2025年上海市松江区高三二模数学试卷和参考答案

这是一份2025年上海市松江区高三二模数学试卷和参考答案，共11页。试卷主要包含了已知双曲线的左焦点为，右焦点为等内容，欢迎下载使用。
（考试时间120分钟 满分150分） 2025.4
填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．
1．已知全集，，则______.
2. 复数（其中为虚数单位）的虚部是________．
3. 在空间直角坐标系中，向量若，则____.
4．已知幂函数的图像过点，则该幂函数的值域是_____________．
5．右图是一个列联表，则__________.
6. 已知，则的值为_____________.
7. 已知平面，是直角三角形，且，，则点P到直线BC的距离是_____.
8. 已知是正方形，点是的中点，点在对角线上，且
则的大小为__________.
9. 已知两个随机事件，若，，，则_______.
10.已知双曲线的左焦点为，右焦点为.若双曲线的右支上存在一点，使得直线与以双曲线的实轴为直径的圆相切，切点为线段的中点，则该双曲线的离心率为________.
11.如图，某处有一块圆心角为的扇形绿地，扇形的半径为20米，是一条原有的人行直路，由于工程建设需要，现要在绿地中建一条直路，以便在图中阴影部分区域分类堆放物料.为了尽量减少对绿地的破坏（不计路宽），则原直路与新直路的交叉点到的距离为__________米.
12. 设实数，若满足对任意，都存在，使得成立，则的最小值是__________.
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13.已知两个随机事件，则“与互斥”是“与对立”的
A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
14. 在研究线性回归模型时，若样本数据所对应的点都在直线上，则两组数据和的线性相关系数为（ ）
A． B．1C． D．2
15. 在桌面上有一个质地均匀的正四面体D—ABC．从该正四面体与桌面贴合的面上的三条棱中等可能地选取一条棱，沿其翻转正四面体至正四面体的另一个面与桌面贴合，如此翻转称为一次操作．如图，开始时，正四面体与桌面贴合的面为，操作次后，正四面体与桌面贴合的面是的概率记为.
现有下列两个结论：①；②.
则下列说法正确的是（ ）
A．①正确，②错误 B．①错误，②正确
C．①、②都正确 D．①、②都错误
16. 已知函数的定义域和值域都为，且图像是一条连续不断的曲线，其导函数的值如下表：
设，若集合，其中为常数，则符合要求的集合的个数不可能是（ ）
A． B． C． D．

三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.
17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
如图，是一块正四棱台形铁料，上、下底面的边长分别为cm和cm，高cm．

（1）求正四棱台的侧面与底面所成二面角的大小；
（2）现削去部分铁料（不计损耗），将原正四棱台打磨为一个圆台，使得该圆台的上、下底面分别为原正四棱台上、下底面正方形的内切圆及其内部．求削去部分与原正四棱台的体积之比．
18. （本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
已知函数，其中.
（1）解关于的不等式；
（2）若存在唯一的实数，使得依次成等差数列，求实数的取值范围.
19. （本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
某公司生产的糖果每包标识“净含量500g”，但公司承认实际的净含量存在误差. 已知每包糖果的实际净含量（单位：g）服从正态分布.
（1）随机抽取一包该公司生产的糖果，求其净含量误差超过5g的概率（精确到）；
（2）随机抽取3包该公司生产的糖果，记其中净含量小于497.5g的包数为. 求的分布和期望（精确到）.
参考数据：，，，其中为标准正态分布函数.
20.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
已知抛物线，点是抛物线的焦点．
（1）求点的坐标及点到准线的距离；
（2）过点作相互垂直的两条直线，交抛物线于点、，交抛物线于点、，求证：为定值，并求出该定值；
（3）过点且斜率为的直线交抛物线于两点，设点不在直线上且为的内角平分线，求面积的最大值.
21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
对于函数，记.如果是满足的最小正整数，则称是函数的“最小导周期”.
已知函数，其中，
求证：对任意实数，都有；
设，，若函数的最小导周期为，
记，当实数变化时，求的最小值；
（3）设，，若函数满足对恒成立，
且存在使得，试用表示，并证明.
2024学年度第二学期徐汇区学习能力诊断卷
高三数学 参考答案
2025.4
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．
1． 2 . 3. 4.
5. 90 6. 7. 8.
9. 10. 11. 12.
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13. B 14. A 15. C 16. B
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.
17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
解：（1） 设正方形，的中心分别为，连接，则平面.
分别取，的中点，，连接，，，则，.
又，分别为等腰梯形底边，的中点，所以.
由可得四边形是一个直角梯形.
又，为侧面与底面所成二面角的平面角.
由条件知，
所以.
所以侧面与底面所成二面角的大小为
（2） 设圆台上底面圆半径cm，下底面圆半径cm，高cm，
则圆台的体积为．
又正四棱台的体积，
所以削去部分的体积，
所以削去部分与正四棱台的体积之比为.
18. （本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
解：（1）
（2）原问题等价于关于的方程恰有一个实数解，求实数的取值范围.
即在上恰有一个实数解.
等价于在上恰有一个实数解.
在上恰有一个实数解.
令，则在上恰有一个实数解.
画出关于的二次函数在上的图像可知，时只有一个交点；
.
19. （本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
解：（1） 由题意，，的概率等于.
令，则.
因此，
.
故净含量误差超过5g的概率约为.
可能的取值为0、1、2、3.
由（1）可知，任取一包糖果，净含量小于497.5g的概率为.
故服从二项分布.
记，从而的分布为
，
因此.
20.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
解：（1）由已知可得，即，
所以点的坐标为，
点到准线的距离为.
（2）证明：由已知可知直线的斜率存在且不等于并过点，
设的方程为，与相交于，
由得，
则，，
，
同理可得，
所以.
（3）由已知可得直线的方程为，
由，解得，，不妨令，
则，，
在中，，
在中，，
由及得
设点，于是，
整理得，
所以点在以点为圆心，2为半径的圆上（除去与直线的两个交点），
因为圆心在直线上，则点到直线距离的最大值为，
所以面积最大值为.
21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
（1）证明：因为，
，
，
，
所以，对任意实数，都有.
（2）解：，，
由题意知，对任意实数恒成立，
令，则，即，
令，则，则，
所以或.
若，则，，最小导周期不是，矛盾；
若，则，，，最小导周期为，符合要求，所以.
可视为点与点之间的距离，当实数变化时，点在直线上运动，点在曲线上运动，因此所求最小值可转化为曲线上的点到直线距离的最小值，而曲线在直线上方，平移直线使其与曲线相切，
则切点到直线的距离即为所求.
设切点，，切线斜率，得，切点为，
点到直线距离. 即的最小值为.
（3）解：，，
记，即.
由在上恒成立及存在使，可知是函数的极大值点，于是，
则，
又，则，
，得，则.
又因为，
所以，由得，
又因为，
所以，
有，于是，
所以.
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