2025《初中数学•期中压轴易错题23大专题》八年级下册试题（含答案）(沪科版)

这是一份2025《初中数学•期中压轴易错题23大专题》八年级下册试题（含答案）(沪科版)，共96页。
【沪科版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc5222" 【易错篇】 PAGEREF _Tc5222 \h 1
\l "_Tc24750" 【考点1 二次根式】 PAGEREF _Tc24750 \h 1
\l "_Tc2269" 【考点2 根据二次根式的性质化简】 PAGEREF _Tc2269 \h 2
\l "_Tc15722" 【考点3 二次根式的乘除】 PAGEREF _Tc15722 \h 2
\l "_Tc23524" 【考点4 二次根式的加减】 PAGEREF _Tc23524 \h 3
\l "_Tc16834" 【考点5 一元二次方程】 PAGEREF _Tc16834 \h 3
\l "_Tc11062" 【考点6 一元二次方程的解法】 PAGEREF _Tc11062 \h 3
\l "_Tc16606" 【考点7 一元二次方程根的判别式】 PAGEREF _Tc16606 \h 4
\l "_Tc24653" 【考点8 一元二次方程根与系数的关系】 PAGEREF _Tc24653 \h 5
\l "_Tc7546" 【考点9 一元二次方程的应用】 PAGEREF _Tc7546 \h 5
\l "_Tc7541" 【考点10 勾股定理与网格】 PAGEREF _Tc7541 \h 6
\l "_Tc6446" 【考点11 利用勾股定理求值】 PAGEREF _Tc6446 \h 7
\l "_Tc3196" 【考点12 赵爽弦图】 PAGEREF _Tc3196 \h 9
\l "_Tc13014" 【考点13 勾股定理逆定理的应用】 PAGEREF _Tc13014 \h 11
\l "_Tc25577" 【考点14 勾股定理的应用】 PAGEREF _Tc25577 \h 12
\l "_Tc13690" 【压轴篇】 PAGEREF _Tc13690 \h 13
\l "_Tc24286" 【考点15 化简含字母的二次根式】 PAGEREF _Tc24286 \h 13
\l "_Tc25372" 【考点16 求立体图形的最短路径问题】 PAGEREF _Tc25372 \h 13
\l "_Tc1296" 【考点17 利用一元二次方程求最值】 PAGEREF _Tc1296 \h 14
\l "_Tc17243" 【考点18 利用一元二次方程的解求参数取值范围】 PAGEREF _Tc17243 \h 16
\l "_Tc19321" 【考点19 利用一元二次方程的解法解特殊方程】 PAGEREF _Tc19321 \h 16
\l "_Tc7117" 【考点20 利用勾股定理构造图形解决问题】 PAGEREF _Tc7117 \h 17
\l "_Tc7095" 【考点21 图形上与已知两点构成直角三角形的点】 PAGEREF _Tc7095 \h 19
\l "_Tc2167" 【考点22 多结论问题】 PAGEREF _Tc2167 \h 20
\l "_Tc32557" 【考点23 新定义问题】 PAGEREF _Tc32557 \h 21
【易错篇】
【考点1 二次根式】
【例1】（24-25八年级·福建莆田·期中）已知n是正整数，28n是整数，则n的最小值是( )
A．0B．2C．3D．7
【变式1-1】（24-25八年级·广东河源·期中）若二次根式x−2024x在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x>2024B．x≥2024C．x1．下面是小亮和小芳的解答过程．
小亮：解：原式=a+1−a=1；
小芳：解：原式=a+1−a，
∵a>1，∴原式=a+a−1=2a−1，
(1)________的解法是不正确的；
(2)化简：ab−ba⋅ab，其中a14D．k≥14且k≠1
【变式7-2】（24-25八年级·江苏盐城·期中）已知关于x的一元二次方程x2−2k+1x+2k=0．
(1)求证：无论k为何值，方程总有两个实数根；
(2)若该方程有一个实数根大于3，求k的取值范围．
【变式7-3】（24-25八年级·江苏扬州·期中）已知a、b、c是△ABC的三边，关于x的方程cx2+m+bx2−m−2amx=0，当m>0时有两个相等的实数根，则△ABC的形状是 三角形．
【考点8 一元二次方程根与系数的关系】
【例8】（24-25八年级·四川内江·阶段练习）非零实数a，b满足a2−a−2023=0，b2−b−2023=0，则ba+ab的值是 ．
【变式8-1】（24-25八年级·山东济南·期中）硕硕和鹏鹏一起解一道一元二次方程题，硕硕看错了一次项系数，解得方程的两个根为2和−3，鹏鹏看错了常数项，解得方程的两个根为1和4．则原方程正确的解为（ ）
A．x1=2，x2=3B．x1=−6，x2=1
C．x1=6，x2=−1D．x1=−2，x2=−3
【变式8-2】（24-25八年级·福建福州·期中）已知a，b是方程x2+x−2025=0的两个实数根，则a2−b的值为 ．
【变式8-3】（24-25八年级·湖北武汉·期中）已知a，b是方程x2−x−1=0的两根，则代数式2a3+5a+3b3+3b+1的值是（ ）
A．19B．20C．14D．15
【考点9 一元二次方程的应用】
【例9】（2024·重庆开州·一模）某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务．
(1)求A型设备每小时铺设的路面长度；
(2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了m+25小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间增加了m小时，求m的值．
【变式9-1】（24-25八年级·江苏无锡·阶段练习）小明锻炼健身，从A地匀速步行到B地用时25分钟．若返回时，发现走一小路可使A、B两地间路程缩短200米，便抄小路以原速返回，结果比去时少用2.5分钟．
(1)求返回时A、B两地间的路程；
(2)若小明从A地步行到B地后，以跑步形式继续前进到C地（整个锻炼过程不休息）．据测试，在他整个锻炼过程的前30分钟（含第30分钟），步行平均每分钟消耗热量6卡路里，跑步平均每分钟消耗热量10卡路里；锻炼超过30分钟后，每多跑步1分钟，多跑的总时间内平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里．测试结果，在整个锻炼过程中小明共消耗904卡路里热量．问：小明从A地到C地共锻炼多少分钟．
【变式9-2】（24-25八年级·河南新乡·期中）某商店以每件40元的价格购进了一批热销商品，出售价格经过两个月的调整，从每件50元上涨到每件72元，此时每月可售出180件商品：
(1)求该商品价格的平均月增长率；
(2)因某些原因，商家需尽快将这批商品售出，决定降价出售，经过市场调查发现：售价每降低1元，每个月多卖出10件，则商家在降价的同时，为保证每月的利润达到6000元，应将售价定为多少元？
【变式9-3】（24-25八年级·江苏扬州·期中）某人工智能科技体验馆在十一假期间为学生们制订了丰富多彩的体验活动，团体票收费标准为：如果人数不超过10人，人均费用为240元；如果人数超过10人，每增加1人，人均费用降低5元，但人均旅游费用不得低于170元．
(1)若有14人参加旅游，人均费用是 元．
(2)某兴趣小组的学生们去参加体验活动，团体票的费用共3600元，求参加活动的学生人数．
【考点10 勾股定理与网格】
【例10】（24-25八年级·江苏淮安·期末）某班学生在劳动实践基地用一块正方形试验田种植苹果树，同学们将试验田分成7×7的正方形网格田，每个小正方形网格田的边长为1米，如图所示，为了布局美观及苹果树的健康成长，同学们要把苹果树种植在格点处（每个小正方形的顶点叫格点），且每两棵苹果树之间的距离都要大于2米，则这块试验田最多可种植 棵苹果树．
【变式10-1】（24-25八年级·山西临汾·期末）如图，在6×6的网格图中，每个小方格的边长为1，请在给定的网格中按下列要求画出图形．
(1)画一个三边长分别为4，5，13的三角形；
(2)画一个腰长为10的等腰直角三角形．
【变式10-2】（24-25八年级·河南驻马店·期末）如图，在边长为1的小正方形网格中，若△ABC和△BCD的顶点都在小正方形网格的格点上，则∠ACB+∠DBC=（ ）
A．45°B．75°C．120°D．135°
【变式10-3】（24-25八年级·安徽安庆·期末）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，△ABC的顶点A，B，C均在格点上．若AD⊥BC于点D，则线段AD的长为
【考点11 利用勾股定理求值】
【例11】（24-25八年级·浙江绍兴·期末）如图，在长方形ABCD中，AB=3，BC=4，将△ABC沿AC折叠，点B落在B′处，AD与B′C交于E，则CE的长为（ ）
A．134B．72C．258D．165
【变式11-1】（24-25八年级·江苏苏州·期末）勾股定理是数学史上的一颗玻璃珠．被誉为清代“历算第一名家”的名数学家梅文鼎先生（图①）在《梅氏丛书辑要》（由其孙子梅瑴成编纂）的“勾股举隅”卷中给出了多种勾股定理的证法．其中一种是在图②的基础上，运用“出入相补”原理完成的．在△ABC中，∠ACB=90°，四边形ABDE，ACFG，BCHI均为正方形，HI与AE相交于点J，可以证明点D在直线HI上．若△AHJ，△DEJ的面积分别为2和6，则直角边AC的长为（ ）
A．2B．3C．5D．2
【变式11-2】（24-25八年级·陕西西安·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC,BD交于点O．若AD=1,BC=4，则AB2+CD2= ．

【变式11-3】（24-25八年级·四川达州·期末）如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，BC=4，AE⊥CD，垂足为E，AE=CE，连接AC，若DE=5， AD=61．求：
(1)AC的长；
(2)四边形ABCD的面积．
【考点12 赵爽弦图】
【例12】（24-25八年级·江苏宿迁·期末）综合实践
我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了“赵爽弦图”．他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数恒等式，严密又直观，为中国古代“形数统一”、代数和几何紧密结合的独特风格树立了一个典范．在一节八上数学复习课上，老师为了弘扬中国的数学文化，和同学们开启对“赵爽弦图”的深度研究．
(1)类比“弦图”，证明定理
小明同学利用四张全等的直角三角形纸片（如图1），证明勾股定理．
因为大正方形的面积可以看成4个直角三角形与1个边长为b−a的小正方形组成，即面积表示为：4×12ab+b−a2=a2+b2，即a2+b2=c2，进而勾股定理得到了验证．
善于思考的小亮同学把一个直立的火柴盒放倒（如图2），聪明的他发现用不同的方法计算梯形ABCD的面积，也可证明勾股定理，请你和他一起证明．
(2)利用“弦图”，割拼图形
如图3，老师给出由5个小正方形组成的十字形纸板，让同学们尝试剪开，使得剪成的若干块能够拼成一个无缝的大正方形，可以怎么剪？请你画出示意图．
(3)构造“弦图”，应用计算
如图4，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°,AC=BC，点D是BC中点，过点C作CE⊥AD，垂足为点F，交AB于点E，若BE=3，求AB的长．
【变式12-1】（24-25八年级·江苏南京·期末）如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形MNPQ拼成的一个大正方形ABCD．连接AQ、BP、CN、DM．若正方形ABCD的面积为2a，阴影部分的面积为2b．则AN的长度为（ ）
A．a+bB．a2+b2C．a+bD．a2+b2
【变式12-2】（24-25八年级·四川成都·期末）如图1，将四个全等的直角三角形拼成了一个四边形ABEC，然后将前面四个全等的直角三角形拼成了一个大的正方形如图2，该正方形的面积为5；再将其四个全等的直角三角形拼成了图3形状，图3的外轮廓周长为4+45，则图1中的点C到AB的距离为 ．
【变式12-3】（24-25八年级·浙江金华·期末）图1是由5个全等的直角三角形与一个小正方形组成，延长DK交AB、AC分别于点M、N，延长EH交BD于点P（如图2）．
（1）若Rt△ABF的面积为5，小正方形FGHK的面积为9，则AB＝ ；
（2）如图2，若S四边形AEHNS四边形BMHP=k，则S四边形FGHKS四边形BCNK＝ （用含k的代数式表示）．
【考点13 勾股定理逆定理的应用】
【例13】（24-25八年级·黑龙江双鸭山·期末）两艘轮船从同一港口同时出发，甲船时速40海里，乙船时速30海里，两个小时后，两船相距100海里，已知甲船的航向为北偏东46°，则乙船的航向为（ ）
A．南偏东44°B．北偏西44°C．南偏东44°或北偏西44°D．无法确定
【变式13-1】（24-25八年级·黑龙江大庆·期末）笔直的河流一侧有一旅游地C，河边有两个漂流点A，B．其中AB=AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，为方便游客决定在河边新建一个漂流点H（A，H，B在同一直线上），并新修一条路CH，测得BC=5千米，CH=4千米，BH=3千米．则原路线AC＝ 千米．
【变式13-2】（24-25八年级·辽宁鞍山·期末）如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地ABCD，测得AB=9m，BC=12m，CD=8m，AD=17m，且∠ABC=90°，这块菜地的面积是（ ）

A．48m2B．114m2C．122m2D．158m2
【变式13-3】（24-25八年级·吉林四平·期末）如图①是超市的儿童玩具购物车，图②为其侧面简化示意图．测得支架AC=24cm，CB=18cm，两轮中心的距离AB=30cm．
(1)连接AB，则△ABC是__________三角形，请写出推理过程．
(2)点C到AB的距离是__________cm．
【考点14 勾股定理的应用】
【例14】（24-25八年级·四川成都·期中）四川的人民渠（利民渠、幸福渠、官渠堰）是都江堰扩灌工程之一，也是四川省建成的第一座大型水利工程，有“巴蜀新春第一渠”之称．现为扩建开挖某段干渠，如图，欲从干渠某处A向C地、D地、B地分流（点C，D，B位于同一条直线上），修三条笔直的支渠AC，AD，AB，且AC⊥BC；再从D地修了一条笔直的水渠DH与支渠AB在点H处连接，且水渠DH和支渠AB互相垂直，已知AC=6km，AB=10km，BD=5km．
(1)求支渠AD的长度．（结果保留根号）
(2)若修水渠DH每千米的费用是0.7万元，那么修完水渠DH需要多少万元？
【变式14-1】（24-25八年级·福建福州·期中）《九章算术》中“勾股”一章有记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它的顶端恰好到达池边的水面，求芦苇的长度．（1丈＝10尺）
解决下列问题：
（1）示意图中，线段AF的长为 尺，线段EF的长为 尺；
（2）求芦苇的长度．
【变式14-2】（24-25八年级·安徽阜阳·期中）超速行驶是引发交通事故的原因之一．上周末，小聪等三位同学在某路段尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l的距离为100m的点P处．这时，一辆轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3秒，并测得∠APO=60°，∠BPO=45°．
(1)求AB的距离，（3取1.73）
(2)试判断此车是否超过了80km/h的限制速度？
【变式14-3】（24-25八年级·安徽安庆·单元测试）由于大风，山坡上的一棵树甲被从点A处拦腰折断，如图所示，其树恰好落在另一棵树乙的根部C处，已知AB=4米，BC=13米，两棵树的株距（两棵树的水平距离）为12米，请你运用所学的知识求这棵树原来的高度．
【压轴篇】
【考点15 化简含字母的二次根式】
【例15】（24-25八年级·上海静安·期中）已知xy0D．a≤−2或a>0
【变式18-1】（2024·浙江绍兴·中考真题）若关于x的方程1−m2x2+2mx−1=0所有的根都是比1小的正数．则实数m的取值范围是 ．
【变式18-2】（24-25八年级·浙江金华·期中）若实数a，b满足12a−ab+b2+2=0，则a的取值范围是 （ ）．
A．a≤−2B．a≥4C．a≤−2或 a≥4D．−2≤a≤4
【变式18-3】（24-25八年级·安徽合肥·期末）已知关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有两个根x1，x2，且满足1