湖北省武汉市部分重点学校2024-2025学年高一下学期期中联考数学试卷（Word版附解析）

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命题单位：武汉六中数学学科组 审题单位：圆创教育研究中心 武汉市第一中学
本试卷共 4 页，19 题.满分 150 分.考试用时 120 分钟.
考试时间：2025 年 4 月 14 日下午 14：00-16：00
★祝考试顺利★
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答
题卡上的指定位置.
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在
试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和
答题卡上的非答题区域均无效.
4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题所给的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的）
1. 的值是（ ）
A. B. C. D.
2. 已知 ， ，则 在 上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，已知 ， ， ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
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4. 若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
5. 若 （ ，i 是虚数单位），则 的最大值是（ ）
A. B. C. D.
6. 已知圆锥的轴截面为正三角形，外接球的半径为 ，则圆锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知函数 ，若 在区间 内恰好有 2025 个零点，则 n 的取
值为（ ）
A. 2025 B. 1012 C. 1350 D. 1348
8. 已 知 锐 角 三 角 形 ABC 中 ， 角 A， B， C 所 对 的 边 分 别 为 a， b， c， 的 面 积 为 S， 且
，若 ，则 k 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求，全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错的得 0 分）
9. 如图， 是 的斜二测画法的直观图， ，则在原平面图形
中，有（ ）
A. B. C. D.
10. 已知平面向量 满足 ，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 与 的夹角为
C. D. 最大值为
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11. 已知复数 ，则（ ）
A. 若 互 共轭复数，则 为实数 B. 若 ，则 或
C 若 ，则 D.
三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
12. 设复数 满足 ，则 __________．
13. 将函数 （ ）的图象向右平移 个单位后，所得到的函数图象关于 轴对
称，则 ______.
14. 我国古代数学家赵爽大约在公元 222 年为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽
弦图”（如图 1）．类比“赵爽弦图”，可构造图 2 所示的图形，它是由 3 个全等的钝角三角形和中间的小等边
三角形拼成的一个较大的等边三角形．已知 ，若 ，则 的值
为_________．
四、解答题（本大题共 5 小题，共 77 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15. （1）计算：
（2）若对于复数 z， 为其共轭复数，其满足 ，求 ，并指出 z 在复平面对应的点位于第几
象限？
16. 设 内角 所对的边分别为 ，已知 ，且 ．
（1）求 的面积；
（2）若 为角 平分线，交 于 ，求 的长度．
17. 已知平面向量 ，其中 是夹角为 单位向量．
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（1）当 ，求 与 夹角的余弦值；
（2）若 与 夹角为钝角，求 的取值范围．
18. 某棒球场要举办大型活动，该活动要一块矩形场地，现对棒球场的扇形空地 AOB 进行改造．如图所示，
矩形 CDEF 区域为活动区域，已知扇形 AOB 的半径为 100 米，圆心角为 ，现要探究在该扇形内截取一个
矩形，应该如何截取，可以使得截取的矩形面积最大．一种方案是将矩形的一边 CD 放在 OA 上，另外两个
顶点 E，F 分别在弧 AB 和 OB 上，其中 （如图 2 所示）；
（1）若按方案一来进行修建，求活动场地面积的最大值：
（2）改造活动场地的另一种方案是，将矩形一边的两个顶点 D，E 在弧 AB 上，另外两个顶点 C，F 分别在
OA 和 OB 上，有 （如图 3 所示）．比较两种方案，哪种方案更优？
19. 斯特瓦尔特（Stewart）定理是由 世纪的英国数学家提出的关于三角形中线段之间关系的结论．根据
斯 特 瓦 尔 特 定 理 可 得 出 如 下 结 论 ： 设 中 ， 点 在 边 上 ， 有
．
（1）若 ， 为 中点，求 ；
（2）当 为角平分线时，利用斯特瓦尔特定理证明： ；
（3）在 内，AD 为 的角平分线，点 E 在线段 DC 上，
，求 的值．（角平分线定理：在 中，若 为角 平分线， 在
上，则有： ）
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