湖北省武汉市部分重点中学2024-2025学年高一上学期期末联考数学试卷（Word版附答案）

这是一份湖北省武汉市部分重点中学2024-2025学年高一上学期期末联考数学试卷（Word版附答案），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若是第四象限角，则点在( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.函数的定义域为( )
A. B. C. D.
3.已知，且，则的值是( )
A. B. C. D.
4.函数的图像大致为( )
A.
B.
C.
D.
5.已知函数若，，，则a，b，c的大小关系为( )
A. B. C. D.
6.函数在上为减函数的充要条件为( )
A. B. C. D.
7.已知函数的定义域为R，为偶函数，为奇函数，则( )
A. B. C. D.
8.设，，则等于( )
A. B. 1C. 2D. 3
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列式子化简正确的是( )
A. B.
C. D.
10.已知函数，下列说法中正确的是( )
A. 不是周期函数B. 在上是单调递增函数
C. 在内有两个零点D. 为奇函数
11.记函数的定义域为D，若存在非负实数k，对任意的，总有，则称函数具有性质则下列结论正确的是( )
A. 所有偶函数都具有性质
B. 具有性质
C. 若，则一定存在正实数k，使得具有性质
D. 已知，若函数具有性质，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知角为第二象限角，且满足，则的值为 .
13.若幂函数为偶函数，则不等式的解集为 .
14.已知函数恰有两个零点，则实数a的取值范围是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题13分
已知
化简
若，且满足，求的值.
16.本小题15分
已知函数
求不等式的解集;
若不等式对恒成立，求
17.本小题15分
新华学校为更好的繁荣校园文化，展示阳光少年风采，举办了创意shw展演活动.该活动得到了众多人士的关注与肯定，并且随着活动的推进，也有越来越多的同学参与其中，已知前3周参与活动的同学人数如下表所示：
依据表中数据，从下列三种模型中选择一个恰当的模型估算周后参与活动的同学人数人，并求出你选择模型的解析式：①，②且，③且
已知新华学校现有学生300名，请你计算几周后，全校将有超过一半的学生参与其中参考数据：，
18.本小题17分
已知函数，其中且
试判断函数的奇偶性;
当时，求函数的值域;
若对，，，都存在以，，为边长的三角形，求正整数n的值.
19.本小题17分
对于定义在区间的函数，定义：，，其中，表示函数在D上的最小值，表示函数在D上的最大值.
若，，试写出、的表达式;
设且，函数，，如果与恰好为同一函数，求a的取值范围;
若存在最小正整数k，使得对任意的成立，则称函数为上的“k阶收缩函数”，已知函数，，试判断是否为上的“k阶收缩函数”，如果是，求出对应的k，如果不是，请说明理由.
活动举办第x周
1
2
3
参与活动同学人数人
18
24
33
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查的知识要点：三角函数在各象限的符号，属于基础题．
直接利用三角函数的值的符号求出结果．
【解答】
解：由于是第四象限角，
所以，，
故点在第三象限．
故选：
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查函数的定义域，属于基础题.
根据函数的解析式有意义，列出不等式求解可得函数的定义域.
【解答】
解：由
所以函数的定义域为：
故选：
3.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查三角函数求值问题，属于基础题.
求出，利用两角和的正弦公式即可求解.
【解答】
解：因为，且，
则，则，
则
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查函数图像的识别，函数的奇偶性，属于基础题.
利用函数的奇偶性和函数值的分布情况即可判断.
【解答】
解：因为函数，定义域为，关于原点对称，且 ，
所以函数为奇函数，图象关于原点对称，排除A，
由，可得，，
故在y轴右边第一个零点为
又，排除D
故选
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查函数的奇偶性和利用函数的单调性，属于中档题.
根据题意，先求解出的奇偶性和单调性，再根据对数函数及指数函数的性质比较自变量的大小，最后结合函数的单调性分析得出答案．
【解答】
解：函数，其定义域为R，且，
所以为偶函数，
当时，，即函数在上单调递增，
，，，，
，
，
，
即，则，
故选
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查对数型函数的单调性，属于一般题.
利用在上递减，且在上恒成立即可求解.
【解答】
解：因为函数在上为减函数，且是增函数，
则在上递减，且在上恒成立，
则，解得
7.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查抽象函数的奇偶性，属于基础题.
由函数的奇偶性的定义和赋值法，可得结论.
【解答】
解：由为奇函数，可得，
由为偶函数，可得，
令，可得，即，
令，可得，
令，可得，
令，则，
所以，故A正确，B，C，D无法判断.
故选：
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查指数和对数运算，属于基础题.
利用指对数互换和幂的运算性质求得，，再利用对数运算性质求得，进而即可得解.
【解答】
解：由，，得，，
则，，则，，
则，
则
故选：
9.【答案】CD
【解析】【分析】
本题考查逆用两角和与差的正弦公式、逆用两角和与差的余弦公式、逆用两角和与差的正切公式、诱导公式、辅助角公式，属于中档题.
利用诱导公式及两角和的余弦公式的逆用可判断选项A；利用辅助角公式及两角差的正弦公式的逆用，可判断选项B；利用诱导公式及二倍角正弦公式可判断选项C；利用两角差的正切公式可判断选项
【详解】
解：对于选项A：因为
，故选项A错误；
对于选项B：
，故选项B错误；
对于选项C：因为 ，故选项C正确；
对于选项D：因为 ，故选项D正确.
故选：
10.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考查函数的性质，属于一般题.
对选项逐个判断即可.
【解答】
解：，是周期函数，A错误;
当时，是增函数，是减函数，
是增函数，是减函数，是增函数，
是增函数，B对;
由，得，因为，所以有或，C对;
，
关于点对称，则为奇函数，D对，
11.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查函数的性质，函数新定义，属于中档题.
利用性质 可判断A；利用基本不等式结合性质 可判断B；根据函数 的值域可判断C；根据已知条件可得出 可得出 ，结合不等式恒成立可得出a的取值范围，可判断
【解答】
解：对于A，设函数 是定义在D 上的偶函数，
对任意的 ， ，所以，所有偶函数都具有性质 ，A对；
对于B，对任意的 ， ，
当 时， ，
当且仅当 时，即当 时，等号成立，
又因为 ，故对任意的 ， ，
所以， 具有性质，故B正确 ；
对于C，因为 ，
且函数 的值域为 ，所以，不存在实数k ，使得 ，C错；
对于D， ，
因为 ，易知 ，因为 ，则 ，则 ，
所以， ，即 ，所以， ，
要使得 恒成立，则 ，
又因为 ，则 ，
所以，若函数 具有性质 ，则 ，D对.
故答案为：
12.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．
将已知等式两边平方，利用同角三角函数基本关系式即可计算得解．
【解答】
解：，
两边平方可得：，
，则
所以，
又是第二象限角，所以，，则，
所以
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查幂函数的图像及其性质，属于基础题.
利用幂函数的定义和性质求出，得，数形结合即可求解.
【解答】
解：因为为幂函数，
则，解得或2，
当时，，不是偶函数，舍去，
当时，，是偶函数.
不等式，即，
作出和的图像，
由图像可知，当时，，
故解集为
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查分段函数的零点，属于较难题.
，分、、及讨论即可求解.
【解答】
解：，
当时，，
易知其有3个零点，分别为，0，2，不符合题意；
当时，
有两个零点，
则无零点.
当时，在单调递减，在上单调递增，
所以，解得
当时，在上单调递增，
所以，恒成立，
所以，
故满足题意.
当时，
无零点，
又在单调递减，在上单调递增，
，，
所以有两个零点，符合题意；
当时，
有1个零点，为
又，
所以有1个零点，
则恰有两个零点，符合题意.
综上所述，或
15.【答案】解：
；
已知 ，
即 ，则 ，又，
所以，解得，
所以
.

【解析】本题考查利用诱导公式化简，利用同角三角函数基本关系化简，由一个三角函数值求其他三角函数值，属于中档题.
根据诱导公式直接化简即可；
由题意得 ，由求得， ，再利用二倍角的余弦公式和两角和的正弦公式化简代入计算即可.
16.【答案】解：不等式即为，即，
解得，，
的解集为
由题意为的最小值点，为的最大值点，
即，，
，，
，

【解析】本题考查正弦型函数的单调性与最值，属于中档题.
由题得到，即可求解；
根据正弦型函数的性质，即可求解.
17.【答案】解：从表格数据可以得知，函数是一个增函数，故不可能是①，
且函数增长的速度越来越快，所以选择③且，
代入表格中的三个点可得，解得，
所以，
由可知：，，
令，
整理得，
且，则，
所以8周后，全校将有超过一半的学生参与其中．
【解析】本题考查了指数函数模型应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
根据表格数据可知函数递增且增长速度越来越快，故选择模型③；代入表格中三个点即可构造方程组求得未知数，进而得到所求模型；
根据中结论可得不等式，结合题中数据分析求解即可．
18.【答案】解：因为且，所以其定义域为R，
又，所以函数是偶函数;
当时，，
因为，，当且仅当，即时取等，
所以，函数的值域为
，当且仅当时取等，
若，则，不符合题意.
，
，令，则，函数在上单调递增，
，
的值域为
即，，
，，，以，，为边总能围成三角形，
即
即，也即
，
又n为正整数，或
【解析】本题考查函数的奇偶性，函数的值域，对数函数的单调性，属于中档题.
推出，即可求解；
将代入求值域即可；
问题转化为，即可求解.
19.【答案】解：在上单调递增，
，
与恰好为同一函数，只须在上单调递增，
当时，令，，对称轴，
要使在上单调递增，即使在上单调递减，
舍；
当时，令，，对称轴，
要使在上单调递增，即使在上单调递增，
，
综上，如果与恰好为同一函数，则；
当时，当时当时，，，
当时，，，所以
当时，，
所以，令在上单调递增，
综上所述，，即存在，使得是上的4阶收缩函数.
【解析】本题考查新定义、考查函数的单调性和恒成立问题，属于较难题.
根据新定义和正弦函数的性质即可求解;
对a进行分类讨论，令，，根据单调性，对a进行分类讨论即可求解;
若是上的“k阶收缩函数”，则需满足存在正整数k，使得对任意的恒成立，然后对x进行分类讨论即可.