江西省吉安市八校联考2025届九年级上学期12月月考数学试卷(含答案)

这是一份江西省吉安市八校联考2025届九年级上学期12月月考数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，简答题等内容，欢迎下载使用。
（范围：上册第一章至第六章．考试时间：120分钟．总分：120分）
一、选择题（本大题共有6个小题，每小题3分，共18分）
1. 菱形的两条对角线长为6和8，那么这个菱形的面积为（ ）
A 48B. 32C. 12D. 24
答案：D
解：由菱形的面积公式可得，菱形的面积为：．
故选：D．
2. 一元二次方程的常数项为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解：一元二次方程的常数项为，
故选：．
3. 某几何体如图水平放置，其左视图是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解：左视图为．
故选：C
4. 如图，在中，，分别是和上的点，且．下列结论错误的是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解：A、∵EF//BC，∴即，该选项正确，不符合题意；
B、∵EF//BC，∴△AEF△ABC，则，该选项错误，符合题意；
C、∵EF//BC，∴△AEF△ABC，则，该选项正确，不符合题意；
D、∵EF//BC，∴，该选项正确，不符合题意；
故选：B．
5. 已知直线y=ax（a≠0）与双曲线一个交点坐标为（2，6），则它们的另一个交点坐标是【 】
A. （﹣2，6）B. （﹣6，﹣2）C. （﹣2，﹣6）D. （6，2）
答案：C
∵直线y=ax（a≠0）与双曲线的图象均关于原点对称，
∴它们的另一个交点坐标与（2，6）关于原点对称．
∵关于原点对称的点的坐标是横、纵坐标都互为相反数，
∴它们的另一个交点坐标为：（﹣2，﹣6）．故选C．
6. 如图，在直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与原点重合，顶点A．C分别在x轴、y轴上，反比例函数的图象与正方形的两边AB、BC分别交于点M、N，ND⊥x轴，垂足为D，连接OM、ON、MN．
下列结论：
①△OCN≌△OAM；
②ON=MN；
③四边形DAMN与△MON面积相等；
④若∠MON=450，MN=2，则点C的坐标为．
其中正确的个数是【 】
A. 1B. 2C. 3D. 4
答案：C
设正方形OABC的边长为a，
则A（a，0），B（a，a），C（0，a），M（a，），N（，a）．
∵CN=AM=，OC=OA= a，∠OCN=∠OAM=900，
∴△OCN≌△OAM（SAS）．结论①正确．
根据勾股定理，，，
∴ON和MN不一定相等．结论②错误．
∵，
∴．结论③正确．
如图，过点O作OH⊥MN于点H，则
∵△OCN≌△OAM ，∴ON=OM，∠CON=∠AOM．
∵∠MON=450，MN=2，
∴NH=HM=1，∠CON=∠NOH=∠HOM=∠AOM=22.50．
∴△OCN≌△OHN（ASA）．∴CN=HN=1．
∴．
由得，．
解得：（舍去负值）．
∴点C的坐标为．结论④正确．
∴结论正确的为①③④3个．
故选C．
二、填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分）
7. 一个直角三角形斜边上的中线长是，则它的斜边长是________．
答案：10
解：∵直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，直角三角形斜边上的中线长是，
∴斜边长．
故答案为：10．
8. 在一个不透明的布袋中装有50个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3左右，则布袋中黄球可能有________个．
答案：15
解：设袋子中黄球有x个，
根据题意，得：，
解得：，
即布袋中黄球可能有15个．
故答案为：15．
9. 若反比例函数，当时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是________．
答案：
解：∵反比例函数，当时，y随x的增大而增大，
∴，解得．
故答案为：．
10. 如图，一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 ________．
答案：
解：由三视图确定该几何体是圆柱体，底面半径是，高是6，
则这个几何体的体积为．
故答案为：．
11. 如图是一束平行的光线从教室窗户射入教室的平面示意图，测得光线与地面所成的角∠AMC＝30°，窗户的高在教室地面上的影长MN＝2米，窗户的下檐到教室地面的距离BC＝1米(点M，N，C在同一直线上)，则窗户的高AB为_____．
答案：2米
由题意可得:AM∥BN,所以△NBC∽△MAC,所以∠AMC=∠BNC=30°,
因为∠C=90°,BC=1,所以BN=2,CN=,所以,所以,解得:AC=3,所以AB=AC－BC=2,故选答案为:2米.
12. 如图，矩形中，，，为边上的动点，当与相似时，
____．
答案：1或4或2.5
解：∵四边形是矩形，
∴．
①当时，
，
即，
解得：，或；
②当时，
，
即，
解得：．
综上所述，的长度是1或4或2.5．
故答案为：1或4或2.5．
三、简答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13. （1）解方程；
（2）如图，在正方形中，E为边的中点，点F在边上，且，延长交的延长线于点G．求证：．
答案：（1），；（2）见解析．
（1）解：，
因式分解得：，
∴或，
解得：，，
（2）证明：∵四边形为正方形，且，
∴，
∵，，
∴，
∴．
14. 在如图所示的电路图中，随机闭合开关，，中的两个，请用列表法或画树状图法求出能让灯泡发光的概率．
答案：
解：根据题意画出树状图如下，
由树状图可知，共有种等可能的情况，其中能让灯泡发光的情况有种，即，，
∴能让灯泡发光的概率为．
15. 如图，请在的正方形网格中，用无刻度的直尺按下列要求作图，保留作图痕迹．
（1）在图①中，找到格点，．使得，且；
（2）在图②中的线段上找到点，使得．
答案：（1）见解析 （2）见解析
【小问1详解】
如图所示，线段，即为所求；
【小问2详解】
如图所示，点E即为所求．
16. 已知关于x的一元二次方程x2+2x+m﹣1＝0的两实数根分别为x1，x2．
（1）求m的取值范围；
（2）若x1+x2+x1x2+5＝0，求方程的两个根．
答案：（1）m≤2；
（2）方程的两根是-3和1．
【小问1详解】
解：一元二次方程x2+2x+m-1=0有两实数根x1，x2，
∵，，，
∴Δ=22-4×1×（m-1）≥0，
∴m≤2；
【小问2详解】
解：∵x1+x2=-2，x1x2=m-1，
而x1+x2+x1x2+5=0，
∴-2+m-1+5=0，解得m=-2，
∴方程为x2+2x-3=0，
∴（x+3）（x-1）=0，
解得x1=-3，x2=1，
即方程的两根是-3和1．
17. 如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象交于A（﹣2，1），B（1，n）两点．
（1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；
（2）求△AOB的面积．
答案：（1），y=﹣x﹣1；（2）．
解：（1）∵点A（﹣2，1）在反比例函数y=的图象上，
∴m=（﹣2）×1=﹣2．
∴反比例函数的表达式为．
∵点B（1，n）也在反比例函数的图象上，
∴n=﹣2，即B（1，﹣2）．
把点A（﹣2，1），点B（1，﹣2）代入一次函数y=kx+b中，
得，
解得：．
∴一次函数的表达式为y=﹣x﹣1
（2）在y=﹣x﹣1中，当y=0时，得x=﹣1．
∴直线y=﹣x﹣1与x轴的交点为C（﹣1，0）．
∵线段OC将△AOB分成△AOC和△BOC，
∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=×1×1+×1×2=+1=．
四、（本题共3小题，每小题8分，共24分）
18. 某品牌服装，平均每天可销售30件，每件赢利40元，调查发现，若每件降价1元，则每天可多售6件．
（1）每件服装降价2元后，可售出商品________件；
（2）每件服装降价x元后，可售出商品________件；（用含x的代数式表示）
（3）如果每天要赢利2100元，且使消费者得到最大优惠，每件应降价多少元？
答案：（1）42； （2）；
（3）30元．
【小问1详解】
解：由题意得，（件），
故答案为：42；
【小问2详解】
解：每件服装降价x元后，可售出商品（件），
故答案为：；
【小问3详解】
解：设每件服装降价x元，依题意，得
解得，，
∵要使消费者得到最大优惠，
∴．
答：如果每天要赢利2100元，使消费者得到最大优惠，每件应降价30元．
19. 如图，是一块锐角三角形余料，边，高，要把它加工成矩形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边、上．
（1）求证：；
（2）若这个矩形的边，则的长度．
答案：（1）见解析 （2）
【小问1详解】
证明：∵在矩形中，，
即
∴；
【小问2详解】
解：∵，
∴设，，
设与的交点为点E，
∵，是高，
∴，即是的高，
∵在矩形中，，
∴四边形是矩形，
∴，
∴
∵，
∴，即，
解得，
∴
20. 学生上课时注意力集中的程度可以用注意力指数表示．某班学生在一节数学课中的注意力指数上课时间（分钟）的变化图象如图．上课开始时注意力指数为，第分钟时注意力指数为，前分钟内注意力指数是时间的一次函数．分钟以后注意力指数是的反比例函数．
（1）当时，求关于的函数关系式；
（2）当时，求关于的函数关系式；
（3）如果讲解一道较难的数学题要求学生的注意力指数不小于，为了保证教学效果，本节课应该在哪个时间段讲完这道题？
答案：（1）；
（2）；
（3）在第至第分钟讲完这道题．
【小问1详解】
解：当时，设，
将、两点代入得：，
解得：，，
∴关于的函数关系式是；
【小问2详解】
解：当时，
当时，，
则反比例函数经过点，
设反比例函数关系式为，
将代入得：，则，
∴关于的函数关系式是；
【小问3详解】
解：当时，，解得：，
当时，；
解得：，
∴老师本节课应该在第至第分钟讲完这道题．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21. 如图，两个可以自由转动的转盘均被三等分，分别转动转盘，，两个转盘停止后，观察两个指针所指的数字（若指针指在分界线，则重转）．
（1）请用画树状图法或列表法表示所有可能出现的结果；
（2）若将转盘停止后指针所指的数字记为，转盘停止后指针所指的数字记为．求，是方程的解的概率．
答案：（1）见解析；
（2）．
【小问1详解】
解：画树状图如下，
∴所有可能出现的结果为，，，，，，，，；
【小问2详解】
解：解方程，得，，
∴，是方程的解的结果有种，
∴，是方程解的概率为．
22. 在中，点O是AC边上一动点，点P在BC延长线上，过点O的直线交与的平分线于点D，E．
（1）点O在什么位置时，四边形ADCE是矩形？说明理由．
（2）在（1）的条件下，当AC与BC满足什么条件时，四边形ADCE是正方形？并证明．
答案：（1）当O为AC的中点则四边形ADCE是矩形；理由见解析
（2）当时，四边形ADCE是正方形．证明见解析
【小问1详解】
当O为AC的中点则四边形ADCE是矩形；
理由：∵CE平分∠ACP，
∴∠ACE=∠PCE，
∵DE∥BC，
∴∠OEC=∠ECP，
∴∠OEC=∠OCE，
∴OE=OC，
同理，OC=OD，
∴OD=OE．
∵AO=CO，EO=DO，
∴四边形ADCE为平行四边形，
∵DC、CE是∠ACB与∠ACP的平分线，
∴∠DCE=90°，
∴四边形AECF是矩形；
【小问2详解】
当AC⊥BC时，四边形ADCE是正方形．
理由：∵∠BCA=90°，
∵DE∥CB，
∴∠DOA=90°，
则DE⊥AC，
∴矩形AECF是正方形．
六．（本大题共12分）
23. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线与坐标轴交于C，D两点，直线与坐标轴交于A，B两点，线段，的长是方程的两个根（）．
（1）求点A，C的坐标；
（2）直线与直线交于点E，若点E是线段的中点，反比例函数的图象的一个分支经过点E，求k的值；
（3）在（2）的条件下，点M在直线上，坐标平面内是否存在点N，使以点B，E，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出满足条件的点N有多少个，并写出其中一个的坐标；若不存在，请说明理由．
答案：（1），
（2）
（3）存在，符合条件的点N有4个，、，或
【小问1详解】
解：，
∴，，
∵，
∴，，
∴，；
【小问2详解】
解：将代入中，
得：，解得：，
∴直线的解析式为．
∵点E为线段的中点，，B的横坐标为0，
∴点E的横坐标为．
∵点E为直线上一点，
∴．
将点代入中，
得：，解得：；
小问3详解】
解：假设存在，设点M的坐标为，
以点B，E，M，N为顶点的四边形是菱形分三种情况（如图所示）：
①以线段为边，且点N在直线右侧时，
∵，，E为线段的中点，
∴，
∴．
∵四边形为菱形，
∴，
解得：，，
∴或，
∵，，
∴或；
②以线段为边，且点N在直线左侧时，，
∴．
解得，．
∴．
∵，，
∴．
③以线段为对角线时，，
∴，
解得：，
∴，
∵，，
∴，即．
综上可得：坐标平面内存在点N，使以点B，E，M，N为顶点的四边形是菱形，符合条件的点N有4个，
坐标为、，或．（写到一个即可）