湖北省武汉市部分重点学校2024-2025学年高一下学期期中联考数学试题（解析版）

这是一份湖北省武汉市部分重点学校2024-2025学年高一下学期期中联考数学试题（解析版），共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
.
故选：A
2. 已知，，则在上的投影向量为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由题意，在上的投影向量为.
故选：A
3. 如图，已知，，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由，得，而，
所以.
故选：B
4. 若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为，所以，故，，
又因为，
所以.
故选：A.
5. 若（，i是虚数单位），则的最大值是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由已知，则，
则，其中满足，，当且仅当时，等号成立，即的最大值为，故选：C.
6. 已知圆锥的轴截面为正三角形，外接球的半径为，则圆锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由正弦定理可得，则，
易知该圆锥的高为，故该圆锥的体积为.
故选：A.
7. 已知函数，若在区间内恰好有2025个零点，则n的取值为（ ）
A. 2025B. 1012C. 1350D. 1348
【答案】C
【解析】依题意，，
令，则，由，得，
显然，即方程有两个不等的实数根，，
即，，此时在上恰有3个实根，
而，因此，则.
故选：C.
8. 已知锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的面积为S，且，若，则k的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，所以，
即，
所以，
整理得：，
因为，
所以，
由正弦定理得：，
因为，
所以，
因为为锐角三角形，所以，
所以，即，
由，解得：，
因为，所以，解得：，
故选：C
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）
9. 如图， 是的斜二测画法的直观图，，则在原平面图形中，有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】如图，在中，作交于点，
因为，所以，，
又 ，所以，，，
利用斜二测画法将直观图还原原平面图形，如图所示.
由斜二测画法，可得，，，
所以，，
.
故选：ABD.
10. 已知平面向量满足，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 与的夹角为
C.
D. 的最大值为
【答案】BCD
【解析】选项A：由得，又，所以，所以A错误；
选项B：设与的夹角为，则，因为，所以，所以B正确；
选项C：，所以，所以C正确；
选项D：设，则，
所以，
因为，所以，
因为，所以，
所以当且仅当与反向共线时，取得最大值，且最大值，所以D正确．
故选：BCD
11. 已知复数，则（ ）
A. 若互为共轭复数，则为实数
B. 若，则或
C. 若，则
D.
【答案】ACD
【解析】设，
A选项，由于互为共轭复数，故，
故，A正确；
B选项，不妨设，满足，但且，B错误；
C选项，若，则，C正确；
D选项，，
故，
，
而，
所以，D正确.故选：ACD
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 设复数满足，则__________．
【答案】
【解析】复数z满足，则，
所以.
故答案为：.
13. 将函数（）的图象向右平移个单位后，所得到的函数图象关于轴对称，则______.
【答案】
【解析】由题意得变换后图象解析式为，
因为的图象关于轴对称，所以，
所以，即，
因为，所以.
故答案为：.
14. 我国古代数学家赵爽大约在公元222年为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图1）．类比“赵爽弦图”，可构造图2所示的图形，它是由3个全等的钝角三角形和中间的小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形．已知，若，则的值为_________．
【答案】
【解析】连接，在中，，即，
所以，在中，，
所以，
在，，则，
因为，，所以，
则，，所以.
故答案为：.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15. （1）计算：
（2）若对于复数z，为其共轭复数，其满足，求，并指出z在复平面对应的点位于第几象限？
解：（1）；
（2）设，，则，
由可得，化简得，
所以，所以，，所以，
所以，
在复平面对应的点坐标为，位于第一象限.
16. 设内角所对的边分别为，已知，且．
（1）求的面积；
（2）若为角的平分线，交于，求的长度．
解：（1）由余弦定理可得：，即，
因为，，所以，所以；
（2）因为为角的平分线，所以
因为，
所以，而，
所以.
17. 已知平面向量，其中是夹角为的单位向量．
（1）当，求与夹角的余弦值；
（2）若与夹角为钝角，求的取值范围．
解：（1）由已知，是夹角为的单位向量，
所以，
又，则，
所以，
又，
所以．
（2）若与的夹角为钝角，则且不共线，
所以，且，
所以，且，
所以且．
18. 某棒球场要举办大型活动，该活动要一块矩形场地，现对棒球场的扇形空地AOB进行改造．如图所示，矩形CDEF区域为活动区域，已知扇形AOB的半径为100米，圆心角为，现要探究在该扇形内截取一个矩形，应该如何截取，可以使得截取的矩形面积最大．一种方案是将矩形的一边CD放在OA上，另外两个顶点E，F分别在弧AB和OB上，其中（如图2所示）；
（1）若按方案一来进行修建，求活动场地面积的最大值：
（2）改造活动场地的另一种方案是，将矩形一边的两个顶点D，E在弧AB上，另外两个顶点C，F分别在OA和OB上，有（如图3所示）．比较两种方案，哪种方案更优？
解：（1）由题可得，
，，
则，
则此时活动区域面积为：
，又注意到.
则，则，
当且仅当时，活动区域面积最大为平方米；
（2）如图，取ED中点为I，FC中点为J，连接OI，延长OI与弧BA交于点G，则由对称性及垂径定理，可得O，J，I，G四点共线，平分，
可得，设，则，
，，
则，
则此时活动区域面积为：
，又注意到.则，
则，
当且仅当时，活动区域面积最大为；
注意到，则，，
则选择方案1更好.
19. 斯特瓦尔特（Stewart）定理是由世纪的英国数学家提出的关于三角形中线段之间关系的结论．根据斯特瓦尔特定理可得出如下结论：设中，点在边上，有．
（1）若，为中点，求；
（2）当为角平分线时，利用斯特瓦尔特定理证明：；
（3）在内，AD为的角平分线，点E在线段DC上，，求的值．（角平分线定理：在中，若为角平分线，在上，则有：）
解：（1），为中点，
则，所以.
（2）因为为角平分线，则，设，
则，所以，
则
，命题得证.
（3）因为，则，又为的角平分线，，
由（2）知，，且有，
所以①，
又②，
又，则①②得
所以，得到.