精品解析：山东省临沂市蒙阴县实中学2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题（解析版）

这是一份精品解析：山东省临沂市蒙阴县实中学2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题（解析版），共16页。试卷主要包含了 下列说法中，正确的是， 在正方体中，二面角的大小是， 下列说法中不正确的是等内容，欢迎下载使用。

高一数学试题
一､单项选择题：本题共8小题，每题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设是虚数单位，若复数的实部与虚部互为相反数，则实数（ ）
A. 5B. C. 3D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据已知结合复数的定义列式，即可解出答案.
【详解】复数的实部与虚部互为相反数，
，解得：，
故选：A.
2. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的几何体是圆锥
B. 以正方体的顶点为顶点可以构成正四棱锥
C. 用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台
D. 用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面
【答案】D
【解析】
【分析】利用圆锥定义判断选项A；利用正四棱锥定义判断选项B；利用圆台定义判断选项C；利用球的性质判断选项D.
【详解】选项A：以直角三角形的一个直角边所在直线为轴旋转一周所得的
几何体是圆锥.判断错误；
选项B：由正四棱锥定义可得以正方体的顶点为顶点不可以构成正四棱锥. 判断错误；
选项C：用一个平行于底面的平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台.判断错误；
选项D：用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面.判断正确.
故选：D
3. 已知向量不共线，若，，，则四边形是
A. 梯形B. 平行四边形
C. 矩形D. 菱形
【答案】A
【解析】
【分析】根据线性运算可求得，得到平行关系和模长关系，从而得到四边形形状.
【详解】
且 四边形为梯形
本题正确选项：
【点睛】本题考查根据向量线性运算结果判断四边形形状的问题，关键是能够通过向量加法运算得到向量平行和模长的关系.
4. 圆台的体积为7π，上、下底面的半径分别为1和2，则圆台的高为 ( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】A
【解析】
【详解】由题意，V＝(π＋2π＋4π)h＝7π，∴h＝3.
故选A.
5. 如图所示的中，点分别在边上，且，则向量（ ）

A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题目条件，结合平面向量运算的三角形法则，进行推导即可．
【详解】；
；
，；
；
又；
；
故选：D．
6. 在正方体中，二面角的大小是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二面角的定义确定平面角，结合正方体的性质求解.
【详解】
因为平面，又平面
所以，所以即为二面角的平面角，
因为，所以二面角的大小是．
故选：C．
7. 若的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b＝2，c＝，△ABC的面积S＝cs A，则a＝（ ）
A. 1B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由三角形的面积公式和已知条件得出sin A＝cs A，再由同角三角函数间的关系求得cs A＝，运用余弦定理可求得边a.
【详解】因为b＝2，c＝，S＝cs A＝bcsin A＝sin A，所以sin A＝cs A.
所以sin2A＋cs2A＝cs2A＋cs2A＝cs2A＝1.又，所以所以，故解得cs A＝.
所以a2＝b2＋c2－2bccs A＝4＋5－2×2××＝9－8＝1，所以a＝1.
故选：A.
【点睛】本题综合考查运用三角形面积公式和余弦定理求解三角形，属于中档题.
8. 一个侧棱长为的直棱柱的底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图为如图所示的菱形，其中，则该直棱柱的体积为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先利用题给条件求得该直棱柱的底面积，进而求得该直棱柱的体积.
【详解】该直棱柱的底面
则该直棱柱的底面为长2宽1的矩形，其面积为，
则该直棱柱的体积为

故选：A
二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．
9. 已知复数，则下列结论中正确的是（ ）
A. 对应的点位于第二象限B. 的虚部为
C D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】求得对应的点所在象限判断选项A；求得的虚部判断选项B；求得的值判断选项C；求得的值判断选项D.
【详解】，则
选项A：对应的点为，位于第一象限.判断错误；
选项B：的虚部为.判断正确；
选项C：.判断正确；
选项D：.判断正确.
故选：BCD
10. 下列说法中不正确的是（ ）
A. 向量能作为平面内所有向量的一组基底
B. 已知为单位向量，若，则在上的投影向量为
C. 若，则与垂直的单位向量坐标为或
D. 若，则与的夹角是钝角
【答案】ABD
【解析】
【分析】依据向量的基底定义判断选项A；求得在上的投影向量判断选项B；求得与垂直的单位向量坐标判断选项C；求得与的夹角判断选项D.
【详解】选项A：，则，
则向量不能作为平面内所有向量的一组基底.判断错误；
选项B：已知为单位向量，若，
则在上的投影向量为.判断错误；
选项C：若，设与垂直的单位向量坐标为，
则，解之得或
则与垂直的单位向量坐标为或.判断正确；
选项D：若，则与的夹角是钝角或平角.判断错误.
故选：ABD
11. 如图所示，是直径，垂直于所在的平面，点是圆周上不同于的任意一点，分别为的中点，则下列结论正确的是（ ）

A.
B. 与所成的角为
C. 平面
D. 平面平面
【答案】ACD
【解析】
【分析】求得位置关系判断选项A；求得与所成的角判断选项B；求得与平面位置关系判断选项C；求得平面与平面位置关系判断选项D.
【详解】选项A：是的直径，则 ，又分别为的中点，
则，则.判断正确；
选项B：由可得与所成的角为.判断错误；
选项C：垂直于所在的平面，则平面，
又平面，则，又，，
平面，则平面.判断正确；
选项D：由平面，平面，
可得平面平面.判断正确.
故选：ACD
12. 如图，已知棱长为1的正方体中，下列命题正确的是（ ）

A. 正方体外接球的直径为
B. 点在线段上运动，则四面体的体积不变
C. 与所有12条棱都相切的球的体积为
D. 是正方体的内切球的球面上任意一点，则长的最小值是
【答案】ABC
【解析】
【分析】求得正方体外接球的直径判断选项A；求得四面体的体积是否变化判断选项B；求得与所有12条棱都相切的球的体积判断选项C；求得长的最小值判断选项D.
【详解】选项A：连接，则为正方体外接球的直径，
又，则正方体外接球的直径为.判断正确；
选项B：点在线段上运动，点到平面的距离恒为1，
则四面体的体积不变. 判断正确；
选项C：与所有12条棱都相切的球的半径为，
该球体积为，
则与所有12条棱都相切的球的体积为.判断正确；
选项D：正方体的内切球的半径为，球心为中点，
是球面上任意一点，则长的最小值是.判断错误.

故选：ABC
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13. 已知向量，，则________．
【答案】2
【解析】
【分析】根据向量的数量积的坐标运算可得.
【详解】解：，
故答案为：
【点睛】本题考查平面向量的数量积的坐标运算，属于基础题.
14. 若是虚数单位，复数满足，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据复数的四则运算法则和复数的模的计算公式，即可化简得到答案.
【详解】由题意，复数满足，则,
所以.
故答案：.
【点睛】本题主要考查了复数的运算与化简和复数模的求解，其中熟记复数的四则运算和复数模的计算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
15. 直三棱柱的各个顶点都在球O的球面上，且．若球O的表面积为，则这个三棱柱的体积是_________．
【答案】
【解析】
【分析】由已知直三棱柱的底面为直角三角形，所以其外接球的球心位于侧面的中心，根据球的半径计算棱柱的高即可求出棱柱的体积．
【详解】解：，，，
直三棱柱外接球的球心即为侧面的中心，
设球半径为，则，
，即，
直三棱柱的高，
直三棱柱的体积，
故答案为：．
16. 在矩形中，平面，则与平面所成的角是_____．四棱锥的外接球的表面积为____．
【答案】 ①. ## ②.
【解析】
【分析】先求得与平面所成的角，进而求得其大小；先求得四棱锥的外接球半径，进而求得其表面积.
【详解】四棱锥中，平面，
则是与平面所成的角，
又矩形中，，则，
又，，则，，
又，则，
则与平面所成的角是；
四棱锥可以补形为长方体，
则四棱锥的外接球的直径为，
又，则四棱锥的外接球的半径为1，
则四棱锥的外接球的表面积为.
故答案为：；
四､解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤．
17. 已知复平面内复数，，所对应点分别为，，．
（1）求，的值；
（2）求．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）首先根据复数在复平面内的坐标得到复数，，，再根据复数代数形式的运算法则计算可得；
（2）首先求出，，再根据向量的夹角公式计算可得；
【小问1详解】
解：因为复平面内复数，，所对应的点分别为，，，
所以，，，
所以，
【小问2详解】
解：因为，，，
所以，，
所以，
，
所以
18. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.
（1）求角C；（2）若，，求的周长.
【答案】（1）（2）
【解析】
【详解】试题分析：（1）根据正弦定理把化成，利用和角公式可得从而求得角；（2）根据三角形的面积和角的值求得，由余弦定理求得边得到的周长.
试题解析：（1）由已知可得
（2）
又
，
的周长为
考点：正余弦定理解三角形.
19. 已知向量，．
（1）求；
（2）已知，且，求向量与向量的夹角．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用向量的坐标表示，再借助坐标计算向量的模作答.
（2）由向量的模，结合向量的数量积运算律转化求出向量的数量积，再求出夹角作答.
【小问1详解】
向量，，则，
所以.
【小问2详解】
由，，得，解得，
由，得，于是，
而，则有，
所以向量与向量的夹角.
20. 如图所示，四边形ABCD是正方形，DE⊥平面ABCD，DE＝DA＝2.
(1)求证：AC⊥平面BDE；
(2)求AE与平面BDE所成的角的大小.
【答案】（1）证明见解析；（2）30°.
【解析】
【分析】(1)由四边形ABCD是正方形，得到AC⊥BD，再由DE⊥平面ABCD，得到AC⊥DE，然后利用线面垂直的判定定理证明；
(2)设AC∩BD＝O，连接EO，根据AC⊥平面BDE，得到∠AEO即为AE与平面BDE所成的角.求解.
【详解】(1)∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD.
∵DE⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，
∴AC⊥DE，
∵BD，DE⊂平面BED，BD∩DE＝D，
∴AC⊥平面BDE.
(2)设AC∩BD＝O，连接EO，如图所示.
∵AC⊥平面BDE，
∴EO是直线AE在平面BDE上的射影，
∴∠AEO即为AE与平面BDE所成的角.
在RtEAD中，EA＝，
∴在Rt△EOA中，sin∠AEO＝，
∴∠AEO＝30°，即AE与平面BDE所成的角为30°.
【点睛】方法点睛：几何法求线面角、二面角的常用方法：
（1）线面角的求法，找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，要把线面角转化到一个三角形中求解．
（2）二面角的求法，二面角的大小用它的平面角来度量．平面角的作法常见的有①定义法；②垂面法．注意利用等腰、等边三角形的性质．
21. 在三棱锥中，平面ABC，平面平面PBC.求证：.
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】利用面面垂直的性质定理可证出平面PBC，从而证出，再结合，即可证出平面PAB，进而证出.
【详解】证明：如图所示，在平面AB内作于点D.
∵平面平面PBC，且平面平面，
∴平面PBC.
又平面PBC，∴.
∵平面ABC，平面ABC，
∴.
∵，∴平面PAB.
又平面PMB，∴
【点睛】本题考查了平面与平面垂直的性质定理、线面垂直的判定定理，考查了学生的推理能力，属于基础题.
22. 如图，已知点是正方形所在平面外一点，，分别是，的中点.
（1）求证：平面；
（2）若中点为，求证：平面平面.
（3）若平面，，求直线与面所成的角.
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）取的中点，连接，，即可证明四边形为平行四边形，所以，从而得证；
（2）依题意可得即可得到平面，再结合（1）的结论，即可得证；
（3）依题意可得平面平面，由面面垂直的性质得到平面，则即为直线与面所成的角，再根据边长的关系得解.
【小问1详解】
取的中点，连接，，
因为是的中点，所以且，
又是的中点，是正方形，所以且，
所以且，
所以四边形为平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面.
【小问2详解】
因为为的中点，是的中点
所以，又平面，平面，所以平面，
又平面，，平面，所以平面平面.
【小问3详解】
因为平面，平面，所以平面平面，
又为正方形，所以，平面，平面平面，
所以平面，
所以即为直线与面所成的角，又，所以为等腰直角三角形，
所以，
即直线与面所成的角为.