2022-2023学年山东省临沂市蒙阴县第一中学高一下学期第二次月考数学试题含解析

2022-2023学年山东省临沂市蒙阴县第一中学高一下学期第二次月考数学试题

一、单选题

1．在中，内角，，所对的边分别为，，，若，则（    ）

A． B．或 C． D．或

【答案】D

【分析】由正弦定理得化简即得解.

【详解】因为，

所以或.

或都满足题意.

故选：D

2．已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，下列四个命题中正确的是（    ）

A．如果，，那么

B．如果，，那么

C．如果，，，那么

D．如果，直线与所成的角和直线与所成的角相等，那么

【答案】B

【分析】A. 或相交或异面，所以该选项错误；

B. 如果，，那么，所以该选项正确；

C. 或相交，所以该选项错误；

D. 或相交或异面，所以该选项错误.

【详解】A. 如果，，那么或相交或异面，所以该选项错误；

B. 如果，，那么，所以该选项正确；

C. 如果，，，那么或相交，所以该选项错误；

D. 如果，直线与所成的角和直线与所成的角相等，那么或相交或异面，所以该选项错误.

故选：B

3．某中学有高中生3 500人，初中生1 500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为(　　)

A．100 B．150

C．200 D．250

【答案】A

【详解】试题分析：根据已知可得：，故选择A

【解析】分层抽样

4．一个侧棱长为的直棱柱的底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图为如图所示的菱形，其中，则该直棱柱的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据斜二测画法的定义，求出四边形的面积，然后根据棱柱的体积公式计算即可.

【详解】解：根据题意，四边形为矩形，

因为，所以，

所以矩形的面积为，

所以直棱柱的体积为.

故选：C.

5．泰山于1987年12月12日被列为世界文化与自然双重遗产，泰山及其周边坐落着许多古塔．某兴趣小组为了测量某古塔的高度，如图所示，在地面上一点处测得塔顶的仰角为，在塔底处测得处的俯角为．已知山岭高为256米，则塔高为（    ）

A．米 B．米 C．米 D．米

【答案】B

【分析】中求出，再在中求得，从而可得．

【详解】在中，，

在中，，

所以．

故选：B．

6．已知的内角，，所对的边分别为，，，下列说法中不正确的是（      ）

A．若，则一定是等腰三角形

B．若，则一定是等边三角形

C．若，则一定是等腰三角形

D．若，则一定是钝角三角形

【答案】A

【分析】对于A：利用正弦定理得到或，即可判断；对于B：由余弦函数的有界性求出，即可判断；对于C：由余弦定理求出，即可判断；对于D：利用三角公式判断出或，即可得到答案.

【详解】对于A：因为，由正弦定理得：，

所以.

因为，为的内角，所以或，

所以或.

所以是等腰三角形或直角三角形.故A错误；

对于B：由余弦函数的有界性可知：若.

因为，所以或.

当时，有且，所以,所以是等边三角形.

当时，有且，不符合题意.

所以一定是等边三角形.故B正确；

对于C：因为，由余弦定理得：，

所以，所以

则一定是等腰三角形.故C正确；

对于D：在中，，所以,

.

所以,

所以，即,所以或.

所以一定是钝角三角形.

故选：A

二、多选题

7．已知圆锥的顶点为，底面半径为，高为1，，是底面圆周上两个动点，下列说法正确的是（    ）

A．圆锥的侧面积是

B．与底面所成的角是

C．面积的最大值是

D．该圆锥内接圆柱侧面积的最大值为

【答案】ABD

【分析】根据圆锥的性质，计算基本量，判断AB选项，根据的面积公式，计算顶角的取值范围，计算面积的最值，利用圆锥和内接圆柱的轴截面，计算侧面积的最大值.

【详解】圆锥的母线，则圆锥的侧面积，故A正确；

设与底面所成的角是，，即，故B正确；

轴截面的顶角是，当顶角等于时，面积的最大值是，故C错误；

下图是圆锥和圆柱的截面图，设圆柱底面半径，则高是，则圆锥内接圆柱的侧面积，当时，侧面积取得最大值，故D正确.

故选：ABD

三、单选题

8．过球表面上一点引三条长度相等的弦，且两两夹角都为60°，若，则该球的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】将几何体补形成正方体，根据求得正方体的边长，从而求得正方体的体对角线长，也即求得球的直径，由此可求得球的体积.

【详解】依题意，将几何体补形成正方体，如下图所示，由于，所以正方体的边长为，其体对角线长为，也即球的直径为，半径为，所以球的体积为.

故选：A

【点睛】本小题主要考查球的体积计算，考查球与内接几何体，考查空间想象能力，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.

四、多选题

9．设z是非零复数，则下列说法正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】AB

【分析】根据复数的相关概念结合复数的运算逐项分析运算.

【详解】设，但不同时为0，则，可得，

对于A：若，则，

故，A正确；

对于B：∵，

若，则，

解得：或（舍），B正确；

对于C：若，即，解得，

故，则，

可得，C不正确；

对于D：，则，解得，

即z为纯虚数，此时，

故，D不正确.

故选：AB.

10．已知向量，，则（    ）

A．

B．向量在向量上的投影向量是

C．

D．与向量共线的单位向量是，

【答案】AC

【分析】由向量垂直的坐标表示，数量积的定义，模的坐标表示，共线向量的坐标表示及单位向量的定义计算后判断．

【详解】解：因为向量，，故，

对于A，，所以，所以，故A正确；

对于B，向量在向量上的投影向量是，（注是向量的夹角），故B错误；

对于C，，所以，故C正确；

对于D，共线的单位向量是，即，或，，故D错误.

故选：AC.

11．(多选)已知f(x)＝(1＋cos 2x)sin2x(x∈R)，则下面结论正确的是（    ）

A．f(x)的最小正周期T＝ B．f(x)是偶函数

C．f(x)的最大值为 D．f(x)的最小正周期T＝π

【答案】ABC

【分析】利用二倍角余弦公式、同角三角函数的平方关系可得f(x)＝(1－cos 4x)，再结合所得三角函数的性质及各选项的描述判断正误.

【详解】∵f(x)＝(1＋cos 2x)(1－cos 2x)＝(1－cos22x)＝sin22x＝(1－cos 4x)，

∴f(－x)＝[1－cos 4(－x)]=(1－cos 4x) = f(x)，

，

f(x)的最大值为×2＝，

故A、B、C正确，D错误．

故选：ABC

12．正方体棱长为，若是空间异于的一个动点，且，则下列正确的是（    ）

A．平面

B．存在唯一一点，使

C．存在无数个点，使

D．若，则点到直线的最短距离为

【答案】ACD

【分析】点为动点，确定点的运动轨迹是解题的关键，将条件的异面垂直转化为线面垂直，找到的垂面，即可确定点的轨迹，对于A，由面面平行进行判断，对于B，利用反证法和平行的传递性进行判断，对于C，将异面垂直转化为线面垂直，找到的垂面进行判断，对于D，由得到点也在球面上，所以点是球面与平面的并线，考查球截面的问题，类比圆的问题进行解决

【详解】解：对于A，因为平面，所以点在平面上，又因为平面∥平面，所以平面，所以A正确，

对于B，假设存在点，使得，因为∥，所以∥，这与在平面外矛盾，所以假设不成立，即点不存在，所以B错误，

对于C，如图，因为平面，平面平面，所以当点在直线上时，恒有，所以C正确，

如图，若，则点在以为球心，（）为半径的球面上，设平面，则点到平面的距离为，所以点到平面的距离为，所以平面被球面截得的圆的半径为，且圆心为中点，设为，则在等边三角形中，到直线的距离为，所以点到直线的距离的最小值为，所以D正确，

故选：ACD

五、填空题

13．已知i为虚数单位，若，则______．

【答案】1

【分析】根据复数的乘除法公式求出，再由复数模的公式即可求出答案.

【详解】

故答案为：1

14．已知向量，，，则=________.

【答案】5

【分析】两边平方后，结合，，求出答案.

【详解】两边平方得，，

即，

因为，，

故，解得.

故答案为：5

15．为了了解我国13岁男孩的平均身高，从北方抽取了300个男孩，平均身高1.60m；从南方抽取了200个男孩，平均身高1.50m，由此可推断我国13岁男孩的平均身高为_____________.

【答案】1.56m

【分析】根据平均数的计算公式，准确计算，即可求解.

【详解】根据平均数的计算公式，我国13岁男孩的平均身高为：米.

故答案为：.

六、双空题

16．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．古希腊历史学家希罗多德记载：胡夫金字塔的每一个侧面三角形的面积等于金字塔高的平方，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为________；侧面与底面所成二面角的余弦值为________．

【答案】         

【分析】画出图形，设正四棱锥的底面边长为，高为，斜高为，为的中点，可得

，求出，从而可求出答案

【详解】解：如图，设正四棱锥的底面边长为，高为，斜高为，为的中点，

则由题意得

，得，

解得或（舍去），

所以，

所以侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为，

因为，所以是侧面与底面所成二面角的平面角，

因为

所以侧面与底面所成二面角的余弦值为，

故答案为：，

七、解答题

17．已知复数，其中i为虚数单位．

(1)若z是纯虚数，求实数m的值；

(2)若，是关于x的实系数方程的一个复数根，求实数a，b的值．

【答案】(1)1

(2)

【分析】（1）根据题意列方程组，即可求出m；

（2）判断出和是方程的根，以根与系数的关系即可求解.

【详解】（1）因为复数是纯虚数，

所以，解得：m=1.

（2）当时，.

因为是关于x的实系数方程的一个复数根，所以的共轭复数也是实系数方程的根，

所以，解得：.

18．如图是古希腊数学家特埃特图斯（Theaetetus，约公元前417年—公元前369年）用来构造无理数，，，…的平面图形．根据图中数据解决下列问题．

（1）计算图中线段的长度；

（2）求的余弦值．

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）由题知，，进而在利用余弦定理求解即可；

（2）结合（1）得，，，进而在中利用余弦定理求解即可.

【详解】解：（1）在，，        

由余弦定理得

，     

∴．       

（2）在中，，，，

由余弦定理得         

，

∴．

19．如图，在三棱锥P﹣ABC中，E，F分别为AC，BC的中点．

（1）求证：EF∥平面PAB；

（2）若平面PAC⊥平面ABC，且PA=PC，∠ABC=90°，求证：平面PEF⊥平面PBC．

【答案】见解析

【详解】试题分析：（1）利用E，F分别是AC，BC的中点，说明EF∥AB，通过直线与平面平行的判定定理直接证明EF∥平面PAB．

（2）证明PE⊥AC，利用平面与平面垂直的判定定理证明PE⊥平面ABC，通过证明PE⊥BC．EF⊥BC，EF∩PE=E，证明BC⊥平面PEF，然后推出平面PEF⊥平面PBC．

证明：（1）∵E，F分别是AC，BC的中点，∴EF∥AB．

又EF⊄平面PAB，

AB⊂平面PAB，

∴EF∥平面PAB．

（2）在三角形PAC中，∵PA=PC，E为AC中点，

∴PE⊥AC．

∵平面PAC⊥平面ABC，

平面PAC∩平面ABC=AC，

∴PE⊥平面ABC．

∴PE⊥BC．

又EF∥AB，∠ABC=90°，∴EF⊥BC，

又EF∩PE=E，

∴BC⊥平面PEF．

∴平面PEF⊥平面PBC．

【解析】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．

20．已知向量，．

(1)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围；

(2)已知， ，其中，，是坐标平面内不同的三点，且，，三点共线，当时，求的值．

【答案】（1）且；（2）．

【分析】(1)根据与的夹角为锐角可知，且与不共线，将坐标代入求解即可；

(2)由，，三点共线可得，根据向量平行的坐标表示列出方程再结合，即可求出的值．

【详解】(1)因为，与的夹角为锐角，

所以，即，解得,      

当时，，即，此时，，

与的夹角为0，也满足，但不满足题意，所以，    

综上，且．      

(2)由题知，，

因为，，三点共线，所以，

所以．

当时，或．      

当时，，点与点重合，与题意矛盾；

当时，或．

若，，点与点重合，与题意矛盾；        

若，，满足题意．

综上，．

21．在中，角的对边分别为，已知的面积为，周长为.且.

（1）求及的值；

（2）求的值.

【答案】（1）；.

（2）.

【分析】（1）由已知及三角形面积公式可求，进而可求，利用余弦定理即可得解的值；（2）利用同角三角函数基本关系式可求，利用二倍角公式可求，的值，进而利用两角差的余弦函数公式即可得解．

【详解】（1）   ∴

∴ ∴.

.

（2）由（1）得，，∴

∴，

【点睛】本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角公式，两角差的余弦函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题.

22．如图，AB是的直径，C是圆周上异于A，B的点，P是平面ABC外一点，且

(1)求证：平面平面ABC；

(2)若，点D是上一点，且与C在直径AB同侧，求平面PCD与平面ABC所成的锐二面角的正切值．

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）根据线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理即得；

（2）取CD的中点E由题可得平面，进而可得即为所求，然后结合条件即得.

【详解】（1）连结OC，，

，又是以AB为直径的圆周上一点，

，

≌，

，

又，OB，平面ABC，

平面ABC，平面PAB，

平面平面ABC；

（2）取CD的中点E，连接PE，OE，则，

因为平面ABC，平面，

则，又，平面，

所以平面，又平面，则，

∴是平面PCD与平面ABC所成的锐二面角的平面角.

∵，，∴.

∵∴，是边长为1的正三角形，

∴，又∵平面ABC，

∴，

∴平面PCD与平面ABC所成的锐二面角的正切值为.