2025《初中数学•期中压轴易错题28大专题》八年级下册试题（含答案）(北师版)

这是一份2025《初中数学•期中压轴易错题28大专题》八年级下册试题（含答案）(北师版)，共162页。
【北师大版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc8862" 【易错篇】 PAGEREF _Tc8862 \h 2
\l "_Tc27571" 【考点1 等腰三角形】 PAGEREF _Tc27571 \h 2
\l "_Tc15062" 【考点2 等边三角形】 PAGEREF _Tc15062 \h 3
\l "_Tc4667" 【考点3 含30度角的直角三角形】 PAGEREF _Tc4667 \h 4
\l "_Tc12750" 【考点4 直角三角形全等的判定与性质】 PAGEREF _Tc12750 \h 5
\l "_Tc17726" 【考点5 勾股定理与网格】 PAGEREF _Tc17726 \h 6
\l "_Tc18978" 【考点6 利用勾股定理求值】 PAGEREF _Tc18978 \h 8
\l "_Tc31950" 【考点7 赵爽弦图】 PAGEREF _Tc31950 \h 9
\l "_Tc25587" 【考点8 勾股定理逆定理的应用】 PAGEREF _Tc25587 \h 11
\l "_Tc10100" 【考点9 勾股定理的应用】 PAGEREF _Tc10100 \h 12
\l "_Tc20178" 【考点10 线段的垂直平分线】 PAGEREF _Tc20178 \h 13
\l "_Tc11523" 【考点11 角平分线】 PAGEREF _Tc11523 \h 14
\l "_Tc22465" 【考点12 一元一次不等式】 PAGEREF _Tc22465 \h 15
\l "_Tc264" 【考点13 一元一次不等式组】 PAGEREF _Tc264 \h 16
\l "_Tc23648" 【考点14 图形的平移】 PAGEREF _Tc23648 \h 16
\l "_Tc2496" 【考点15 图形的旋转】 PAGEREF _Tc2496 \h 18
\l "_Tc13457" 【考点16 中心对称】 PAGEREF _Tc13457 \h 19
\l "_Tc1982" 【压轴篇】 PAGEREF _Tc1982 \h 20
\l "_Tc3594" 【考点17 等腰三角形与图形变换】 PAGEREF _Tc3594 \h 20
\l "_Tc19356" 【考点18 等腰三角形中的动态变化】 PAGEREF _Tc19356 \h 22
\l "_Tc29108" 【考点19 等腰三角形中的存在性问题】 PAGEREF _Tc29108 \h 24
\l "_Tc12917" 【考点20 等腰三角形中的最值问题】 PAGEREF _Tc12917 \h 25
\l "_Tc10440" 【考点21 图形上与已知两点构成直角三角形的点】 PAGEREF _Tc10440 \h 27
\l "_Tc26364" 【考点22 利用勾股定理构造图形解决问题】 PAGEREF _Tc26364 \h 28
\l "_Tc10247" 【考点23 求立体图形的最短路径问题】 PAGEREF _Tc10247 \h 29
\l "_Tc5220" 【考点24 不等式(组)的整数解问题】 PAGEREF _Tc5220 \h 31
\l "_Tc6529" 【考点25 不等式组的有解或无解问题】 PAGEREF _Tc6529 \h 31
\l "_Tc24955" 【考点26 利用不等式的基本性质求最值】 PAGEREF _Tc24955 \h 31
\l "_Tc8647" 【考点27 方程与不等式（组）的实际应用】 PAGEREF _Tc8647 \h 32
\l "_Tc32164" 【考点28 利用图形的变换设计图案】 PAGEREF _Tc32164 \h 33
【易错篇】
【考点1 等腰三角形】
【例1】（24-25八年级·河南新乡·期中）如图，在△ABC中，∠A=120°，AB=AC；D是BC 边的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC 于F，以下四个结论：①ED=FD；②△DEF是等边三角形；③△AEF是等腰三角形；④连接AD，AD垂直平分EF．其中正确的结论有( )
A．4个B．3个C．2个D．1个
【变式1-1】（24-25八年级·吉林松原·期末）如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，若∠A=∠ABE，BD=1，BC=3，则AC的长为 ．
【变式1-2】（24-25八年级·海南省直辖县级单位·期末）如图，在△ABC中，AD，AF分别是△ABC的中线和高，BE是△ABD的角平分线．
(1)若∠BED=60°，∠BAD=40°，求∠BAF的度数．
(2)若△ABC面积为40，AD=5，求AF的长．
【变式1-3】（24-25八年级·河北石家庄·期末）如图1，在平面直角坐标系xOy中，A-3,0，∠OBC=60°，BC与y轴正半轴交于点C，且BC=4．
(1)B点的坐标是__________；
(2)如图2，点P从点A出发，沿射线AB方向运动，同时点Q在边BC上从点B向点C运动，在运动过程中：
①若点P的速度为每秒2个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，当△PQB是直角三角形时，求t的值；
②若点P、Q的运动路程分别是a，b，当△PQB是等腰三角形时，求出a与b满足的数量关系．
【考点2 等边三角形】
【例2】（24-25八年级·山西大同·期末）如图，在四边形ABCD中，AB=AD=12，BC=DC，∠A=60°，点E在AD上，连接BD，CE相交于点F，CE∥AB．若CE=8，则CF的长为（ ）

A．6B．5C．4D．3
【变式2-1】（24-25八年级·浙江台州·期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=4，将△CAB绕点C按逆时针方向旋转得到△CDE，点D恰好在AB边上，连接BE，则BE的长为 ．
【变式2-2】（24-25八年级·山西大同·期末）已知等边三角形ABC，D，E分别为边AB,BC的中点，连接DE；G为射线EB上的一个动点，以DG为边，并在其左侧作等边三角形DHG，连接BH．
(1)如图1，若AB=4，DG⊥BC，HG与BD相交于点O，则DO= ，∠HBG= °．
(2)如图2，当点G在EB的延长线上时，
①HB与GE有怎样的数量关系？并证明你的结论．
②请计算∠HBC的度数．
【变式2-3】（24-25八年级·安徽合肥·期末）点E为等边三角形ABC内一点，分别以AE、BE为边作等边三角形AEF、BDE．如图，DE与AB交于点H,DF与AB交于点G．则下列结论不一定成立的是（ ）
A．DF=BCB．DF∥BC
C．EG⊥ADD．∠ADE=∠ECF
【考点3 含30度角的直角三角形】
【例3】（24-25八年级·湖北武汉·期末）如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE=3，射线CD⊥BC，垂足为C，点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+FP的值最小时，BF=5，则AB的长为（ ）
A．6.5B．7C．8D．9
【变式3-1】（24-25八年级·浙江台州·期末）如图，在等边三角形ABC中，BC=8，点D是AB的中点，过点D作DF⊥AC于点F，过点F作EF⊥BC于点E，则BE的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【变式3-2】图①是一种矩形时钟，图②是时钟示意图，时钟数字2的刻度在矩形ABCD的对角线BD上，若测量得时钟的长BC为48cm，则时钟的另一边AB的长为 cm．（结果保留根号）
【变式3-3】（24-25八年级·浙江杭州·期末）在△ABC中，已知点D在BC上，且CD=CA，点E在CB的延长线上，且BE=BA．
(1)如图①，若∠BAC=120°，AB=AC，求∠DAE的度数；
(2)试探求∠DAE与∠BAC的数量关系；
(3)如图②，若AB平分∠DAE，AC⊥CD于点C，求证：BE=2CD．
【考点4 直角三角形全等的判定与性质】
【例4】（24-25八年级·湖北武汉·期末）如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠B=90°，BE=AD=4，∠BCD的平分线交AB于点E，若BC与CD的差为1，则AE的长为（ ）
A．1B．12C．23D．2
【变式4-1】（24-25八年级·内蒙古乌兰察布·期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=16cm，BC=8cm，线段PQ=AB，P，Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AO上运动，点P从点A运动到点C，点P的运动速度为每秒钟2cm，当运动时间为 秒时，△ABC和△PQA全等．
【变式4-2】（24-25八年级·山东聊城·期末）在△ABC中，P，F分别是边AB，BC边上的点，作PD⊥AC于点D，PE⊥BC于点E，连接PF，若PD=PE，PF=FC．
(1)求证：CE=CD；
(2)若AC=BC，△ABC的面积为6，求△PFC的面积．
【变式4-3】（24-25八年级·甘肃平凉·期末）如图，已知△ABC中BC边上的垂直平分线DE与∠BAC的平分线交于点E，EF⊥AB交AB的延长线于点F，EG⊥AC交于点G．
(1)求证：BF=CG．
(2)求证：AG=12AB+AC．
【考点5 勾股定理与网格】
【例5】（24-25八年级·江苏淮安·期末）某班学生在劳动实践基地用一块正方形试验田种植苹果树，同学们将试验田分成7×7的正方形网格田，每个小正方形网格田的边长为1米，如图所示，为了布局美观及苹果树的健康成长，同学们要把苹果树种植在格点处（每个小正方形的顶点叫格点），且每两棵苹果树之间的距离都要大于2米，则这块试验田最多可种植 棵苹果树．
【变式5-1】（24-25八年级·山西临汾·期末）如图，在6×6的网格图中，每个小方格的边长为1，请在给定的网格中按下列要求画出图形．
(1)画一个三边长分别为4，5，13的三角形；
(2)画一个腰长为10的等腰直角三角形．
【变式5-2】（24-25八年级·河南驻马店·期末）如图，在边长为1的小正方形网格中，若△ABC和△BCD的顶点都在小正方形网格的格点上，则∠ACB+∠DBC=（ ）
A．45°B．75°C．120°D．135°
【变式5-3】（24-25八年级·安徽安庆·期末）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，△ABC的顶点A，B，C均在格点上．若AD⊥BC于点D，则线段AD的长为
【考点6 利用勾股定理求值】
【例6】（24-25八年级·浙江绍兴·期末）如图，在长方形ABCD中，AB=3，BC=4，将△ABC沿AC折叠，点B落在B'处，AD与B'C交于E，则CE的长为（ ）
A．134B．72C．258D．165
【变式6-1】（24-25八年级·江苏苏州·期末）勾股定理是数学史上的一颗玻璃珠．被誉为清代“历算第一名家”的名数学家梅文鼎先生（图①）在《梅氏丛书辑要》（由其孙子梅瑴成编纂）的“勾股举隅”卷中给出了多种勾股定理的证法．其中一种是在图②的基础上，运用“出入相补”原理完成的．在△ABC中，∠ACB=90°，四边形ABDE，ACFG，BCHI均为正方形，HI与AE相交于点J，可以证明点D在直线HI上．若△AHJ，△DEJ的面积分别为2和6，则直角边AC的长为（ ）
A．2B．3C．5D．2
【变式6-2】（24-25八年级·陕西西安·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC,BD交于点O．若AD=1,BC=4，则AB2+CD2= ．

【变式6-3】（24-25八年级·四川达州·期末）如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，BC=4，AE⊥CD，垂足为E，AE=CE，连接AC，若DE=5， AD=61．求：
(1)AC的长；
(2)四边形ABCD的面积．
【考点7 赵爽弦图】
【例7】（24-25八年级·江苏宿迁·期末）综合实践
我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了“赵爽弦图”．他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数恒等式，严密又直观，为中国古代“形数统一”、代数和几何紧密结合的独特风格树立了一个典范．在一节八上数学复习课上，老师为了弘扬中国的数学文化，和同学们开启对“赵爽弦图”的深度研究．
(1)类比“弦图”，证明定理
小明同学利用四张全等的直角三角形纸片（如图1），证明勾股定理．
因为大正方形的面积可以看成4个直角三角形与1个边长为b-a的小正方形组成，即面积表示为：4×12ab+b-a2=a2+b2，即a2+b2=c2，进而勾股定理得到了验证．
善于思考的小亮同学把一个直立的火柴盒放倒（如图2），聪明的他发现用不同的方法计算梯形ABCD的面积，也可证明勾股定理，请你和他一起证明．
(2)利用“弦图”，割拼图形
如图3，老师给出由5个小正方形组成的十字形纸板，让同学们尝试剪开，使得剪成的若干块能够拼成一个无缝的大正方形，可以怎么剪？请你画出示意图．
(3)构造“弦图”，应用计算
如图4，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°,AC=BC，点D是BC中点，过点C作CE⊥AD，垂足为点F，交AB于点E，若BE=3，求AB的长．
【变式7-1】（24-25八年级·江苏南京·期末）如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形MNPQ拼成的一个大正方形ABCD．连接AQ、BP、CN、DM．若正方形ABCD的面积为2a，阴影部分的面积为2b．则AN的长度为（ ）
A．a+bB．a2+b2C．a+bD．a2+b2
【变式7-2】（24-25八年级·四川成都·期末）如图1，将四个全等的直角三角形拼成了一个四边形ABEC，然后将前面四个全等的直角三角形拼成了一个大的正方形如图2，该正方形的面积为5；再将其四个全等的直角三角形拼成了图3形状，图3的外轮廓周长为4+45，则图1中的点C到AB的距离为 ．
【变式7-3】（24-25八年级·浙江金华·期末）图1是由5个全等的直角三角形与一个小正方形组成，延长DK交AB、AC分别于点M、N，延长EH交BD于点P（如图2）．
（1）若Rt△ABF的面积为5，小正方形FGHK的面积为9，则AB＝ ；
（2）如图2，若S四边形AEHNS四边形BMHP=k，则S四边形FGHKS四边形BCNK＝ （用含k的代数式表示）．
【考点8 勾股定理逆定理的应用】
【例8】（24-25八年级·黑龙江双鸭山·期末）两艘轮船从同一港口同时出发，甲船时速40海里，乙船时速30海里，两个小时后，两船相距100海里，已知甲船的航向为北偏东46°，则乙船的航向为（ ）
A．南偏东44°B．北偏西44°C．南偏东44°或北偏西44°D．无法确定
【变式8-1】（24-25八年级·黑龙江大庆·期末）笔直的河流一侧有一旅游地C，河边有两个漂流点A，B．其中AB=AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，为方便游客决定在河边新建一个漂流点H（A，H，B在同一直线上），并新修一条路CH，测得BC=5千米，CH=4千米，BH=3千米．则原路线AC＝ 千米．
【变式8-2】（24-25八年级·辽宁鞍山·期末）如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地ABCD，测得AB=9m，BC=12m，CD=8m，AD=17m，且∠ABC=90°，这块菜地的面积是（ ）

A．48m2B．114m2C．122m2D．158m2
【变式8-3】（24-25八年级·吉林四平·期末）如图①是超市的儿童玩具购物车，图②为其侧面简化示意图．测得支架AC=24cm，CB=18cm，两轮中心的距离AB=30cm．
(1)连接AB，则△ABC是__________三角形，请写出推理过程．
(2)点C到AB的距离是__________cm．
【考点9 勾股定理的应用】
【例9】（24-25八年级·四川成都·期中）四川的人民渠（利民渠、幸福渠、官渠堰）是都江堰扩灌工程之一，也是四川省建成的第一座大型水利工程，有“巴蜀新春第一渠”之称．现为扩建开挖某段干渠，如图，欲从干渠某处A向C地、D地、B地分流（点C，D，B位于同一条直线上），修三条笔直的支渠AC，AD，AB，且AC⊥BC；再从D地修了一条笔直的水渠DH与支渠AB在点H处连接，且水渠DH和支渠AB互相垂直，已知AC=6km，AB=10km，BD=5km．
(1)求支渠AD的长度．（结果保留根号）
(2)若修水渠DH每千米的费用是0.7万元，那么修完水渠DH需要多少万元？
【变式9-1】（24-25八年级·福建福州·期中）《九章算术》中“勾股”一章有记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它的顶端恰好到达池边的水面，求芦苇的长度．（1丈＝10尺）
解决下列问题：
（1）示意图中，线段AF的长为 尺，线段EF的长为 尺；
（2）求芦苇的长度．
【变式9-2】（24-25八年级·安徽阜阳·期中）超速行驶是引发交通事故的原因之一．上周末，小聪等三位同学在某路段尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l的距离为100m的点P处．这时，一辆轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3秒，并测得∠APO=60°，∠BPO=45°．
(1)求AB的距离，（3取1.73）
(2)试判断此车是否超过了80km/h的限制速度？
【变式9-3】（24-25八年级·安徽安庆·单元测试）由于大风，山坡上的一棵树甲被从点A处拦腰折断，如图所示，其树恰好落在另一棵树乙的根部C处，已知AB=4米，BC=13米，两棵树的株距（两棵树的水平距离）为12米，请你运用所学的知识求这棵树原来的高度．
【考点10 线段的垂直平分线】
【例10】（24-25八年级·福建厦门·期末）如图，在△ABC中，∠BAC为钝角，CD为∠ACB的平分线．
(1)尺规作图：在CD上作点E，并连接AE，使得∠AED=∠ACB（要求：不与作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，在BC边上有一点F（不与点B，C重合），连接AF，∠EAF=12∠ACB，求证：EF垂直平分AC．
【变式10-1】如图，在△ABC中，AB=AC．作△BCE，点A在△BCE内，点D在BE上，AD⊥BE．若D为BE的中点，且∠EBA+∠ECA=α，则∠BAC= （用含α的代数式表示）．
【变式10-2】（24-25八年级·福建莆田·期中）已知：如图，AB=AC，∠ABD=∠ACD．求证：AD⊥BC．
【变式10-3】（24-25八年级·山东聊城·期末）在△ABC中，DE垂直平分AC，连接CE，CE平分∠ACB．
(1)若∠CEB=46°，求∠B的度数．
(2)若BC=4，△ABC的周长比△EBC的周长多8，△EBC的面积为6，则三角形AEC的面积为多少？
【考点11 角平分线】
【例11】（24-25八年级·湖北荆州·期中）如图，在△ABC中，∠CAE，∠ACD是△ABC的外角．

(1)求证：∠ACD=∠BAC+∠ABC．
(2)利用尺规作图分别做出∠ACD，∠ABC的角平分线（不写做法保留作图痕迹），两条角平分线相交于点F．若∠BAC=62°，求∠BFC的度数．
(3)连接AF，求证：AF平分∠CAE．
【变式11-1】（24-25八年级·湖北荆州·期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以点A为圆心，任意长度为半径画弧，交AB，AC于点D，E，再分别以点D,E为圆心．大于12DE为半径画弧．两弧在∠BAC内交于点F，作射线AF交边BC于点G，若CG=3，AB=10，则△ABG的面积为（ ）
A．13B．15C．26D．30
【变式11-2】（24-25八年级·山东济宁·期末）如图，在△ABC中，AB=AC，AH⊥BC于点H，点D在AH上，且BD=BC，将△ABD沿BD折叠得到△A'BD，A'B交AC于点E．
(1)求证：DE平分∠AEB；
(2)求∠BEC的度数．
【变式11-3】（24-25八年级·河北保定·期中）如图，在△ABC中，∠CAB=50°，点D在△ABC的外部，且AD平分∠BAC，过点D作DE⊥AC，交AC的延长线于点E，DF⊥BC，交BC于点F，连接BD．若∠BCE=104°，DE=DF，则∠DBC的度数为 ．
【考点12 一元一次不等式】
【例12】关于x的不等式x+14-1>4x-a6的解集都是不等式x4-10是关于x的一元一次不等式，则该不等式的解集是（ ）
A．x-2C．x>-12D．xx+a的解集中每一个x的值都能使不等式1-2x2-1-5x6>23成立，则a的取值范围是（ ）
A．a≤43B．a≥43C．a≤-43D．a≥-43
【考点13 一元一次不等式组】
【例13】（24-25八年级·四川眉山·期末）若不等式组x+m>2n-x>-4的解集为14x-a6的解集都是不等式x4-1-12D．x0是关于x的一元一次不等式，
∴|k|-1=1且k+2≠0，
解得k=2，
∴原不等式为2-4x>0，
解得xx+a的解集中每一个x的值都能使不等式1-2x2-1-5x6>23成立，则a的取值范围是（ ）
A．a≤43B．a≥43C．a≤-43D．a≥-43
【答案】B
【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解题关键．先求出两个不等式的解集分别为x2x+2a，
-x>3a-2，
x23，
31-2x-1-5x>4，
3-6x-1+5x>4，
-x>2，
xx+a的解集中每一个x的值都能使不等式1-2x2-1-5x6>23成立，
∴-3a+2≤-2，
解得a≥43，
故选：B．
【考点13 一元一次不等式组】
【例13】（24-25八年级·四川眉山·期末）若不等式组x+m>2n-x>-4的解集为1