2025年上海市杨浦区高三二模数学试卷和参考答案

这是一份2025年上海市杨浦区高三二模数学试卷和参考答案，共10页。试卷主要包含了已知，则=_______等内容，欢迎下载使用。
1. 本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟．
2. 本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1—6题每题4分，第7—12题每题5分）请在答题纸相应编号的空格内直接写结果.
1.已知集合，，则_______.
2.不等式的解集为________.
3.函数的最小正周期为_______.
4.已知，则=_______.
5.已知，且，则的最大值为_____.
6.在的二项展开式中，常数项的值为_______.
7.已知复数满足，其中为虚数单位，则的最小值为_______.
8.不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围为_______.
9.植物社团的同学观察一株植物的生长情况，为了解植物高度（单位：）与生长期（单位：天）之间的关系，随机统计了某天的植物高度，并制作了如下对照表：
由表中数据可得回归方程中，试预测生长日期是天时，植物高度约
第10题图
为_______. （）
10. 如图，点、分别是直角的边、上的点，斜边与扇形的弧相切，已知，，则阴影部分绕直线旋转一周所形成的几何体的体积为________.
11. 如图，阿基米德椭圆规是由基座、带孔的横杆、两条互相垂直的空槽、两个可动滑块组成的一种绘图工具，横杆的一端上装有铅笔，假设两条互相垂直的空槽和带孔的横杆都足够长，将滑块固定在带孔的横杆上，令滑块在中一条空槽上滑动，滑块在另一条空槽上滑动，铅笔随之运动就能画出椭圆. 当之间的距离为厘米时，若需要画出一个离心率为的椭圆，则之间的距离为_______厘米.
A
B
C
第11题图
第12题图
12.由若干个多边形所覆盖的区域，称为这些多边形的并集，例如图中，梯形是与矩形的并集. 已知是正整数，在平面直角坐标系中，直线的方程为，若直线交轴于点，交轴于点，则的并集，其面积为_________.
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13—14题每题4分，第15—16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，请在答题纸的相应编号上将代表答案的小方格涂黑.
13. 中，所对边分别是，则“”是的（ ）条件.
（A）充分非必要 （B）必要非充分 （C）充要 （D）既非充分也非必要
14. 名同学报名参加社团活动，有个社团可以报名，这些社团招收人数不限，但每位同学只能报名其中1个社团，则这位同学可能的报名结果共有（ ）种.
（A） （B） （C） （D）
15. 已知、、是单位圆上的三个点，若，则的最大值为（ ）.
（A） （B） （C） （D）
16.设是由个二次函数组成的集合, 对于连续的正整数，存在二次函数（可重复），使得是等差数列，则的最小可能值是（ ）.
（A） （B） （C） （D）
三、解答题（本大题共有5题，本大题满分78分）请在答题纸相应的编号规定区域内写出必要的步骤.
17. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
已知函数是定义在上的偶函数.
（1）当时，，求时，的表达式；
（2）当时，，若实数满足，求的取值范围.
18. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
第18题图
座落于杨浦滨江的世界技能博物馆由百年历史文化保护建筑改建而成，其中的支柱保留了原有的正八棱柱，既考虑了结构力学优势，又体现了对历史建筑的尊重和传承.
如图，、分别为正八棱柱的上下两个底面的中心，已知，.
（1）求证：；
（2）求点到平面的距离.
19.（本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分.
第19题图
为弘扬中华民族传统文化、增强民族自豪感，某学校开展中华古诗词背诵比赛，分为初赛和复赛. 全校同学都参加了初赛，并随机抽取一个班级进行初赛成绩统计，已知该班级共有40位学生，他们的比赛分数的频率分布直方图如图所示：
（1）计算的值，并估计该校这次比赛的平均分数.
（2）分数达到80及以上的同学，称为优秀参赛选手，现从班级中随机选出2位同学，用代表其中的优秀参赛选手人数，求的分布；
（3）为增加比赛的趣味性，复赛规则如下：比赛试题将从题库中随机抽取，每位参赛选手将有机会回答填空、选择和简答各题；每答对题得分，答错或不答得分，每位选手可以自行选择回答问题的顺序，若答对一题可继续答下一题，直到题全部答完；若答错或不答则比赛结束. 例如：选手甲可自行按“简答—填空—选择”顺序答题，甲答对第一题得分，并继续回答第二题且答错得分，结束比赛，总分为分.
小杨作为优秀参赛选手，代表班级参加复赛. 根据他初赛的答题正确频率，可估计他填空、选择和简答的答题正确概率分别为：
若小杨每次答题的结果都相互独立，那么为尽量在比赛中获得较高分数，小杨应该采用怎样的答题顺序？请说明理由.
20. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.
已知双曲线的标准方程为，点是双曲线右支上的一个动点.
第20题图图
（1）求双曲线的焦点坐标和渐近线方程；
（2）过点分别向两条渐近线作垂线，垂足为点，求的值；
（3）若，如图，过作的切线，切点为，交双曲线的左支于点，分别交两条渐近线于点、. 设，求实数的取值范围.
21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
已知函数的导函数为，若函数的定义域为，且不等式对任意成立，则称函数是“超导函数”.
（1）判断是否为“超导函数”，并说明理由；
（2）若函数与都是“超导函数”，且对任意，都有、，记，求证：函数是“超导函数”；
（3）已知函数是“超导函数”且，若有且仅有一个实数满足，求的取值范围.
参考答案
填空题：
1. 2. 3.
4. 5. 6.
7. 8. 9.
10. 11. 12.
选择题：
13. C 14.C 15.D 16. B
解答题：
17.解（1）任取，则，，……………………3
因为函数是定义在上的偶函数，所以，
时，.…………………………………………………………6
（2）在是严格增函数，由是定义在上的偶函数，
可知在上是严格减函数.…………………………………………………8
由可知，，即，………………………12
整理得，即，解得.…………………………14
18.解（1）连结.由底面为正八边形可知，…………………………………3
因为底面，所以是在底面的射影，
所以.…………………………………………………………………………………6
（2）连结，
，，…………………………8
由，可知，
由平面可知是在平面的射影，故，
，，
，……………………………………………………11
设点到平面的距离为，则，计算得.………………14
另解：
（1）以为原点，分别以为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系.
由，，得，……………………………………3
由，，可得，
由，可知.………………………………………………………………6
（2）由，，，可得，，………8
设平面的法向量为，由且，
可得，即，
取，可得平面的一个法向量为，……………………………………11
设点到平面的距离为，由，则.……14
19. 解（1），计算得.……………………………2
各区间的中点值：、、、，
比赛分数的平均数为（分）……………………4
（2），班级中优秀参赛选手的人数为人.…………………………5
的可能取值为、、，依题意，
，，，
所以的分布为，………………………………………………………8
（3）答题顺序为：“选择—填空—简答”或“选择—简答—填空”，理由如下：
由于小杨“填空”和“简答”的答题正确率都为，考查“选择”的位置顺序.
得分的可能取值为：、、、，
方案一：“填空—选择—简答”或“简答—选择—填空”，
.………10
方案二：“选择—填空—简答”或“选择—简答—填空”，
.………12
方案三：“填空—简答—选择”或“简答—填空—选择”，
.
选取最大的方案，即方案二：“选择—填空—简答”或“选择—简答—填空”.…14
20.解（1）双曲线的焦点坐标为和，渐近线方程为和.……4
（2）设，则，………………………………………………………………5
不妨设垂直于直线，垂直于直线，
则是与同向的一个向量，是与同向的一个向量，
可得，………………………………………………7
，，………………………………9
.……………………………………………10
（3）设，则且，………………………………………12
由，则切线的方程为，化简得，
消去得，………………………………………14
因为，整理得
因为，可得，
.
设、，则、，
，
渐近线方程为和，
得；得，
，…………………………16
，，则，.……………18
21. 解（1）是，理由如下：，则，………………………………2
满足对任意成立，故函数是“超导函数”.…………………4
（2）由，可得……………………………………………6
……………………………………………………………………………………………8
因为函数与都是“超导函数”，
所以不等式与对任意成立，
即，，则
而，因此可得对任意成立，
所以函数是“超导函数”. …………………………………………………………10
（3）因为，所以可化为.
记，则原等式即为， ………………………………12
由是“超导函数”得对任意成立，
则在恒成立，可知在上是严格减函数，
等价于，即有且仅有一个实数满足.…………14
令，则
ⅰ.若，则只有一个零点；
ⅱ.若，
由，且，可知存在使得.
（注：此处的取值不唯一）
由，可知在上是严格增函数，则有且仅有一个零点.
ⅲ.若，令解得，
由时，，在上是严格增函数，
且时，，在上是严格减函数，
则时，取到最大值.
当时，，无零点；
当时，，由的单调性可知，有且仅有一个零点；
当时，，
由可知，存在使得；（注：此处的取值不唯一）
由，令，得，，
则在上是严格减函数，故，则，
可知存在使得.（注：此处的取值不唯一）………………17
综上，.……………………………………………………………………18
另解：
记、，则两个函数的图像有且仅有一个公共点
过原点作图像的切线，设切点为 ，
则，即，解得，此时切线斜率为，
结合与的图像可知，
当时，与的图像无公共点；
当时，与的图像相切；
当时，与的图像有两个交点；
当时，与的图像有一个交点.……………………………………17
综上，.…………………………………………………………………………18
生长期
植物高度
题型
填空
选择
简答
答题正确概率
分数分组区间
频数