山西省大同市第一中学校2025届九年级上学期12月月考数学试卷(含解析)

这是一份山西省大同市第一中学校2025届九年级上学期12月月考数学试卷(含解析)，共19页。试卷主要包含了4至第二十七章27， 足球比赛常依据等内容，欢迎下载使用。
（监测内容：第二十四章24.4至第二十七章27.2．2）
注意事项：
1．试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟．
2．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效．
第Ⅰ卷 选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1. 足球比赛常依据（视频助理裁判技术）判定球是否出界，以得到更加公正的比赛判罚．如图，把足球与场地边界线看作圆与直线，它们的位置关系是（ ）
A. 相切B. 相交C. 相离D. 分离
答案：C
解：∵足球所代表的圆与直线没有公共点，
∴图中的圆与直线相离，
故选：C．
2. 我国古代数学的许多创新与发明都在世界上具有重要影响．下列图形中，属于中心对称图形的是（ ）
A. 笛卡尔心形线B. 赵爽弦图
C. 刘徽割圆术D. 中国七巧板
答案：B
解：A、它不是中心对称图形，故不合题意；
B、它是中心对称图形，故符合题意；
C、它不是中心对称图形，故不合题意；
D、它不是中心对称图形，故不合题意．
故选：B
3. 山西，因居太行山之西而得名，简称“晋”．如图，用放大镜将由“晋”字设计的图标放大，则放大前后两个图形之间属于图形的（ ）
A. 平移B. 轴对称C. 相似D. 旋转
答案：C
解：根据相似的定义及性质可知，用放大镜将由“晋”字设计的图标放大，两个图形的形状相同，大小不同，因此这两个图形的关系是相似，
故选：C．
4. 下列诗句所描述的事件中，属于必然事件的是（ ）
A. 黄河入海流B. 手可摘星辰
C. 锄禾日当午D. 大漠孤烟直
答案：A
A.黄河入海流，这是必然事件；
B.手可摘星辰，这是不可能事件；
C.锄禾日当午，这是随机事件；
D.大漠孤烟直 ，这是随机事件．
故选：A．
5. 二次函数的图象与x轴的交点个数是（ ）．
A. 0个B. 1个C. 2个D. 不能确定
答案：C
解：令，则，
∴二次函数的图象与x轴的交点个数是2个，
故选C．
6. 如图，点在双曲线上，轴于点，且的面积为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解：轴于点，且的面积为，
，
解得：，
，
，
故选：A．
7. 象棋是起于中国一种棋戏，现今通行的象棋，相传为唐代牛僧孺所制，刻圆木或牙、骨为棋子三十二枚，红黑各半，黑方以将统士、象、车、马、炮各二，卒五，若从一套完整的象棋棋子中随机摸一枚棋子，则该棋子为黑马的概率为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解：一幅中国象棋由红黑两色棋子共32个棋子组成，其中有2个“黑马”；
故从中随机摸出一枚棋子能摸到“黑马”的概率是．
故选：C．
8. 如图，为的直径，C为上一点，平分，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解：如图，连接，
∵为的直径，
∴，
，
，
，
∵平分，
，
故选：D．
9. 二次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
答案：B
解：当时，反比例函数的图象经过第一、三象限，
当时，二次函数图象，开口向上，对称轴在y轴左侧，则A选项不符合题意，
当时，二次函数图象，开口向下，对称轴在y轴右侧，则C选项不符合题意，B选项符合题意；
当时，反比例函数的图象经过第二、四象限，
当时，二次函数图象，开口向上，对称轴在y轴右侧，则D选项不符合题意；
故选：B．
10. 如图，在矩形中，，，，分别是，上的点，且，两动点，都以的速度分别从点，出发沿，向点，运动．当矩形与矩形相似时，点，运动的时间为（ ）
A. 或B. 或C. 或D. 或或
答案：B
解：∵，，
∴，
设矩形与矩形相似时，运动时间为，
当矩形矩形时，，
∴
解得，
当矩形矩形时，
∴，
解得：．
故选：．
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11. 已知是方程的一个根，则c的值是______．
答案：2
解：由题意得：
把代入方程得，
，
解得：．
故答案为：2．
12. 忻州市忻府区地处山西省北部，昼夜温差较大，四季分明，全年降水集中，这种气候条件非常适合玉露香梨的生长．某研究院跟踪调查了某批玉露香梨树苗的移栽成活情况，得到如图所示的统计图，由此可估计这批玉露香梨树苗移栽成活的概率约为______．（结果精确到0.1）
答案：0.9
解：∵这批玉露香梨树苗成活的频率稳定在0.9，
其成活的概率估计值约为0.9，
故答案为：0.9．
13. 如图，将绕点顺时针旋转得到，交于点．若，则的度数为______．
答案：
解：将绕点顺时针旋转得到，
，，
，
，
，
故答案为：．
14. 山西民居砖雕的起可以追溯到隋朝，其制作技艺花样繁多，套路复杂，画工精细，刀工别致，为国家级非物质文化遗产．如图是一块扇面形的山西砖雕作品，它的部分设计图如图所示，其中扇形和扇形有相同的圆心，且圆心角．若，，则阴影部分的面积为______．（结果用含的代数式表示）
答案：##
解：，，，
，
，
，
，
故答案为：．
15. 如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例的图象交于点B，则的值为______________
答案：##
解：过A作轴于C，过B作轴于D，
，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴（负值舍去），
故答案为：．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16. 解方程：
（1）；
（2）已知二次函数，当x取何值时，函数有最大（小）值，最大（小）值是多少？
答案：（1），
（2）当时，该函数有最大值，最大值为3
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∴或，
即，．
【小问2详解】
解：依题意，．
∵，
∴开口向下，当时，该函数有最大值，最大值为3．
17. 已知，如图，中，，，D为边上一点，．求证：．
答案：证明见解析
证明：，，，
，
又，
．
18. 老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将5种生活现象分别写在表面看上去无差别的五张卡片上，并分别放入甲、乙两个口袋中（如图），甲口袋中装有A，B两张卡片，乙口袋中装有C，D，E三张卡片．小明从两个口袋中分别随机取出1张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽出的两张卡片均是物理变化的概率．（注：没有生成其他物质的变化叫做物理变化；生成其他物质的变化叫做化学变化）
答案：
解：列表如下：
其中衣服晾干和冰化成水是物理变化，其余的是化学变化，
由表格知，总共有6种可能的结果，每种结果出现的可能性相同，其中抽出的两张卡片均是物理变化的结果有1种，为A，C，所以P（抽出的两张卡片均是物理变化）．
19. 如图，一次函数的图像经过点，交反比例函数的图像于点．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
乙
甲
C
D
E
A
A，C
A，D
A，E
B
B，C
B，D
B，E
（2）点在反比例函数的图像上，若，直接写出点的横坐标的取值范围．
答案：（1），
（2）
【小问1详解】
解：将点代入一次函数，
可得，解得，
∴一次函数解析式为；
将点代入一次函数，
可得，解得，即，
将代入反比例函数，
可得，解得，
∴反比例函数的解析式为；
【小问2详解】
如下图，
∵点，点，
∴，
∴，，
由题意得，
∴，
∴，
∴点的横坐标的取值范围为．
20. 阅读与思考
下面是小丽同学的数学笔记（部分），仔细阅读并完成相应的任务．
任务
（1）方框内问题的解决用到的数学思想方法是______；（从下列选项中选一个）
A．分类讨论 B．数形结合 C．整体 D．从特殊到一般
（2）求解方框内提出的问题；
（3）如图②，已知的半径为5，，是的弦，且，，直接写出与
不规则图形中弧长的解题思路
问题：如图①，正三角形的边长为2，D，E，F分别为，，的中点，以A，B，C三点为圆心，1为半径作圆，求图中阴影部分的周长．
解题思路：阴影部分的周长为以A，B，C三点为圆心，1为半径的扇形的弧长和，将3段弧长拼成一个半径为1的半圆的弧长，求出半圆的弧长即为阴影部分的周长．
的长度之和为______．
答案：（1）C （2）
（3）
【小问1详解】
解：方框内问题的解决用到的数学思想方法是整体，
故选：C．
小问2详解】
解：∵正三角形的边长为2，分别为，，的中点，
∴，三个圆的半径都是1，
∴可以将3段弧长拼成一个半径为1的半圆的弧长，
∴阴影部分的周长为．
【小问3详解】
解：如图，作直径，连接，
∵的半径为5，
∴，
由圆周角定理得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴与的长度之和为的长度，即为半圆的弧长，
故答案为：．
21. 项目式学习
项目主题：如何称量一个空矿泉水瓶的质量？
项目背景：学习完反比例函数后，某学校“勤学”小组的同学们尝试用反比例函数的知识称量一个空矿泉水瓶的质量．
项目素材：
素材一：如图是一架自制天平，支点固定不变，左侧托盘固定在点处，右侧托盘（点）可以在横梁段滑动（点不与点，重合）．已知，，砝码的质量为．根据杠杆原理，平衡时，左盘砝码质量右盘物体量（不计托盘与横梁的质量）．
素材二：由于一个空的矿泉水瓶太轻无法称量，小组同学进行了如下操作：左侧托盘放置砝码，向右侧托盘的空矿泉水瓶中加入的水后，发现点移动到的长为时，天平平衡．
问题解决：
（1）设右侧托盘中放置物体的质量为，OP的长为．请直接写出关于的函数解析式为______，的取值范围为______；
（2）求这个空矿泉水瓶的质量．
答案：（1）；
（2）这个空矿泉水瓶的质量为
【小问1详解】
解：由题意可知，即，的取值范围是，即，
故答案为：；；
【小问2详解】
解：设这个空矿泉水瓶的质量为，
根据题意，得，
解得，
所以这个空矿泉水瓶的质量为．
22. 阅读理解题：一次数学综合实践活动课上，小亮发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知是的角平分线，可得：，小亮的证明过程（部分）如下：
证明：过点作，交的延长线于点，
∵，
∴．
∴．
∴．
……
（1）请按照上面小亮的证明思路．写出该证明的剩余部分；
（2）如图2，在中，是的角平分线，已知，则的值为______．
（3）如图3，在矩形中，点是上一点，已知，连接，平分与交于点，则的长为______．
答案：（1）见解析 （2）
（3）
【小问1详解】
证明：过点作，交延长线于点，
∵，
∴．
∴．
∴．
∵是的角平分线，
∴．
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵是的角平分线，
由（1）可得，
∵，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：延长交的延长线于点，
∵四边形是矩形，
∴．
∴．
∴，
∴，
∴．
∴．
∴，
在中，，
∴．
∵平分，
∴，
∴，
∴．
23. 综合与实践
如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为．
【问题提出】
小组同学提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？
【问题探究】
小颖尝试从“函数图像”的角度解决这个问题：
设为，为．由矩形地块面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数 的图像在第一象限内点的坐标；木栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图像在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图像交点的坐标．
如图2，反比例函数（）的图像与直线：的交点坐标为和______，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或______，______．
（1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空；
【类比探究】
（2）若，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图像并说明理由；理由为______．
【问题延伸】
（3）当木栏总长为时，小颖建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的，在平移过程中，求出直线与反比例函数（）的图像有唯一交点时的交点坐标及a的值．
答案：（1）；4；2；（2）与函数 图像没有交点；（3）
（1）将反比例函数与直线：联立得，
∴，
∴，
∴，，
∴方程组的解为或
∴另一个交点坐标为，
∵为，为，
∴，．
故答案为：；4；2；
（2）不能围出面积为 的矩形；理由如下：
将反比例函数与直线：联立得，
∴，
∴，
∵，
∴无解，
故两个函数图像无交点；
的图像，如图中所示：
∵与函数图像没有交点，
∴不能围出面积为 的矩形．
故答案为：与函数 图像没有交点；
（3）如图中直线：所示，
∵直线与反比例函数的图像有唯一交点，
∴有唯一解，即：方程只有一个解，
∴，
解得：，（舍去），
此时：，
解得：，
当时，，
∴此时交点坐标为．