江西省吉安市八校联考2024-2025学年八年级上学期12月月考 数学试题（含解析）

这是一份江西省吉安市八校联考2024-2025学年八年级上学期12月月考 数学试题（含解析），共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列计算中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列关于的函数是一次函数的是（ ）
A．B．C．D．
3．在“百善孝为先”朗诵比赛中，晓晴根据七位评委所给的某位参赛选手的分数制作了如下表格：
如果去掉一个最高分和一个最低分，那么表格中数据一定不发生变化的是（ ）
A．平均数B．中位数C．众数D．方差
4．光从空气进入水中，入水前与入水后的光路图如图所示，若建立坐标系，并设入水前与入水后光线所在直线的表达式分别为，，则下列关于与的大小关系中，正确的是（ ）
A．，B．，C．D．
5．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”．意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等．两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得（ ）
A．
B．
C．
D．
6．如图，点A，B，C在一次函数的图象上，它们的横坐标依次为，，，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，则图中阴影部分的面积之和是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共6小题）
7．若点，则点到轴的距离为
8．已知方程组是关于，的二元一次方程组，则的值 ．
9．已知一组数据6，8，9，a，且这组数据的中位数恰好也是该组数据的众数，则a的值为 ．
10．如图，函数和的图象相交于点P，则关于x，y的二元一次方程组的解是 ．
11．正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2…按如图所示放置，点A1、A2、A3…在直线y＝x+1上，点C1、C2、C3…在x轴上，则A5的坐标是 ．
12．如图，四边形是长方形，，，点是的中点，点在上，且，点沿运动，当为等腰三角形时，的长为 ．
三、解答题（本大题共11小题）
13．计算和解方程组：
(1)
(2)
14．已知，，z是9的算术平方根，求的平方根．
15．如图，每个小正方形的边长都是1，在每幅图中以格点为顶点，分别画出一个符合下列条件的格点三角形．
(1)在图1中画出一个等腰直角三角形，要求底边；
(2)在图2中画出一个直角三角形，要求，，的长为无理数．
16．已知与成正比例，当时，．试求：
(1)与的函数关系式；
(2)当时，求的值；
17．我们知道，长方形的对边平行且相等，四个角都是直角，即长方形中，，．如图，在长方形中，，点为上一点，把沿折叠，点恰好落在的点处，求的长．
18．甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，两人在相同条件下，各射击10次，射击的成绩如图所示．根据统计图信息，整理分析数据如下：
（1）补充表格中a，b，c的值，并求甲的方差s2；
（2）运用表中的四个统计量，简要分析这两名运动员的射击成绩，若选派其中一名参赛，你认为应选哪名运动员？
19．如图，在平面直角坐标系中，的各顶点分别为、、
(1)在平面直角坐标系中作，使与关于y轴对称；
(2)连接，，请判定的形状，并说明理由．
20．在“新冠病毒”疫情防控期间，某药店分两次购进酒精消毒液与测温枪进行销售，两次购进同一商品的进价相同，具体情况如下表所示：
(1)求酒精消毒液和测温枪每件的进价分别是多少元？
(2)该药店决定酒精消毒液以每件15元出售，测温枪以每件200元出售．为满足市场需求．需购进这两种商品共1000件，设购进测温枪m件，获得的利润为W元，请求出获利W（元）与购进测温枪件数m（件）之间的函数关系式．若测温枪的数量不超过300件，求该公司销售完上述1000件商品获得的最大利润．
21．在平面直角坐标系中，点，，若，则称点与点互为“等差点”，例如：点，点，因为，所以点与点互为“等差点”．
(1)若点的坐标是，则在点，，中，点的“等差点”为点______ ；
(2)若点的坐标是的“等差点”在坐标轴上，求点的坐标；
(3)若点的坐标是与点互为“等差点”，且、互为相反数，求点的坐标．
22．某天早晨，张强从家跑步去体育场锻炼，同时妈妈从体育场晨练结束回家，途中两人相遇，张强跑到体育场后发现要下雨，立即按原路返回，遇到妈妈后两人一起回到家（张强和妈妈始终在同一条笔直的公路上行进）．张强、妈妈两人距家的距离y（米）与张强出发的时间x（分）之间的函数关系如下图所示，请结合图象信息，解答下列问题：
(1)张强返回时的速度是______米/分；
(2)妈妈比按原速返回提前多少分钟到家?
(3)请求出张强出发多长时间与妈妈相距1000米．
23．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与y轴的正半轴交于点A，与x轴交于点B−2,0，的面积为2．动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度在射线上运动，动点Q从O出发，沿x轴的正半轴于点P同时以相同的速度运动，过P作轴交直线于M．
(1)求直线的解析式．
(2)当点P在线段上运动时，设的面积为S，点P运动的时间为t秒，求S与t的函数关系式（直接写出自变量的取值范围）．
(3)过点Q作轴交直线于N，在运动过程中（P不与B重合），是否存在某一时刻t（秒），使是等腰三角形？若存在，求出时间t值．
参考答案
1．【答案】C
【分析】根据二次根式的运算法则逐项计算即可．
【详解】解：A、，原式错误；
B、，原式错误；
C、，原式正确；
D、，原式错误；
故此题答案为C．
2．【答案】C
【分析】根据形如的函数叫做一次函数进行逐项判断即可．
【详解】解：A、函数不是一次函数，该选项不符合题意；
B、函数不是一次函数，该选项不符合题意；
C、函数是一次函数，该选项符合题意；
D、函数不是一次函数，该选项不符合题意；
故此题答案为C．
3．【答案】B
【分析】根据中位数的定义（位于中间位置或中间两数的平均数可以得到去掉一个最高分和一个最低分不影响中位数）解答即可．
【详解】解：去掉一个最高分和一个最低分对中位数没有影响，
故此题答案为B．
4．【答案】D
【分析】取横坐标相同的点，利用纵坐标的大小关系得到比例系数的关系．利用两个函数图象的位置关系取横坐标相同的点利用纵坐标的大小列出不等式，即可求解．
【详解】解：如图，在两个图象上分别取横坐标为，的两个点和，
则，，
，
，
当取横坐标为正数时，同理可得，
，，
，
故此题答案为D．
5．【答案】D
【分析】根据题意可得等量关系：①9枚黄金的重量=11枚白银的重量；②（10枚白银的重量+1枚黄金的重量）-（1枚白银的重量+8枚黄金的重量）=13两，根据等量关系列出方程组即可．
【详解】解：枚黄金重x两，每枚白银重y两
由题意得：
故此题答案为D．
6．【答案】A
【分析】设直线与y轴交于点D，轴于点E，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点A，D的坐标，进而可得出、的长，利用三角形的面积计算公式可求出的面积，同理可得出另外两个小三角形的面积均为，再将三个小三角形的面积相加即可求出结论．
【详解】设直线与y轴交于点D，轴于点E，如图所示．
当时，，
∴点D的坐标为；
当时，，
∴点A的坐标为，
∴点E的坐标为，，
∴，
∴．
同理，可求出另两个三角形的面积均为（阴影部分组成的小三角形），
∴阴影部分面积之和为：．
故此题答案为A．
7．【答案】3
【分析】根据到y轴的距离为点的横坐标的绝对值求解即可．
【详解】解：点到y轴的距离为3．
8．【答案】5
【分析】二元一次方程组也满足三个条件：①方程组中的两个方程都是整式方程；②方程组中共含有两个未知数；③每个方程都是一次方程．
根据二元一次方程组的定义得到，且，且，求解即可．
【详解】解：∵方程组是关于x，y的二元一次方程组，
∴，且，且，
∴．
9．【答案】8
【分析】根据中位数和众数的求法即可得出结果．
【详解】解：∵6，8，9，a这组数据的中位数恰好也是该组数据的众数，
∴只有当时，符合题意
10．【答案】
【分析】先利用正比例函数解析式确定P点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解．
【详解】解：把代入函数中，
得，解得，
∴，
∴方程组的解是．
11．【答案】（15，16）．
【分析】根据一次函数图象上点的特征及正方形的性质求出A1、A2、A3的坐标，找出规律，即可解答．
【详解】∵直线y＝x+1和y轴交于A1，
∴A1的坐标（0，1），
即OA1＝1，
∵四边形C1OA1B1是正方形，
∴OC1＝OA1＝1，
把x＝1代入y＝x+1得：y＝2，
∴A2的坐标为（1，2），
同理A3的坐标为（3，4），
…
∴An的坐标为（2n﹣1﹣1，2n﹣1），
∴A5的坐标是（25﹣1﹣1，25﹣1），即（15，16）
12．【答案】4或或
【分析】先利用勾股定理求出，再分当点P在上且时，当点P在上且时，当点P在上且时，三种情况构造直角三角形利用勾股定理求解即可．
【详解】解：由题意得，，
∵点是的中点，
∴，
在中，由勾股定理得，
如图所示，当点P在上且时，则，
∴此时点D与点P重合，
∴；
如图所示，当点P在上且时，
∴；
如图所示，当点P在上且时，过点F作于G，
∴（平行线间间距线段）
设，则，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴，
解得，
∴；
综上所述，的长为4或或
13．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用零指数幂法则，绝对值的代数意义，负整数指数幂法则计算即可求数值；
（2）方程组整理后，利用代入消元法求出解即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：，
由得，
把③代入②，得：
解得：，
把代入，得，
．
14．【答案】
【分析】根据，，z是9的算术平方根，可以求得x、y、z的值，从而可以解答本题．
【详解】解：∵，，z是9的算术平方根，
∴，，，
∴．
故的平方根是．
15．【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据等腰三角形的定义和勾股定理，求出的长，作图即可；
（2）根据要求作图即可；
【详解】（1）解：∵是等腰直角三角形，底边
∴，
由勾股定理得：，
∴，
如图，即为所求；
此时：；
（2）解：如图，即为所求；
由勾股定理得：，，，
∴，
∴为直角三角形，且，的长为无理数．
16．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设函数解析式为，将，代入求出的值，即可得到与的函数关系式；
（2）将代入与的函数关系式，即可求出的值．
【详解】（1）解：设与的函数关系式为，
当时，，
，
解得：
与的函数关系式为，，
即；
（2）解：当时，，
解得：．
17．【答案】1
【分析】利用角的关系求得，再在中，由勾股定理求得的长，据此即可求解．
【详解】解：∵折叠，点恰好落在线段上的点处
∴，，，，
∵，
∴，，
在中，由勾股定理得
∴
∴，
∴．
18．【答案】(1)a=7,b=8,c=7, s2=1.8;(2) 应选甲运动员,理由见解析
【分析】（1）由折线统计图得出具体数据，再根据中位数、众数和平均数的定义求解可得；
（2）根据平均数、众数、中位数及方差的意义求解，只要合理即可．
【详解】（1）a=×（6×2+7×7+9）=7，b=8，c=7，
s2=×[（9﹣8）2+（10﹣8）2+（8﹣8）2+（7﹣8）2+（6﹣8）2+（8﹣8）2+（8﹣8）2+（10﹣8）2+（6﹣8）2+（8﹣8）2]=1.8．
（2）∵甲的平均成绩、中位数与众数比乙的都高，
∴应选甲运动员．
19．【答案】(1)见解析
(2)见解析；△ABC’是等腰直角三角形，理由见解析
【分析】（1）找出点A、B、C关于y轴的对称点A′、B′、C′的位置，然后顺次连接即可；
（2）利用勾股定理列式求出AB、BC’、AC’，再利用勾股定理逆定理判断出三角形是等腰直角三角形．
【详解】（1）解：所作如图所示
（2）△ABC’如图所示，△ABC’是等腰直角三角形，
理由如下：
∵AB2=12+32=10,C’B2=12+32=10
∴AB=C’B=
∵AC’2=22+42=20
∴AB2+C’B2=AC’2，且∠ABC’＝90°
∴△ABC’是等腰直角三角形．
20．【答案】(1)酒精消毒液每件的进价为10元，测温枪每件的进价为150元
(2)，最大利润为18500元．
【分析】（1）设酒精消毒液每件的进价为x元，测温枪每件的进价为y元，然后根据两次购买情况列方程组求解即可；
（2）设购进测温枪m件，则购进酒精消毒液(1000−a)件，销售完这1000件商品获得的利润为W，根据酒精消毒液以每件15元出售，测温枪以每件200元出售，可以得到酒精消毒液每件的利润为5元，测温枪每件的利润为50元，由此可以求出利润的表达式；再根据表达式运用一次函数的性质求出最大利润即可．
【详解】（1）解：设酒精消毒液每件的进价为x元，测温枪每件的进价为y元，
根据题意得 ，解得．
答：酒精消毒液每件的进价为10元，测温枪每件的进价为150元．
（2）解：根据题意得
，
∵测温枪数量不超过300件，
∴，
又∵在中，，
∴W的值随m的增大而增大，
∴当时，W取最大值，最大值为．
答：当购进酒精消毒液700件，购进测温枪300件时，销售利润最大，最大利润为18500元．
21．【答案】(1)，
(2)或
(3)
【分析】（1）、（2）读懂新定义，根据新定义解题即可；
（3）根据新定义，列出方程组，求出，，即可求出点坐标．
【详解】（1）解：根据新定义可以得、与点互为“等差点”；
因为点的坐标是，点，则有，所以点与点不是互为“等差点”．
因为点的坐标是，点，则有，所以点与点互为“等差点”．
因为点的坐标是，点，则有，所以点与点互为“等差点”．
（2）①当点在轴上时，
设，由题意得，
解得，
．
②当点在轴上时，
设，
由题意得，
解得，
．
综上所述：的“等差点”点的坐标为或．
（3）由题意得，
．
、互为相反数，
，
解得，
，．
，．
22．【答案】(1)
(2)10分钟
(3)分钟、分钟、分钟
【分析】（1）由两点的坐标即可求解；
（2）求出点的坐标即可求解；
（3）求出直线的解析式、直线的解析式、直线的解析式，分三种情况讨论即可求解．
【详解】（1）解：由图象可知：
张强返回时的速度是：（米/分），
（2）解：∵（米），（米），
∴
∴妈妈原来的速度为：（米/分），
妈妈按原来的速度回家需要：（分钟），
∵（分钟），
∴妈妈比按原速返回提前分钟到家；
（3）解：如图所示：
设直线的解析式为：，
则，
解得：，
∴直线的解析式为：，
设直线的解析式为：，
则，
解得：，
∴直线的解析式为：，
直线的解析式为：，
，
解得：
，
解得：
，
解得：
综上所述：张强出发分钟、分钟、分钟与妈妈相距1000米
23．【答案】(1)
(2)
(3)存在，或
【分析】（1）根据三角形的面积公式求出，确定A的坐标，然后利用待定系数法求解即可；
（2）由等腰直角三角形的性质可得，再表示出，然后利用直角三角形的面积公式解答即可；
（3）由题意可以确定t秒时，点M、N、Q的坐标分别为、、，再分别求出，最后分三种情况列出方程求解即可．
【详解】（1）解：∵B−2,0，
∴，
∴，
则，
∴点
将点、B−2,0的坐标代入一次函数表达式：
得：，
解得：，
∴直线的表达式为：；
（2）解：∵v，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵轴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵点P、Q的速度都是每秒1个单位长度，时间为t，
∴，
∴，
∴；
（3）解：存在，理由：
∵轴，，
∴也为等腰直角三角形，
∴，
t秒时，点M、N、Q的坐标分别为、、，
则：，，
当时，即：，（负值已舍去），
当时，同理可得：（负值已舍去），
当时，同理可得：（舍去），
故：当是等腰三角形时，或． 众数
中位数
平均数
方差
平均成绩（环）
中位数（环）
众数（环）
方差
甲
8
b
8
s2
乙
a
7
c
0.6
购进数量（件）
购进所需费用（元）
酒精消毒液
测温枪
第一次
30
40
6300
第二次
40
30
4900