意，此时，解得，
故D正确.
故选ABD.
12．【答案】/
【详解】由可得，
又，则，即，
当时，，
所以数列是以为首项，以为公差的等差数列，
则，则，所以.
13．【答案】
【详解】的展开式的通项式
当时，,
当时，,
的展开式中含的系数为.
故答案为.
14．【答案】/0.6
【详解】过点作,且交于点,
过点作，且交于,
则直线AC与平面所成的角为,
所以,
不妨设，易得,
则,
又平面ABC与平面所成角为，
,则,则,
中，，
代入，
可求得.
15．【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）根据题意，将递推公式变形，结合等比数列的定义即可证明；
（2）根据题意，求得数列的通项公式，再结合错位相减法即可得到结果.
【详解】（1）证明：由题意得，所以，
又因为，所以，所以，
即是首项为3，公比为3的等比数列．
（2）由（1）得，所以，
由，得，所以，，…，，
当时，；
当时，，满足上式，
所以，，
所以，①
，②
①-②得
，
所以．
16．【答案】(1)证明见解析；
(2).
【详解】（1）在三棱柱中，取中点，连，依题意，平面，
而平面，则，又是正三角形，即有，，
平面，于是平面，因为为的中点，则，
即四边形是平行四边形，有，则四边形是平行四边形，有，
所以平面．
（2）由（1）知，，，平面，
则平面，而平面，于是平面平面，
平面平面，在平面内过作于，则平面，
连，因此是直线与平面所成的角，正的边长为2，则，
又，，于是，，又，因此，
所以直线与平面所成的角的正弦值为．
17．【答案】(1)；
(2)1413.12元.
【详解】（1）依题意得，
则1700，
，
则，，
故关于的经验回归方程为.
（2）设表示参加一轮次抽奖所获得的奖励金额，则的可能取值为，
因为抽取一张卡片，抽到“幸运顾客”卡片的概率，
所以，
，
，
所以元，
所以元.
18．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为函数，可得，
所以，即曲线在点处的切线的斜率为，
因为曲线在点处的切线与轴平行，
所以，解得，故实数的值为.
（2）由（1）知，
因为，所以由，即.
设，，
则在，上恒成立，
所以函数在上单调递减，所以，
所以，即实数的取值范围是.
19．【答案】(1)；
(2)；.
【分析】（1）根据已知可得，，再结合求出椭圆方程；
（2）（i）设出三点坐标根据重心坐标公式和已知条件列出方程得到的纵坐标为，从而解出横坐标，进而解出结果.
（ii）讨论直线有无斜率两种情况，有斜率时设出直线的方程，与椭圆联立，结合根与系数关系，重心坐标表示出的坐标，代入椭圆得到一个关系式，利用点到直线距离公式表示点到直线 的距离并化简，结合式子结构，综合两种情况解出结果.
【详解】（1）令椭圆的半焦距为，由椭圆的离心率为，得，
，由的面积为，得，
因此，
所以椭圆的方程为；
（2）（i）设，由直线垂直于轴，得，
由原点是的重心，得，即，，
又，解得，所以到直线的距离为.
（ii）由（i）知，当直线斜率不存在时，到直线的距离为；
当直线斜率存在时，设直线方程为，，
由得，且，即，
，
由原点是的重心，得，
解得，点，
于是，整理得，
因此点到直线的距离为
，
所以当与轴垂直时点到直线的距离最大为.
【关键点拨】解答本题的难点是第二问中复杂的参数运算，解答时要结合方程求出点到直线的距离的表达式，计算基本都是字母参数的运算，比较复杂，要十分细心.
10
20
30
40
50
50
65
70
95
120
消费金额
人数
6
22
25
35
8
4
“幸运顾客”卡片数
3
2
其他情况
奖励金额（单位：元）
30
20
0