2025上海松江区高考二模数学试卷及参考答案

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（满分150分，完卷时间120分钟） 2025.04
考生注意：
1．本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试题与答题要求，所有答题必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，做在试卷上一律不得分。
2．答题前，务必在答题纸上填写座位号和姓名。
3．答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位。
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）
1．已知集合，，则 ．
2．抛物线的焦点到准线的距离为 ．
3．若复数满足（其中是虚数单位），则 ．
4．已知空间向量，，若，则 ．
5．的二项展开式中的常数项为 ．
6．根据右表所示的样本数据，用最小二乘法求得线性回归
方程为，则回归系数的值为 ．
7．有辆车停放在个并排车位上，客车甲车体较宽，停放时需要占两个车位，并且乙车与客车甲相邻停放，则共有 种不同的停放方法．
8．在定向越野活动中，测得甲在乙北偏东的方向，甲乙两人间的距离为，丙在乙北偏西的方向，甲丙两人间的距离为，则乙丙两人间的距离为 ．
9．已知点为直线上的点，过点作圆的切线，
切点为，则最大值为 ．
10．如图在三棱锥中，、、两两垂直，且，设是底面内一点，定义，其中分别表示三棱锥,
三棱锥,三棱锥的体积．若，
且恒成立，则正实数的最小值为 ．
11．设向量，，记．若点、、为圆: 上任意三点，且满足,则的取值范围是 ．
12．设，若函数在区间内恰好有6个零点，则的取值范围是 ．
二、选择题(本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分)
每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑．
13．设，则“”是“且”的 （ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件D．既非充分又非必要条件
14．下列函数中，在区间上为严格增函数的奇函数的是 （ ）
A． B． C． D．
15．在正三棱柱中，，动点满足，则下列几何体体积为定值的是 （ ）
A．四棱锥 B．四棱锥
C．三棱锥 D．三棱锥
16．定义在上的函数满足，
当时，，有以下两个命题：
①当为正整数时，；
②若函数在区间内有3个极大值点，则的取值范围是.
则以下选项正确的是 （ ）
A．①是真命题，②是假命题B．两个都是真命题
C．①是假命题，②是真命题D．两个都是假命题
三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
已知函数，当时函数取得最大值，记.
(1) 求函数的表达式；
(2) 若数列为等差数列，，，记，求数列的前项和.
18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
已知梯形中，，为上的一点且，，，将沿翻折使得二面角的平面角为，连接、，
为棱的中点．
(1) 求证：平面；
(2) 当时，求直线和平面所成角的大小．
19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
某校组织学生在周末时间利用DeepSeek等人工智能平台进行线上学习，但要求学生学习时间不超过小时．现从该校高三学生某周末的线上学习时间统计数据中，随机抽取个学生的学习时间进行分析，绘制成如下频率分布直方图．以抽取的个学生该周末线上学习时间作为样本，估计该校高三年级全体学生周末线上学习时间的情况．
(1) 试估计该校高三学生周末线上学习时间的平均数及中位数（注：为了计算均值，可用区间的中点值给区间内的每个数据赋值）；
(2) 现从全部高三年级学生中随机抽取人．若其中有人周末线上学习的时间不小于小时的可能性最大，求的值．
20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
已知椭圆的左右焦点分别为、，上下顶点分别为、．是面积为的正三角形，过右焦点的直线交椭圆于P、Q两点（P、Q分别在第一、四象限）．
(1) 求椭圆的离心率；
(2) 已知点，求椭圆上的动点到点的最大距离；
(3) 求四边形面积的取值范围．
21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
已知．
(1) 若是函数的一个极值点，求曲线在点处的切线方程；
(2) 讨论函数的单调性；
(3) 已知实数．若点、是曲线上两点，直线的斜率为，求证：．

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