山东省临沂市郯城县高考补习学校2024−2025学年高三下学期三月月考数学试题（含解析）

这是一份山东省临沂市郯城县高考补习学校2024−2025学年高三下学期三月月考数学试题（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．命题“”的否定是（ ）
A．B．
C．D．
2．设i为虚数单位，复数z的共轭复数为，若 ，则z在复平面内对应的点位于第（ ）象限
A．一B．二C．三D．四
3．已知，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知平面向量是两个单位向量，在上的投影向量为，则（ ）
A．1B．C．D．
5．已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，过作的垂线，垂足为.若，则到轴的距离为（ ）
A．B．C．D．2
6．已知是递增的等比数列，若，则当取得最小值时，（ ）
A．
B．1
C．4
D．16
7．如图是一块高尔顿板示意图：在一木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留着适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为、、、、，用表示小球落入格子的号码，则下列不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8．函数，因其图像类似于汉字“囧”，故被称为“囧函数”，下列5个结论：
①函数的定义域为；
②；
③函数的图像关于直线对称；
④当时，函数的最大值为；
⑤方程有四个不同的实根；
其中正确结论的个数为（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知随机事件、满足：，，则下列选项正确的是（ ）
A．若，则与相互独立B．若与相互独立，则
C．若与互斥，则D．若，则
10．已知函数（，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）

A．的最小正周期为B．
C．是函数的一个对称中心D．在区间的最小值为
11．如图，四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥ 平面ABCD，SA=AB，O，P分别是AC，SC的中点，M是棱SD上的动点，则( )
A．OM⊥AP
B．存在点M，使OM//平面SBC
C．存在点M，使直线OM与AB所成的角为30∘
D．点M到平面ABCD与平面SAB的距离和为定值
三、填空题（本大题共3小题）
12．2025春节档国产影片《哪吒之魔童闹海》接连破全球票房记录，影片中哪吒与敖丙是不可分割的二人组，其中敖丙的武器“盘龙冰锤”相撞后形成了如图所示的曲线，可以用来表示数学上特殊的曲线.如图所示的曲线C过坐标原点O，C上的点到两定点的距离之积为定值.当时，C上第一象限内的点P满足的面积为，则 .
13．在中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，已知，，则的内切圆半径r的最大值为 .
14．项数为的数列满足，当且仅当时（其中，规定：），称为“好数列”．在项数为6且的所有中，随机选取一个数列，该数列是“好数列”的概率为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．如图，在四面体中，，，点为棱的中点，点为棱上的动点．
(1)求证：平面平面；
(2)已知二面角的大小为，当直线与平面所成角的正弦值的最大值为时，求此时四面体的体积．
16．2025年1月1日，某地举行马拉松比赛，某服务部门为提升服务质量，随机采访了120名参赛人员，得到下表：
(1)求的值；
(2)依据小概率值的独立性检验，能否认为不同性别的参赛人员对该部门服务质量的评价有差异？
(3)用频率估计概率，现随机采访1名女性参赛人员与1名男性参赛人员，设表示这2人中对该部门服务质量非常满意的人数，求X的分布列和数学期望.
附：，.
17．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.
(1)求证：；
(2)若.
（i）求；
（ii）若，且的面积为，求的周长.
18．已知椭圆过点，离心率为．
(1)求椭圆的方程．
(2)过点的直线（与轴不重合）交椭圆于，两点．
（i）若，求的方程；
（ii）已知分别是的左、右顶点，直线，分别交直线于，两点，证明：与的面积之比为定值．
19．已知函数的图象与x轴的三个交点为A，O，B（O为坐标原点）.
(1)讨论的单调性；
(2)若函数有三个零点，求a的取值范围；
(3)若，点P在的图象上，且异于A，O，B，点Q满足，，求的最小值.
参考答案
1．【答案】A
【详解】由存在量词命题的否定的定义知：命题“”的否定是,
故选A.
2．【答案】A
【详解】由题意得，
所以，则z在复平面内对应的点位于第一象限，
故选A.
3．【答案】C
【详解】因为，
所以
故选C．
4．【答案】B
【详解】由题意，在上的投影向量为，则，
因为是单位向量，即，所以，
则.
故选B.
5．【答案】A
【详解】如图，不妨设点在轴上方，准线与轴交于点，
因为点在抛物线上，所以，，
又，为正三角形，，
又，在中，，即，
解得或（舍去），所以到轴的距离为.
故选A.
6．【答案】D
【详解】设的公比为q，由得，，故，
又因为是递增的数列，所以，
因为，所以取得最小值等价于函数取得最小值，
求导得，
令得，令得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故当时，取得最小值，此时.
故选D.
7．【答案】C
【详解】设，则，再根据二项分布的概率公式及期望方差公式逐一分析即可．
8．【答案】B
【详解】对于①，由得：，的定义域为，①错误；
对于②，，，②正确；
对于③，，，，
不关于直线对称，③错误；
对于④，当时，，此时；
当时，，此时；
综上所述：当时，，④正确；
对于⑤，在平面直角坐标系中，作出与的大致图象，
由图象可知与有四个不同交点，
方程有四个不同的根，⑤正确.
所以正确的个数为3.
故选B.
9．【答案】ACD
【详解】对于A，，故与相互独立，即A正确；
对于B，若与相互独立，则与也相互独立，
则，故B错误；
对于C，若与互斥，则，
，故C正确；
对于D，由全概率公式可得，
所以，故D正确；
故选ACD.
10．【答案】ACD
【详解】由题意得，由图象可得，
又，所以，由五点法可得，
所以.
A：由以上解析可得，，故A正确；
B：由以上解析可得，故B错误；
C：的对称中心的横坐标为，则对称中心为，令则C正确；
D：当时，，所以最小值为，故D正确.
故选ACD.
11．【答案】ABD
【解析】依题意可知AB,AD,AS两两相互垂直，以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.
设AB=AD=AS=2，则A0,0,0,S0,0,2,C2,2,0,P1,1,1,O1,1,0，设M0,t,2-t，t∈[0,2],OM=(-1,t-1,2-t)，AP=1,1,1,
所以OM⋅AP=-1+t-1+2-t=0，所以OM⊥AP，A选项正确.
点M到平面ABCD与平面SAB的距离和为2-t+t=2，为定值，D选项正确.
易知B2,0,0，SB=2,0,-2,BC=0,2,0，
设平面SBC的法向量为n=x,y,z，
则n⋅SB→=2x-2z=0,n⋅BC→=2y=0,令x=1，可得n=1,0,1，又OM⊄ 平面SBC，
要使OM//平面SBC，
则OM⋅n=-1,t-1,2-t⋅1,0,1=-1+2-t=1-t=0，
解得t=1，所以存在点M，使OM//平面SBC，B选项正确.
AB=2,0,0,
若直线OM与直线AB所成的角为30∘ ，则cs30∘=OM⋅ABOMAB=-21+t-12+2-t2×2=12t2-6t+6=32，
即3t2-9t+7=0,Δ=81-4×3×7=-3