第19章 四边形（大单元期考整合复习）（单元复习课件）2025学年八年级数学下册沪科版

这是一份第19章 四边形（大单元期考整合复习）（单元复习课件）2025学年八年级数学下册沪科版，共60页。PPT课件主要包含了正方形，平行四边形，四边形，知识梳理，三角形的中位线，外角和，考点针对练习，课本复习题A组，课本复习题B组，课本复习题C组等内容，欢迎下载使用。
四边形及特殊四边形的关系
a._________________；b.________________ ；c._________________；d.________________ ；e._________________.
定义：________________的四边形是平行四边形.
性质1 平行四边形的对边_____.
性质2 平行四边形的对角_____.
性质3 平行四边形的对角线__________.
定理1 一组对边__________的四边形是平行四边形.
定理2 两组对边________的四边形是平行四边形.
定理3 对角线________的四边形是平行四边形．
（1）连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
（2）定理：三角形两边中点的连线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
①三角形有___条中位线.
②三角形的三条中位线把原三角形分成全等的 4 个小三角形.每个小三角形的周长为原三角形周长的____.每个小三角形的面积为原三角形面积的____.
（1）n 边形的内角和为___________ (n≥3)．
（2）正多边形的每个内角都相等，都等于 _____________.
（3）多边形的外角和为360°，它与边数的多少无关.
定义：_______________的平行四边形是矩形.
性质1 矩形的四个角都是直角．
性质2 矩形的两条对角线相等．
推论 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
定理1 对角线相等的平行四边形是矩形.
定理2 三个角是直角的四边形是矩形.
定义： 的平行四边形叫做菱形.
性质1 菱形的四条边都_______.
性质2 菱形的对角线_________.
定理1 四条边都相等的四边形是菱形.
定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
定义：有一个角是_____，且有一组邻边____的平行四边形叫做正方形.
性质1 正方形的四条边都相等，四个角都是直角.
性质2 正方形的对角线相等且互相垂直平分.
定理1 有一组邻边相等的矩形是正方形.
定理1 有一个角为直角的菱形是正方形.
考点1 一个关系——多边形的内、外角的关系
考点2 一个定理——三角形的中位线定理
A.4B.3C.2D.不确定
考点3 一个性质——直角三角形斜边上中线的性质
考点4 四个性质与判定
性质与判定1 平行四边形的性质与判定
性质与判定2 矩形的性质与判定
性质与判定3 菱形的性质与判定
性质与判定4 正方形的性质与判定
技巧1 解四边形有关的折叠问题的技巧（轴对称变换法）
技巧2 解与四边形有关的旋转问题的技巧（特殊位置法）
技巧3 解与四边形有关的动点问题的技巧（固定位置法）
技巧4 解中点四边形的技巧
探究展示：勤奋小组的解题思路：
（1）①上述解题思路中的“依据1”“依据2”分别是什么？依据1：____________________；依据2：________________________________________；
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
创新小组受到勤奋小组的启发，继续探究：
13.[2024安阳期中] 综合与实践
1．填空： （1）一个多边形的外角和是内角和的 ，则这个多边形的边数是_____； （2）一个多边形的每个外角都等于它相邻的内角，则这个多边形的边数是_____，它的每个外角的度数是 _____．
2．四边形的内角可能都是锐角吗？可能都是直角吗？可能都是钝角吗？
答：四边形的四个内角不可能都是锐角，可能都是直角，不可能都是钝角．
3．是否存在一个多边形，它的每个内角都等于相邻外角的 3 倍？并简述你的理由．
解：存在，理由如下： 设该多边形的一个外角是 x°，其相邻内角是 3x°，则依题意得 x + 3x = 180，解得 x = 45． 则该多边形的边数为 360÷45 = 8． 故存在一个多边形（各内角相等的八边形）的每个内角都等于相邻外角的 3 倍．
4．已知：如图，在□ABCD 中，AE = CF，点 M，N 是 ED，BF 的中点．求证：四边形 MFNE 是平行四边形.
证明：在□ABCD 中，AD = CB，∠A =∠C． 又∵ AE = CF，∴ △DAE≌△BCF（SAS）． ∴ DE = BF，∠AED =∠CFB． 又∵ 点 M，N 是 ED，BF 的中点，∴ ME = NF. 由 AB∥DC，得∠AED =∠EDC， ∴∠EDC =∠CFB．∴ ME∥NF． ∴四边形 MFNE 是平行四边形．
5．已知：如图，在□ABCD 中，点 O 是对角线 AC 的中点．EF 经过点 O 分别与 AB，CD 交于点 F，E．求证：OE = OF.
证明：在□ABCD 中，∵AB∥CD， ∴∠OCE =∠OAF． ∵ O 是对角线 AC 的中点， ∴ OC = OA． 又∵∠EOC =∠FOA， ∴△COE≌△AOF（ASA）． ∴ OE = OF．
6．将一张长 40 cm、宽 20 cm 的矩形纸片剪成长为 18 cm、宽为 12 cm 的矩形纸片，问最多能剪几个？
解：如图所示的矩形，长为 40 cm，宽为 20 cm，则面积为 800 cm2． 剪出的矩形长为 18 cm，宽为 12 cm，则面积为 216 cm2． ∵ 216×3＜800＜216×4， ∴最多能剪 3 个．
7．如图，在□ABCD 中，AE 平分∠BAD，交 BC 于点 E，EF∥AB，交 AD 于点 F，试问四边形 ABEF 是菱形吗？说明你的理由．
解：四边形 ABEF 是菱形．理由如下： □ABCD 中，∵ AD∥BC，∴ AF∥BE． 又∵EF∥AB，∴四边形 ABEF 是平行四边形． ∵ AE 平分∠BAD，∴∠BAE =∠FAE． ∵AD∥BC，∴∠FAE =∠AEB． ∴∠BAE =∠AEB．∴ AB = BE． ∴□ABEF 是菱形．
8．某地有四个村庄 A，B，C，D，它们正好位于一个正方形的四个顶点．现在四个村庄计划联合架设一条电话线路，他们设计了 4 种架设方案，如图中的实线部分．请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线．
9．如图，在正方形 ABCD 中，点 E，F 是边 BC，CD 上的点，且 BE = CF．那么，线段 AE 与 BF 的夹角有多大？为什么？
解：AE 与 BF 的夹角是 90°，理由如下： 在正方形 ABCD 中，AB = BC，∠ABE =∠C = 90°. 又∵ BE = CF，∴△ABE≌△BCF（SAS）. ∴∠BAE =∠CBF. ∵∠BAE +∠GEB = 90°，∴∠CBF +∠GEB = 90°. ∴∠BGE = 90°，即 AE 与 BF 的夹角是 90°．
1．一个多边形的内角中，最多有几个锐角？为什么？
解：一个多边形的内角中，最多有 3 个锐角．理由如下：因为多边形的外角和是 360 度，在外角中最多有 3 个钝角，如果超过 3 个，则和一定大于 360 度；而多边形的每个内角与外角互为邻补角，所以外角中最多有 3 个钝角，内角中就最多有 3 个锐角．
2．已知：如图，□ABCD 的顶点 D 在□AEFG 的边 FG 上，□AEFG 的顶点 E 在□ABCD 的边 BC 上．求证：S□ABCD = S□AEFG．
证明：延长 BE，GF 交于点 P． □ABCD 中，AD∥BP，∠ADG =∠P． □AEFG 中，AG∥EF，AE∥DP，AG = EF． ∴四边形 ADPE 是平行四边形，∠G =∠EFP． ∴△AGD≌△EFP（AAS）．∴ S△AGD = S△EFP． ∴ S△AGD + S四边形AEFD = S△EFP + S四边形AEFD， 即 S□AEFG = S□ADPE． 而 S□ABCD = S□ADPE，∴ S□ABCD = S□AEFG．
3．已知：点 M，N 分别是□ABCD 的边 AB，CD 的中点，CM 交 BD 于点 E，AN 交 BD 于点 F．求证：BE = EF = FD.
证明：在□ABCD 中，AB = CD，AB∥CD，即AM∥NC. ∵ 点 M，N 分别 AB，CD 的中点，∴ AM = NC. ∴ 四边形 AMCN 为平行四边形．∴ AN∥MC． ∴ BE = EF，FD = EF，即 BE = EF = FD．
4．已知点 O 是矩形 ABCD 内任一点．求证：OA2 + OC2 = OB2 + OD2．如果点 O 在矩形 ABCD 的外部，结论还成立吗？
证明：当 O 在矩形 ABCD 的内部时，如图．过 O 作 OM⊥AD 于 M，OM 交 BC 于 N．则∠AMO =∠DMO =∠CNO =∠BNO = 90°．∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠DAB =∠ABC =∠BCD =∠ADC = 90°．∴四边形 ABNM 和四边形 DCNM 是矩形．∴AM = BN，DM = CN．
由勾股定理得：OA2 + OC2 = AM2 + OM2 + CN2 + ON2，OB2 + OD2 = BN2 + ON2 + DM2 + OM2，∴OA2 + OC2 = OB2 + OD2．当点 O 在矩形 ABCD 的外部时，OA2 + OC2 = OB2 + OD2 还成立．
5．在△ABC 中，BD，CE 是两条高，点 P，Q 分别是 BC，ED 的中点．求证：PQ⊥ED．
1．设四边形 ABCD 的每一个顶点到其他 3 个顶点的距离之和都相等．这个四边形是什么四边形？请说明理由.
解：这个四边形是矩形，理由如下： 如图，由题意得 AB + AD + AC = AD + BD + CD = CD + BC + AC = AB + BC + BD， ∴ AB = CD，AD = BC，AC = BD， ∴四边形 ABCD 是矩形．
2．证明：在□ABCD 中，AC2 + BD2 = 2(AB2 + BC2)．
3．已知：如图，在矩形内一些相交线把它分成 8 个部分，其中的 3 个部分面积分别为 13，35，49．求图中阴影部分的面积．
4．（1）如图（1），从□ABCD 的顶点 A，B，C，D 向形外的任意直线 MN 作垂线 AA'，BB'，CC'，DD'，垂足是点 A'，B'，C'，D'. 求证：AA' + CC' = BB' + DD'.
证明：作 AE⊥BB' 于点 E，DF⊥CC' 于点 F. ∵ AA'，BB'，CC'，DD' 都垂直于 MN， ∴ AA'∥BB'∥CC'∥DD'． ∴∠ABE +∠BGD' = 180°， ∠DCF +∠CDD' = 180°， ∠BGD' =∠CDD'． ∴∠ABE =∠DCF．
在□ABCD 中，AB = DC． 又∵∠AEB =∠DFC = 90°， ∴ △ABE≌△DCF（AAS）． ∴ BE = CF，即 BB' – EB' = CC' – FC'． 易知四边形 AA'B'E 和 DD'C'F 均为矩形， ∴ AA' = EB'，DD' = FC'． ∴ BB' – AA' = CC' – DD'． ∴ AA' + CC' = BB' + DD'．
（2）如图（2），将直线 MN 向上平移，使得点 A 在直线一侧，点 B，C，D 三点在直线的另一侧，这时，从点 A，B，C，D 向直线 MN 作垂线，垂足分别为点 A'，B'，C′，D'，那么垂线段 AA'，BB'，CC'，DD' 之间存在什么关系？
解：CC' – AA' = BB' + DD'．
（3）如图（3），再将直线 MN 向上平行移动，使两侧各有两个顶点，从点 A，B，C，D 向直线 MN 作的垂线段 AA'，BB'，CC'，DD'，它们之间又有什么关系？根据图（2）、图（3）写出你的猜想，并加以证明．
解：AA' – BB' = CC' – DD'．证明如下： 作 BE⊥AA' 于点 E，DF⊥CC' 于点 F. ∵ AA'，BB'，CC'，DD' 都垂直于 MN， ∴ AA'∥BB'∥CC'∥DD'． 易得∠ABE =∠DCF． 在□ABCD 中，AB = CD．
又∵∠AEB =∠DFC = 90°， ∴ △ABE≌△DCF（AAS）． ∴ AE = CF，即 AA' – EA' = CC' – FC'． 易知四边形 A'B'BE 和 DD'C'F 均为矩形， ∴ EA' = BB'，DD' = FC'． ∴ AA' – BB' = CC' – DD'．
整合1：多边形的内角和与外角和
A.六边形B.七边形C.八边形D.九边形
A.12B.10C.8D.6
整合2：平行四边形的性质与判定
整合3：三角形的中位线与直角三角形斜边上的中线
A.增长B.缩短C.不变D.先增长后缩短
整合4：特殊四边形的性质与判定
10.下列说法错误的是( )
A.对角线互相垂直的平行四边形是菱形B.对角线相等的平行四边形是矩形C.四个角都相等的菱形是正方形D.一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形
11.小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具使学具成为图①所示的
整合5：多边形在镶嵌问题中的应用
15.如图是芜湖某广场用地板砖铺设的部分图案，中央是一块正六边形的地板砖，周围是正三角形和正方形的地板砖.从里向外的第1层包括6个正方形和6个正三角形，第2层包括6
A.32B.28C.16或14D.32或28
首先求得多边形的边数，再分三种情况讨论：①不经过顶点截，则所形成的多边形是八边形；②只过一个顶点截，则所形成的多边形是七边形；③过两个顶点截，则所形成的多边形是六边形.