2025《初中数学•期中压轴易错题21大专题》八年级下册试题（含答案）(华师版)

这是一份2025《初中数学•期中压轴易错题21大专题》八年级下册试题（含答案）(华师版)，共99页。
【华东师大版2024】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc7273" 【易错篇】 PAGEREF _Tc7273 \h 1
\l "_Tc12144" 【考点1 分式及其基本性质】 PAGEREF _Tc12144 \h 1
\l "_Tc27589" 【考点2 分式的运算】 PAGEREF _Tc27589 \h 2
\l "_Tc23675" 【考点3 分式方程及其解法】 PAGEREF _Tc23675 \h 3
\l "_Tc18281" 【考点4 变量与函数】 PAGEREF _Tc18281 \h 3
\l "_Tc1250" 【考点5 函数的图象】 PAGEREF _Tc1250 \h 4
\l "_Tc29020" 【考点6 一次函数】 PAGEREF _Tc29020 \h 6
\l "_Tc7731" 【考点7 反比例函数】 PAGEREF _Tc7731 \h 7
\l "_Tc24075" 【考点8 与平行四边形有关的证明与计算】 PAGEREF _Tc24075 \h 8
\l "_Tc13270" 【压轴篇】 PAGEREF _Tc13270 \h 9
\l "_Tc31022" 【考点9 分式值为整数问题】 PAGEREF _Tc31022 \h 9
\l "_Tc233" 【考点10 利用分式性质求值】 PAGEREF _Tc233 \h 9
\l "_Tc7845" 【考点11 分式方程的解】 PAGEREF _Tc7845 \h 10
\l "_Tc12828" 【考点12 分式方程的应用】 PAGEREF _Tc12828 \h 10
\l "_Tc20322" 【考点13 根据情景确定函数图象】 PAGEREF _Tc20322 \h 12
\l "_Tc22394" 【考点14 一次函数与动点最值问题】 PAGEREF _Tc22394 \h 13
\l "_Tc10921" 【考点15 一次函数的应用】 PAGEREF _Tc10921 \h 15
\l "_Tc3373" 【考点16 反比例函数k的几何意义】 PAGEREF _Tc3373 \h 16
\l "_Tc13852" 【考点17 反比例函数与定值、最值问题】 PAGEREF _Tc13852 \h 18
\l "_Tc23499" 【考点18 反比例函数的应用】 PAGEREF _Tc23499 \h 19
\l "_Tc4985" 【考点19 平行四边形中边的关系运用】 PAGEREF _Tc4985 \h 21
\l "_Tc5040" 【考点20 平行四边形中的面积转换】 PAGEREF _Tc5040 \h 22
\l "_Tc30962" 【考点21 平行四边形中的角度转换】 PAGEREF _Tc30962 \h 23
【易错篇】
【考点1 分式及其基本性质】
【例1】（24-25八年级上·山东泰安·期末）下列分式中，属于最简分式的是（ ）
A．63xB．xx2C．x+yx2+y2D．a2−1a+1
【变式1-1】（24-25八年级上·云南昆明·期末）把分式2x−3yx+y中的x，y的值都扩大为原来的4倍，则分式的值（ ）
A．扩大为原来的4倍 B．扩大为原来的8倍 C．缩小为原来的14 D．不变
【变式1-2】（24-25八年级上·河南新乡·期末）已知分式x+2a4x−b，当x=1时，分式没有意义；当x=6时，分式的值为零．则a2−b2的值为 ．
【变式1-3】（21-22八年级上·重庆·期末）已知1x+1y=6，则5x+2xy+5yx−2xy+y的值为 ．
【考点2 分式的运算】
【例2】（24-25八年级上·四川绵阳·期末）如果a>1，那么式子5a−12与5a2−1的大小关系是（ ）
A．5a−12>5a2−1B．5a−12−1C．x≠1D．x≠0
【变式4-1】长方形的周长为24厘米，假设其中一边长为x厘米（其中x>0），面积为y平方厘米，则这样的长方形中y与x的关系式可以写为（ ）
A．y=x2B．y=(12−x)2C．y=x(12−x)D．y=2(12−x)
【变式4-2】嘉琪的爸爸到单位附近的加油站加油，如图是他所用加油机上的数据显示牌，则数据中的变量是（ ）
A．金额B．数量C．单价D．金额和数量
【变式4-3】一个学习小组利用同一块木板，测量了小车从不同高度下滑的时间，他们得到如表数据：
下列说法正确的是（ ）
A．当ℎ=70cm时，t=1.50sB．h每增加10cm，t减小1.23s
C．随着h逐渐升高，t也逐渐变大D．随着h逐渐升高，小车下滑的平均速度逐渐加快
【考点5 函数的图象】
【例5】（24-25九年级下·河南信阳·期末）如图，正方形ABCD的边长为4，P从顶点D出发沿正方形的边运动，路线是D→C→B→A，设点P经过的路程为x，△APD的面积是y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（ ）
B．
C． D．
【变式5-1】（24-25八年级上·江苏盐城·期末）一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发，沿相同路线匀速驶向乙地．已知甲、乙两地相距150km，如图，OE，CD分别表示货车、轿车离甲地的距离s(km)与货车出发时间t(h)之间的对应关系．根据图象信息，下列说法不正确的是（ ）
A．轿车的速度为100km/hB．轿车出发1h后，两车相距10km
C．轿车比货车早到乙地0.5hD．轿车出发1.25h后追上货车
【变式5-2】（24-25八年级上·安徽合肥·期末）某物理学习小组探究甲、乙、丙、丁四种物质的密度，将测量结果数据绘制成如图所示的图象，则四种物质中密度最大的是 ．
【变式5-3】（24-25八年级上·浙江温州·期末）小温的家、图书馆、学校依次在同一直线上，他从学校出发匀速步行10分钟走了500米到图书馆，停留3分钟后再匀速步行5分钟走了300米到家．设小温离家的距离为s（米），所用时间为t（分钟），则下列图象中，能近似刻画s与t之间关系的是（ ）
A．B．
C．D．
【考点6 一次函数】
【例6】（24-25七年级上·山东泰安·期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A0,4，B−3,−1，C3,0，边AB交x轴于D点，则D点的坐标为（ ）
A．−512,0B．−2,0C．−125,0D．−1,0
【变式6-1】（24-25八年级上·甘肃兰州·期末）将直线y=−2x+4平移得到直线y=−2x，则移动方法为（ ）
A．向左平移4个单位B．向右平移4个单位
C．向上平移4个单位D．向下平移4个单位
【变式6-2】（24-25八年级上·安徽亳州·期末）已知一次函数y=k−1x+2k−4k≠0．
(1)若函数值y随x的增大而增大，求k的取值范围；
(2)若一次函数的图象经过点−5,3，求k的值．
【变式6-3】（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）一次函数y=kx−k+2（k为常数，且k≠0）．
(1)若点−1,3在一次函数y=kx−k+2的图象上，
①求k的值；
②设P=y+x，则当−2≤x≤5时，求P的最大值．
(2)若当m−3≤x≤m时，函数有最大值M，最小值N，且M−N=6，求此时一次函数y的表达式．
【考点7 反比例函数】
【例7】（24-25九年级上·四川达州·期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=kx在第二象限的图象交于点A−1,n，与x轴交于点B2,0,AB=32，连结AO并延长交这个反比例函数第四象限的图象于点C．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式．
(2)求△ABC的面积．
【变式7-1】（24-25九年级上·四川达州·期末）如图，是反比例函数y=k1x和y=k2xk10,x>0)的图象上，若OB=2OC=4,OD=5，则k的值为 ．
【变式7-3】（24-25九年级上·山东潍坊·期末）如图，曲线AB是顶点为B，且与y轴交于点A的抛物线y=−x2+4x+2的一部分，曲线BC是双曲线y=kx的一部分，由点C开始不断重复“A-B-C”的过程，形成一组波浪线，点P2024,m与Q2025,n均在该波浪线上，则mn= ．
【考点8 与平行四边形有关的证明与计算】
【例8】（24-25八年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列不能判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（ ）
A．AO=OC，OB=ODB．∠ABC=∠ADC，AD∥BC
C．AB=DC，AD∥BCD．AB=DC，AD=BC
【变式8-1】（24-25八年级·河南商丘·期中）如图1，AB∥CD，P为AC的中点，点E为射线AB上的任意一点（不与点A重合），连接EP，并使EP的延长线交射线CD于点F．
(1)求证：△APE≌△CPF；
(2)如图2，连接EC、AF，是否有EC∥AF，如不是，请说明理由，如果是，请证明．
【变式8-2】（24-25八年级·西藏拉萨·期中）如图，在平行四边形ABCD中，∠C=40°，过点D作CB的垂线，交AB于点E，交CB的延长线于点F，则∠BEF的度数为 ．
【变式8-3】（24-25八年级·河南漯河·期中）如图，△ABC中，D是AB边上任意一点，F是AC中点，过点C作CE∥AB交DF的延长线于点E，连接AE，CD．

(1)求证：四边形ADCE是平行四边形；
(2)若∠B=30°，∠CAB=45°，AC=6，求AB的长．
【压轴篇】
【考点9 分式值为整数问题】
【例9】（24-25八年级上·山东烟台·期末）若x为整数，则使x2−9x2÷x−3x的值为整数的x有 个．
【变式9-1】（24-25八年级·北京石景山·期末）当分式62x−3的值为正整数时，整数x的取值可能有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【变式9-2】（24-25八年级上·湖南长沙·期末）若x2−5x+4x−3的值为整数，则符合要求的整数x的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式9-3】（24-25八年级上·重庆丰都·期末）若一个四位数满足百位数字和十位数字相同，千位数字与个位数字之和为7，这样的数称为“两同和七数”．已知M为一个“两同和七数”，且M可以被9整除．则满足条件M的最大值是 ．将M的各个数位数字之和记为PM，M的个位数字与千位数字的差记为QM，并令GM=PMQM，当GM是整数时，则满足条件M的最小值是 ．
【考点10 利用分式性质求值】
【例10】（24-25八年级下·浙江宁波·开学考试）已知xa+yb+zc=1，ax+by+cz=0，则x2a2+y2b2+z2c2的值为 ．
【变式10-1】（24-25七年级上·上海·阶段练习）已知三个数x，y，z满足xyx+y=−2，zyz+y=34，zxz+x=−34，则xyzxy+yz+zx的值为 ．
【变式10-2】（20-21七年级下·浙江金华·期末）任意两个和不为零的数a、b、c满足ab+c=ba+c=ca+b，求a+bb+ca+cabc的值 ．
【变式10-3】（24-25八年级上·浙江温州·期末）若abc=1，a+b+c=2，a2+b2+c2=3，则1ab+c−1+1bc+a−1+1ca+b−1的值为（ ）
A．−23B．−13C．23D．13
【考点11 分式方程的解】
【例11】（24-25八年级上·黑龙江绥化·期末）若关于y的不等式组y−1≥4my−m2≤2m+3有解，且关于x的分式方程mxx−3=1+2x+33−x有非负整数解，则符合条件的所有整数m的和为（ ）
A．−16B．−13C．−9D．−6
【变式11-1】（24-25八年级上·山东泰安·期末）若关于x的分式方程mx−2=x+1x−2−3有增根，则m的值是（ ）
A．3B．1C．−3D．−1
【变式11-2】（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）已知点A，B在数轴上所对应的数分别为mx−6，x+46−x，无论x取何值，A，B两点都不可能关于原点对称，则m的值为（ ）
A．6B．8C．10D．12
【变式11-3】（2022·重庆·中考真题）关于x的分式方程3x−ax−3+x+13−x=1的解为正数，且关于y的不等式组y+9≤2(y+2)2y−a3>1的解集为y≥5，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．13B．15C．18D．20
【考点12 分式方程的应用】
【例12】（24-25八年级上·山东泰安·期末）中华优秀传统文化源远流长、是中华文明的智慧结晶．《孙子算经》、《周髀算经》是我国古代较为普及的算书、许多问题浅显有趣．某书店的《孙子算经》单价是《周髀算经》单价的34，用600元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买5本．
(1)求两种图书的单价分别为多少元？
(2)为筹备数学节活动，某校计划到该书店购买这两种图书共80本，且购买的《周髀算经》数量不少于《孙子算经》数量的一半．由于购买量大，书店打折优惠，两种图书均按八折出售．求两种图书分别购买多少本时费用最少？最少费用为多少元？
【变式12-1】（24-25八年级上·广西玉林·期末）某中学为了践行劳动课程标准和让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动．据调查：每捆A种菜苗，在市场上购买的价格是在菜苗基地处购买的1.5倍，用900元在市场上购买的A种菜苗数量比在菜苗基地购买数量的一半要多5捆．
(1)求菜苗基地每捆A种菜苗的价格．
(2)菜苗基地每捆B种菜苗的价格是35元，学校预计用不多于2140元的资金在菜苗基地购买A，B两种菜苗共80捆，同时菜苗基地为支持该校活动，对A，B两种菜苗均提供八折优惠．求至少可购买A种菜苗多少捆？
【变式12-2】某市为了做好“全国文明城市”验收工作，计划对市区S米长的道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队进行施工．
（1）已知甲工程队改造360米的道路与乙工程队改造300米的道路所用时间相同．若甲工程队每天比乙工程队多改造30米，求甲、乙两工程队每天改造道路的长度各是多少米．
（2）若甲工程队每天可以改造a米道路，乙工程队每天可以改造b米道路，（其中a≠b）．现在有两种施工改造方案：
方案一：前12S米的道路由甲工程队改造，后12S米的道路由乙工程队改造；
方案二：完成整个道路改造前一半时间由甲工程队改造，后一半时间由乙工程队改造．
根据上述描述，请你判断哪种改造方案所用时间少？并说明理由．
【变式12-3】（24-25八年级上·浙江台州·期末）为了推进五育并举，促进学生全面发展，各校积极建设劳动实践基地．某校有一块长方形劳动实践基地，长为2a−2m，宽为am（a>6）．
(1)去年实践基地收获500kg蔬菜，该校安排甲乙两组志愿者进行采摘．已知甲组每分钟采摘速度是乙组的2倍，而甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟．求甲、乙两组每分钟各采摘多少千克的蔬菜？
(2)今年从该基地中截取出一个边长为am的正方形地块，用来种植A类蔬菜，而剩余土地用来种植B类蔬菜，最终收获A类蔬菜300kg，B类蔬菜200kg．哪类蔬菜的单位面积产量大？请说明理由．
(3)该校打算将原劳动基地进行扩建，计划将长增加14m，宽增加am，若扩建后的长方形基地面积是原来的整数倍，求整数a的值．
【考点13 根据情景确定函数图象】
【例13】（24-25八年级上·山东济南·期末）坎儿井是新疆吐鲁番盆地的一种特殊灌溉系统，主要是利用了连通器原理．如图是一个H型连通器模型，甲水箱、乙水箱是两个等高的圆柱体，甲水箱的底面面积是乙水箱底面面积的2倍，连接管在两个水箱的中间处（体积忽略不计），现用水管往甲水箱中持续匀速注水，直到连通器中水恰好不溢出为止．设甲水箱中水面的高度为y，注水时间为t，则y与t的函数图象大致为（ ）

A． B．
C． D．
【变式13-1】（23-24七年级下·贵州毕节·期中）如图，一辆货车匀速通过一条隧道（隧道长大于货车长），从货车头刚进入隧道开始，货车在隧道内的长度与行驶的时间之间的关系用图象描述大致是（ ）
A．B．
C．D．
【变式13-2】（2024·四川凉山·中考真题）匀速地向如图所示的容器内注水，直到把容器注满．在注水过程中，容器内水面高度ℎ随时间t变化的大致图象是（ ）
A．B．C．D．
【变式13-3】（24-25八年级下·广东东莞·期末）某蓄水池的横断面示意图如图所示，分深水区和浅水区，如果以固定的流量把水蓄满蓄水池，下面的图像能大致表示水的深度h和注水时间t之间关系的是（ ）
A．B．
C．D．
【考点14 一次函数与动点最值问题】
【例14】（24-25八年级上·安徽宿州·期末）如图，已知点A的坐标为2,2，点B的坐标为0,−1，点C在直线y=−x上运动，当CA+CB最小时，点C的坐标为（ ）
A．25,−25B．1,1C．−25,25D．1,−1
【变式14-1】（24-25八年级上·江苏镇江·期末）如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为0,−1，直线y=−43x+4与x轴、y轴分别交于点A、B，P是直线AB上的一个动点，则PC长的最小值为 ．
【变式14-2】如图，点A的坐标为(−2,0)，直线y=x−5与x轴交于点B，与y轴交于点C，点D在直线y=x−5上运动，当线段AD取得最小值时，点D的坐标为（ ）
A．(32,−72)B．(2,−2)C．(1,−73)D．(0,−4)
【变式14-3】（24-25八年级上·河南驻马店·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线AB:y=12x+3与x轴交于点A，点B2,m在第一象限，线段AB上有一点Cn,2，点P为x轴上一动点，连接PB，PC，当PB+PC的值最小时，点P的坐标为 ，此时PB+PC的最小值为 ．
【考点15 一次函数的应用】
【例15】（24-25八年级上·河北保定·期末）一条公路旁分别分依次有A，B，C三个村庄，甲、乙两人骑自行车分别从A村、B村同时出发前往C村，到达目的地C村停止运动，甲、乙之间的距离skm与骑行时间th之间的函数关系如图所示．
(1)A，B两村相距________km；
(2)求甲、乙两人骑自行车的速度；
(3)求相遇后，乙又骑行多长时间，两人恰好相距4km？
【变式15-1】（24-25八年级上·浙江杭州·期末）一辆大客车和一辆小轿车沿同一公路同时从甲地出发去乙地，图中折线O−A −B−C和线段OD分别表示小轿车和大客车离开甲地的路程Skm与时间th的关系，其中小轿车往返的速度相同．请结合图象解答下列问题：
(1)分别求出小轿车和大客车速度；
(2)点P为BC与OD的交点，试求点P的坐标，并说明点P所表示的实际意义；
(3)求出发后经过多少小时两车相距10 km？
【变式15-2】（24-25八年级上·江西上饶·阶段练习）某商店销售A、B两种型号的打印机，销售3台A型和2台B型打印机的利润和为560元，销售1台A型和4台B型打印机的利润和为720元．
(1)求每台A型和B型打印机的销售利润：
(2)商店计划购进A、B两种型号的打印机共120台，其中A型打印机数量不少于B型打印机数量的一半，设购进A型打印机a台，这120台打印机的销售总利润为W元，求该商店购进A、B两种型号的打印机各多少台，才能使销售总利润最大？
(3)在（2）的条件下，厂家为了给商家优惠让利，将A型打印机的出厂价下调m元00的图象上，点C，D在反比例函数y=kxk>0的图象上，AC∥BD∥y轴，已知点A，B的横坐标分别为1，2，△OAC与△ABD的面积之和为32，则k的值为 ．
【考点17 反比例函数与定值、最值问题】
【例17】（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，点A(a,1),B(−1,b)都在双曲线y=−3x(x0于点D，过点D 分别作x轴、y轴的垂线DC、DE，垂足分别为C、E，连接OD．
(1)求证：AD平分∠CDE；
(2)对于任意非零的实数b，求证：AD·BD为定值，并求出该定值.
【变式17-2】（22-23九年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，已知△ABC位于第一象限，点A，B，C的坐标分别为1,1，2,1，1,5．若双曲线y=kxk≠0与△ABC有交点，则k的最大值是（ ）
A．1B．2C．5D．8116
【变式17-3】（24-25九年级上·四川成都·期末）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y=−2x+b与反比例函数y=kx的图象交于A−4,2、B两点，C为第二象限内反比例函数图象上的点，且C点在A点右侧．
(1)求反比例函数的表达式及点B的坐标；
(2)连接AC、BC，当△ABC的面积为30时，求点C的坐标；
(3)如图2，在（2）的条件下，D为第四象限内反比例函数y=kx的图象上一动点，连接AD，CD分别与x轴，y轴交于点M、N、P、Q，PQMN是否是定值？如果是定值，请求出定值；如果不是，请说明理由．
【考点18 反比例函数的应用】
【例18】（2024八年级下·江苏·专题练习）为了预防H1N1甲型流感，某校对教室采取喷洒药物消毒，在对某教室进行消毒的过程中，先经过5分钟的集中药物喷洒，再封闭教室10分钟，然后打开门窗进行通风，室内每立方米空气中含药量y(mg/m3)与药物在空气中的持续时间x（分钟）之间的函数关系，在药物喷洒和封闭教室期间，y与x均满足一次函数的关系，在打开门窗通风后y与x满足反比例函数的关系，如图所示．
(1)研究表明，室内空气中的含药量低于3mg/m3时方可进入教室，从封闭教室开始，至少经过多少分钟后学生方可返回教室？
(2)当室内空气中的含药量不低于6mg/m3且持续时间不低于15分钟时，才能完全有效杀灭流感病毒．试通过分析判断此次消毒是否完全有效？
【变式18-1】学校的自动饮水机，开机加热时水温每分钟上升10°C，加热到100°C时，停止加热，水温开始下降．此时水温y°C与通电时间xmin成反比例，当水温降至30°C时，饮水机再自动加热．若水温在30°C时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．水温从30°C加热到100°C时，需要7min
B．水温不低于30°C的时间为25min
C．水温从100°C降至30°C，所需时间为15min
D．水温下降过程中，y与x的函数关系式是y=400x
【变式18-2】（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）教室里的饮水机接通电源，就进入自动程序，开机加热时每分钟上升7℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温y℃与开机后用时xmin成反比例关系，直至水温降至30℃，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序，若在水温为30℃时，接通电源后，水温y℃和时间xmin的关系如图．
(1)直线AB的函数关系式为______．
(2)①如图，t的值为______；
②饮水机第一次关机前，当水温达到60℃以上时，则x的取值范围为______．
(3)为了在上午第三节下课时（10：40）能喝到不超过50℃的水，则接通电源的时间可以是当天上午的7：30吗？说明理由．
【变式18-3】（22-23九年级上·河南郑州·期中）某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y（℃）与时间x（h）之间的函数关系，其中线段AB，BC表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题：
(1)求y与x（10≤x≤24）的函数表达式；
(2)大棚里栽培的一种蔬菜在温度为12℃到20℃的条件下最适合生长，若某天恒温系统开启前的温度是10℃，那么这种蔬菜一天内最适合生长的时间有多长？
(3)若大棚内的温度低于10℃时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多长时间，才能使蔬菜避免受到伤害？
【考点19 平行四边形中边的关系运用】
【例19】（24-25八年级上·四川绵阳·期末）如图，在四边形ABCD中，CD∥AB，AM平分∠BAD交BC于中点M，点N在边AB上，且CN∥AD，若BN=2AN，AB=6，则AD=（ ）
A．8B．7C．6D．5
【变式19-1】（24-25八年级下·山东德州·阶段练习）小宇利用尺规在▱ABCD内作出点E，又在BC边上作出点F，作图痕迹如图所示，若EF=2，则AB，CD之间的距离为（ ）
A．2B．22C．4D．23
【变式19-2】（24-25八年级下·江西南昌·阶段练习）如图，已知平行四边形中AD=5,AB=6，E为AB的中点，DE⊥AB，F为CE的中点，AF与DE相交于点G，则GF的长等于 ．
【变式19-3】如图，在▱ABCD中，E、F分别是AB、CD上的点，G、H分别是AC的三等分点，GE∥BC，HF∥AD．
(1)求证：△AEG≌△CFH；
(2)若EG=2,∠D=60°,∠BAC=45°，求CF的长．
【考点20 平行四边形中的面积转换】
【例20】（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）如图，将三角形BDE沿直线BA向左平移后，到达三角形ABC的位置，若三角形ABC的面积为10，则四边形ADEC的面积= ．
【变式20-1】（2025·广东清远·一模）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，EF过点O，交AD于点F，交BC于点E．若AB=3，AC=4，AD=5，则图中阴影部分的面积是（ ）

A．1.5B．3C．6D．4
【变式20-2】（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）已知：如图，在▱ABCD中，E，F分别是AB和CD的中点．
(1)求证：四边形AECF是平行四边形；
(2)已知AB⊥EC，AB=6，BC=5，求四边形AECF的面积．
【变式20-3】（24-25九年级下·山东枣庄·阶段练习）如图，以▱ABCD的顶点B为圆心，AB长为半径画弧，交BC于点E，再分别以点A，E为圆心，大于12AE的长为半径画弧，两弧交于点F，画射线BF，交AD于点G，交CD的延长线于点H．
(1)求证：CB=CH；
(2)若AB=4，AG=2GD，∠ABC=60°，求△BCH的面积．
【考点21 平行四边形中的角度转换】
【例21】（21-22九年级上·浙江台州·期末）如图，在平行四边形 ABCD 中，∠D=100°，AC 为对角线，将△ACD 绕点 A 顺时针旋转一定的角度后得到△AEF，使点 D 的对应点 E 落在边 AB 上，若点 C 的对应点 F 落在边CB 的延长线上，则∠EFB 的度数为 ．
【变式21-1】（24-25九年级下·四川巴中·阶段练习）如图，在▱ABCD中，BE⊥AB交对角线AC于点E．若∠2=135°，则∠1的度数为（ ）
A．55°B．50°C．45°D．40°
【变式21-2】（24-25八年级下·江苏连云港·阶段练习）如图，AC是平行四边形ABCD的对角线，点E在AC上，AD=AE=BE，∠BAC=17°，则∠ADC= °．
【变式21-3】如图，以▱ABCD的边AB、AD分别为边作等边三角形ABE和等边三角形ADF，连接CE、CF．
(1)证明CE=CF；
(2)求∠ECF的度数．
期中易错题压轴题专项复习【21大题型】
（考试范围：第16~18章）
【华东师大版2024】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc7273" 【易错篇】 PAGEREF _Tc7273 \h 1
\l "_Tc12144" 【考点1 分式及其基本性质】 PAGEREF _Tc12144 \h 1
\l "_Tc27589" 【考点2 分式的运算】 PAGEREF _Tc27589 \h 3
\l "_Tc23675" 【考点3 分式方程及其解法】 PAGEREF _Tc23675 \h 6
\l "_Tc18281" 【考点4 变量与函数】 PAGEREF _Tc18281 \h 9
\l "_Tc1250" 【考点5 函数的图象】 PAGEREF _Tc1250 \h 11
\l "_Tc29020" 【考点6 一次函数】 PAGEREF _Tc29020 \h 14
\l "_Tc7731" 【考点7 反比例函数】 PAGEREF _Tc7731 \h 17
\l "_Tc24075" 【考点8 与平行四边形有关的证明与计算】 PAGEREF _Tc24075 \h 21
\l "_Tc13270" 【压轴篇】 PAGEREF _Tc13270 \h 24
\l "_Tc31022" 【考点9 分式值为整数问题】 PAGEREF _Tc31022 \h 24
\l "_Tc233" 【考点10 利用分式性质求值】 PAGEREF _Tc233 \h 27
\l "_Tc7845" 【考点11 分式方程的解】 PAGEREF _Tc7845 \h 30
\l "_Tc12828" 【考点12 分式方程的应用】 PAGEREF _Tc12828 \h 32
\l "_Tc20322" 【考点13 根据情景确定函数图象】 PAGEREF _Tc20322 \h 37
\l "_Tc22394" 【考点14 一次函数与动点最值问题】 PAGEREF _Tc22394 \h 40
\l "_Tc10921" 【考点15 一次函数的应用】 PAGEREF _Tc10921 \h 46
\l "_Tc3373" 【考点16 反比例函数k的几何意义】 PAGEREF _Tc3373 \h 53
\l "_Tc13852" 【考点17 反比例函数与定值、最值问题】 PAGEREF _Tc13852 \h 56
\l "_Tc23499" 【考点18 反比例函数的应用】 PAGEREF _Tc23499 \h 62
\l "_Tc4985" 【考点19 平行四边形中边的关系运用】 PAGEREF _Tc4985 \h 69
\l "_Tc5040" 【考点20 平行四边形中的面积转换】 PAGEREF _Tc5040 \h 74
\l "_Tc30962" 【考点21 平行四边形中的角度转换】 PAGEREF _Tc30962 \h 78
【易错篇】
【考点1 分式及其基本性质】
【例1】（24-25八年级上·山东泰安·期末）下列分式中，属于最简分式的是（ ）
A．63xB．xx2C．x+yx2+y2D．a2−1a+1
【答案】C
【分析】本题主要考查最简分式的定义，熟练掌握最简分式的定义是解题的关键．根据最简分数的定义进行判定即可．
【详解】解：63x=2x，故选项A不符合题意；
xx2=1x，故选项B不符合题意；
x+yx2+y2是最简分式，故选项C符合题意；
a2−1a+1=(a+1)(a−1)a+1=a−1，故选项D不符合题意；
故选C．
【变式1-1】（24-25八年级上·云南昆明·期末）把分式2x−3yx+y中的x，y的值都扩大为原来的4倍，则分式的值（ ）
A．扩大为原来的4倍 B．扩大为原来的8倍 C．缩小为原来的14 D．不变
【答案】D
【分析】本题考查分式的基本性质，熟练掌握其性质是解题的关键．
利用分式的基本性质计算即可．
【详解】解：把分式2x−3yx+y中的x，y的值都扩大为原来的4倍可得4（2x−3y）4（x+y）=2x−3yx+y，
即该分式的值不变，
故选：D．
【变式1-2】（24-25八年级上·河南新乡·期末）已知分式x+2a4x−b，当x=1时，分式没有意义；当x=6时，分式的值为零．则a2−b2的值为 ．
【答案】−7
【分析】本题考查分式的性质，熟练掌握分式有意义和分式的值为零的条件是解题的关键，根据分式没有意义，可得4−b=0，再由分式的值为零，可得6+2a=0,从而得到a、b的值，代入即可得到答案．
【详解】解：∵x=1时，分式没有意义，
∴4−b=0
∴b=4.
∵x=6时，分式的值为零，
∴6+2a=0,
∴a=−3.
∴a2−b2=−32−42=−7．
【变式1-3】（21-22八年级上·重庆·期末）已知1x+1y=6，则5x+2xy+5yx−2xy+y的值为 ．
【答案】8
【分析】由1x+1y=6可得x+y=6xy，再将x+y=6xy整体代入5x+2xy+5yx−2xy+y化简即可求解．
【详解】解：因为1x+1y=6，
所以x+yxy=6，
所以x+y=6xy，
所以5x+2xy+5yx−2xy+y=5x+y+2xyx+y−2xy=5×6xy+2xy6xy−2xy=32xy4xy=8．
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查分式化简求值，解决本题的关键是要熟练掌握整体代入方法．
【考点2 分式的运算】
【例2】（24-25八年级上·四川绵阳·期末）如果a>1，那么式子5a−12与5a2−1的大小关系是（ ）
A．5a−12>5a2−1B．5a−121，
∴a−12>0，a2−1>0，10a−10>0，
∴10a−10a−12a2−1>0，
∴5a−12−5a2−1>0，
∴5a−12>5a2−1，
故选：A．
【变式2-1】（24-25八年级上·内蒙古乌兰察布·期末）美琪在做数学作业时，不小心将式子中除号后面的式子污染，即4−x23x2−2xy÷■，通过查看答案，得知答案为x+23x−2y，则被污染的式子为（ ）
A．2x+2B．x−2xC．2−xxD．x+12x−1
【答案】C
【分析】本题考查了利用平方差公式、提公因式法进行因式分解，分式的化简．熟练掌握利用平方差公式，提公因式法进行因式分解，分式的化简是解题的关键．
利用平方差公式、提公因式法进行因式分解，然后进行分式的除法运算可得化简结果．
【详解】解：由题意知，4−x23x2−2xy÷x+23x−2y
=2−x2+xx3x−2y⋅3x−2yx+2
=2−xx
被污染的代数式为2−xx，
故选：C．
【变式2-2】（24-25八年级上·山西吕梁·期末）下面是小颖同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
3aa−2−aa+2⋅a2−4a
=3aa−2⋅a2−4a−aa+2⋅a2−4a…………第一步
=3aa−2⋅a+2a−2a−aa+2⋅a+2a−2a…………第二步
=3a+2−a−2…………第三步
=3a+6−a−2…………第四步
=2a+4…………第五步
任务一：
填空：
①以上化简步骤中，第一步是依据______（填运算律）进行变形的；
②第三步是进行分式的约分，约分的依据是 ；
③第______步开始出现错误，这一步错误的原因是 ；
④请直接写出该分式化简后的正确结果 ．
任务二：请写出分式化简的注意事项（至少写一条）．
【答案】任务一：①乘法分配律；②分式的基本性质；③四，括号前面是“−”，去掉括号时，没有给−2变号；④ 2a+8；任务二：结果要化成最简分式；注意去括号时括号前面是“−”时，去括号，里面的每一项都要变号（答案不唯一）．
【分析】任务一：①根据乘法分配律即可求解；
②根据分式的基本性质即可求解；
③根据去括号法则即可求解；
④根据去括号、平方差公式化解、分式分子分母同乘除不为零的数分式不变等知识点运算即可；
任务二：写出合理注意事项即可；
本题主要考查了分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及分式的基本性质．
【详解】解：任务一：①以上化简步骤中，第一步是依据乘法分配律进行变形的，
故答案为：乘法分配律；
②第三步是进行分式的约分，约分的依据是分式的基本性质，
故答案为：分式的基本性质；
③第四步开始出现错误，这一步错误的原因是括号前面是“−”，去掉括号时，没有给−2变号，
故答案为：四，括号前面是“−”，去掉括号时，没有给−2变号；
④ 3aa−2−aa+2⋅a2−4a
=3aa−2⋅a2−4a−aa+2⋅a2−4a
=3aa−2⋅a+2a−2a−aa+2⋅a+2a−2a
=3a+2−a−2…………第三步
=3a+6−a+2
=2a+8
故答案为：2a+8；
任务二：分式化简的注意事项：结果要化成最简分式；注意去括号时括号前面是“−”时，去括号，里面的每一项都要变号（答案不唯一）．
【变式2-3】（24-25八年级上·重庆·期末）两地相距n千米，提速前火车从一地到另一地要用t小时，提速后行车时间减少了1小时，提速后火车比原来速度快了 千米/小时．(结果化为最简形式)
【答案】nt2−t
【分析】本题主要考查了分式加减运算的应用、列代数式等知识点，掌握整式的加减运算法则成为解题的关键．
先根据题意表示出提速前后火车的速度，然后作差并运算即可解答．
【详解】解：由题意可得：
提速前火车速度为：nt，提速前火车速度为：nt−1，
提速后火车比原来速度快了nt−1−nt=nttt−1−nt−1tt−1=nt−nt−ntt−1=ntt−1=nt2−t．
故答案为：nt2−t．
【考点3 分式方程及其解法】
【例3】（24-25八年级上·河南安阳·期末）观察规律：1−122=1−121+12=12×32=34，1−1221−132=1−121+121−131+13=12×32×23×43=23，1−1221−1321−142=12×32×23×43×34×54=58……若1−1221−1321−142⋯1−1n2=10132025（n为正整数），则n的值为（ ）
A．2023B．2024C．2025D．2026
【答案】C
【分析】本题考查了利用平方差公式的规律类运算，理解规律和掌握平方差公式是解题关键.
根据题目中式子的特点，利用平方差公式分解因式，然后约分即可求得答案.
【详解】∵1−1221−1321−142⋯1−1n2=10132025
∴1−121+121−131+131−141+14⋯1−1n1+1n=10132025
∴12×32×23×43×34×54×⋯n−1n×n+1n=10132025
∴12×n+1n=10132025
解得：n=2025
经检验，n=2025是分式方程的解，
故选：C．
【变式3-1】（24-25八年级上·甘肃陇南·期末）已知关于x的分式方程3x=2x−k的解是x=6，则k的值为 ．
【答案】2
【分析】本题考查了分式方程求解，解决本题的灌浆是将x的值代入方程，列出关于k的方程．
根据题意，将x=6代入分式方程，关于k的方程3×6−k=12，求出k=2即可.
【详解】解：将x=6代入分式方程3x=2x−k可得：
36=26−k，
∴3×6−k=12，
解得k=2
故答案为：2
【变式3-2】（24-25八年级上·河北保定·期末）“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程”这是我国古代著名数学家刘徽在《九章算术》对方程一词给出的注释．我们有如下两个约定：
（I）方程的整数解称之为“暖根”；
（II）若两个方程存在一个相同的解，则称这两个方程为“同源方程”．
已知一元一次方程3x+2=2x+2−1①与分式方程x+1x−1−4x2−1=1②：
(1)方程①有“暖根”吗？
(2)方程②有“暖根”吗？
(3)它们是“同源方程”吗？_______填（是或不是）
【答案】(1)有
(2)没有
(3)不是
【分析】（1）求出方程①的解，再根据“暖根”的定义即可判断；
（2）求出方程②的解，再根据“暖根”的定义即可判断；
（3）由（1）、（2）的结果及“同源方程”的定义即可判断；
本题考查了方程的解，解一元一次方程，解分式方程，理解定义是解题的关键．
【详解】（1）解：3x+2=2x+2−1，
去括号，得3x+2=2x+4−1，
移项，得3x−2x=4−1−2，
合并同类项，得x=1，
∴方程方程①有“暖根”；
（2）解：x+1x−1−4x2−1=1，
方程两边乘以x2−1，得x+12−4=x2−1，
解得x=1，
检验：当x=1时，x2−1=0，
∴x=1是原方程的增根，
∴原方程无解，
∴方程②没有“暖根”；
（3）解：由（1）、（2）可知，方程①②不是“同源方程”，
故答案为：不是．
【变式3-3】（24-25八年级上·湖南娄底·期末）对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号maxa,b表示a，b中的较大值，如：max1,3=3，按照这个规定，方程max1x,−1x=34−x的解为（ ）
A．1B．−2C．1或−2D．1或2
【答案】C
【分析】本题考查了新定义、解分式方程，分两种情况：当1x>−1x时，当1x−1x时，1x=34−x，
解得：x=1，
经检验，x=1是分式方程的解；
当1x−1C．x≠1D．x≠0
【答案】A
【分析】本题考查了自变量和函数值：求自变量的取值范围以及分式有意义，根据y=1x+1得出x+1≠0，解得x≠−1，即可作答．
【详解】解：∵y=1x+1，
∴x+1≠0，
∴x≠−1，
故选：A．
【变式4-1】长方形的周长为24厘米，假设其中一边长为x厘米（其中x>0），面积为y平方厘米，则这样的长方形中y与x的关系式可以写为（ ）
A．y=x2B．y=(12−x)2C．y=x(12−x)D．y=2(12−x)
【答案】C
【分析】本题考查了函数的解析式，理解题意，正确列出函数关系式是解题的关键．由长方形的周长为24厘米，假设其中一边长为x厘米，可得另一边长为12−x厘米，再利用长方形的面积公式即可解答．
【详解】解：∵长方形的周长为24厘米，假设其中一边长为x厘米，
∴长方形的另一边长为24÷2−x=12−x厘米，
∴长方形的面积y=x12−x，
∴y与x的关系式为y=x12−x．
故选：C．
【变式4-2】嘉琪的爸爸到单位附近的加油站加油，如图是他所用加油机上的数据显示牌，则数据中的变量是（ ）
A．金额B．数量C．单价D．金额和数量
【答案】D
【分析】本题考查常量与变量，解题的关键是正确理解常量与变量，本题属于基础题型．根据常量与变量的定义即可判断．
【详解】解：常量是固定不变的量，变量是变化的量，
单价7.38是不变的量，而金额是随着数量的变化而变化，
∴变量是：金额与数量．
故选：D．
【变式4-3】一个学习小组利用同一块木板，测量了小车从不同高度下滑的时间，他们得到如表数据：
下列说法正确的是（ ）
A．当ℎ=70cm时，t=1.50sB．h每增加10cm，t减小1.23s
C．随着h逐渐升高，t也逐渐变大D．随着h逐渐升高，小车下滑的平均速度逐渐加快
【答案】D
【分析】本题考查了用表格表示变量间的关系，观察表格获得有效信息是解题的关键．
通过分析表格数据，理解变量之间的关系以及随着自变量的变化因变量的变化趋势，即可得出答案．
【详解】解：A．当ℎ=70cm时，t=1.59s，故选项A错误；
B．h每增加10cm，t减小的值不一定，故选项B错误；
C．随着h逐渐升高，t逐渐变小，故选项C错误；
D. 随着h逐渐升高，小车下滑的时间t逐渐变小，小车下滑的平均速度逐渐加快，故选项D正确；
故选：D．
【考点5 函数的图象】
【例5】（24-25九年级下·河南信阳·期末）如图，正方形ABCD的边长为4，P从顶点D出发沿正方形的边运动，路线是D→C→B→A，设点P经过的路程为x，△APD的面积是y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（ ）
B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查动点的函数图象问题，一次函数的应用，数形结合并分析起始阶段，中间某个特殊阶段的变化趋势是解题的关键；
分三种情况，分别求出函数解析式，进行判断即可．
【详解】解：当点P在CD时，则：0≤x≤4时，
y=12AD⋅DP=12⋅4x=2x，
图象为过原点，方向向上的一条直线的一部分，
当点P在BC上时，则：41.0>0.65，
∴四种物质中密度最大的是甲，
故答案为：甲．
【变式5-3】（24-25八年级上·浙江温州·期末）小温的家、图书馆、学校依次在同一直线上，他从学校出发匀速步行10分钟走了500米到图书馆，停留3分钟后再匀速步行5分钟走了300米到家．设小温离家的距离为s（米），所用时间为t（分钟），则下列图象中，能近似刻画s与t之间关系的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据所走的路程随时间t的增加而变化情况可得答案．
本题考查了函数图象，读懂函数图象，从图象中获取必要的信息是解决本题的关键．
【详解】解：开始出发时，他所行走的路程从800米开始减少，故选项A、C、D不合题意；
步行到达图书馆的过程中，他所行走的路程不变，
在从图书馆回家过程中，路程随时间的增加而减少．
故选：B．
【考点6 一次函数】
【例6】（24-25七年级上·山东泰安·期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A0,4，B−3,−1，C3,0，边AB交x轴于D点，则D点的坐标为（ ）
A．−512,0B．−2,0C．−125,0D．−1,0
【答案】C
【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，坐标与图形性质，根据题意得出直线AB的解析式是解题的关键．
利用待定系数法求出直线AB的解析式，求出D点坐标即可．
【详解】解：设直线AB的解析式为y=kx+bk≠0，
∵A0,4，B−3,−1，
∴b=4−3k+b=−1，
解得k=53b=4，
∴直线AB的解析式为y=53x+4，
当y=0时，0=53x+4
∴x=−125，
∴D−125,0．
故选C．
【变式6-1】（24-25八年级上·甘肃兰州·期末）将直线y=−2x+4平移得到直线y=−2x，则移动方法为（ ）
A．向左平移4个单位B．向右平移4个单位
C．向上平移4个单位D．向下平移4个单位
【答案】D
【分析】本题考查一次函数图象的平移规律，关键在于规律“左加右减，上加下减”的认识．根据“左加右减，上加下减”的平移规律即可求解．
【详解】解：将直线y=−2x+4平移得到直线y=−2x，则移动方法为向下平移4个单位
故选：D．
【变式6-2】（24-25八年级上·安徽亳州·期末）已知一次函数y=k−1x+2k−4k≠0．
(1)若函数值y随x的增大而增大，求k的取值范围；
(2)若一次函数的图象经过点−5,3，求k的值．
【答案】(1)k>1
(2)−23
【分析】本题主要考查一次函数的图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键．
（1）依据题意，根据一次函数的性质可得当k−1>0时，函数值y随x的增大而增大，求解即可；
（2）依据题意，函数图象经过点(−5,3)，从而−5(k−1)+2k−4=3，进而计算可以得解．
【详解】（1）解：由题意，∵函数值y随x的增大而增大，
∴k−1>0，
解得：k>1．
（2）解：由题意，∵函数图象经过点(−5,3)，
∴−5(k−1)+2k−4=3．
∴k=−23．
【变式6-3】（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）一次函数y=kx−k+2（k为常数，且k≠0）．
(1)若点−1,3在一次函数y=kx−k+2的图象上，
①求k的值；
②设P=y+x，则当−2≤x≤5时，求P的最大值．
(2)若当m−3≤x≤m时，函数有最大值M，最小值N，且M−N=6，求此时一次函数y的表达式．
【答案】(1)①k=−12；②P的最大值为5；
(2)一次函数解析式为y=2x或y=−2x+4．
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数y=kx+b，则需要两组x，y的值．也考查了一次函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征．
（1）①把已知点的坐标代入y=kx−k+2中即可得到k的值；
②用x表示P得到P=12x+52，根据一次函数的性质，x=5时，P的值最大，然后计算自变量为5所对应的函数值即可；
（2）当k>0时，M=km−k+2，N=km−3−k+2，则km−3−k+2−km−k+2=6，当k0时，M=km−k+2，N=km−3−k+2，
∵M−N=6，
∴km−k+2−km−3−k+2=6，
解得k=2，
此时一次函数解析式为y=2x；
当k0)的图象上，若OB=2OC=4,OD=5，则k的值为 ．
【答案】12
【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，平行四边形的性质，两直线平行同旁内角互补，求反比例函数解析式，线段的和与差，解一元一次方程等知识点，熟练掌握反比例函数与几何综合是解题的关键．
由平行四边形的性质可得AB=CD=OD−OC=3，进而可得A3,4，将其代入y=kx(k>0,x>0)即可求出k的值．
【详解】解：∵OB=2OC=4，OD=5，
∴OC=2，CD=OD−OC=3，
∵平行四边形的顶点B、C、D分别在y轴和x轴上，
∴AB=CD=OD−OC=3，∠ABO=∠BOC=90°，
∴A3,4，
把A3,4代入y=kx(k>0,x>0)，得：
4=k3，
解得：k=12，
故答案为：12．
【变式7-3】（24-25九年级上·山东潍坊·期末）如图，曲线AB是顶点为B，且与y轴交于点A的抛物线y=−x2+4x+2的一部分，曲线BC是双曲线y=kx的一部分，由点C开始不断重复“A-B-C”的过程，形成一组波浪线，点P2024,m与Q2025,n均在该波浪线上，则mn= ．
【答案】24
【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质．依据题意可得，A，C之间的水平距离为6，点Q与点P的水平距离为1，A，B之间的水平距离为2，双曲线解析式为y=12x，依据点P′、点B离x轴的距离相同，都为6，即点P的纵坐标m=6，点Q′离x轴的距离相同，都为4，即点Q的纵坐标n=4，即可得到mn的值．
【详解】解：由图可得，A，C之间的水平距离为6，
2024÷6=337…2，
由抛物线y=−x2+4x+2可得，顶点B2,6，即A，B之间的水平距离为2，
∴点P′、点B离x轴的距离相同，都为6，即点P的纵坐标m=6，
由抛物线解析式可得AO=2，即点C的纵坐标为2，
∴C6,2，
∴k=2×6=12，
∴双曲线解析式为y=12x，
2025−2024=1，故点Q与点P的水平距离为1，
∵点P′、Q′之间的水平距离为1，
∴点Q′的横坐标=2+1=3，
∴在y=12x中，令x=3，则y=4，
∴点Q′与点Q的纵坐标n=4，
∴mn=6×4=24，
故答案为：24．
【考点8 与平行四边形有关的证明与计算】
【例8】（24-25八年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列不能判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（ ）
A．AO=OC，OB=ODB．∠ABC=∠ADC，AD∥BC
C．AB=DC，AD∥BCD．AB=DC，AD=BC
【答案】C
【分析】本题考查了平行四边形的判定，根据所给条件逐项进行判断即可得到答案．
【详解】解：A．根据对角线相互平分的四边形是平行四边形，可判定四边形ABCD为平行四边形，故A不符合题意；
B．∵AD∥BC，
∴∠ADC+∠DCB=180°，∠ABC+∠DAB=180°，
∵ ∠ABC=∠ADC，
∴ ∠DCB=∠DAB，
∴可根据两组对角分别相等的四边形为平行四边形，判定四边形ABCD为平行四边形，
故B不符合题意；
C．一组对边相等，另一组对边平行，不能判定四边形ABCD为平行四边形，故C符合题意；
D．根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可判定四边形ABCD为平行四边形，故D不符合题意；
故选：C．
【变式8-1】（24-25八年级·河南商丘·期中）如图1，AB∥CD，P为AC的中点，点E为射线AB上的任意一点（不与点A重合），连接EP，并使EP的延长线交射线CD于点F．
(1)求证：△APE≌△CPF；
(2)如图2，连接EC、AF，是否有EC∥AF，如不是，请说明理由，如果是，请证明．
【答案】(1)见解析
(2)EC∥AF，理由见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质等等知识，熟练掌握相关判定与性质为解题关键．
（1）根据两直线平行内错角相等，对顶角相等，利用ASA即可证明△APE≌△CPF；
（2）利用全等三角形性质可以证明四边形AECF为平行四边形，从而可以证明EC∥AF．
【详解】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠A=∠C，
∵P为AC的中点，
∴AP=PC，
又∵∠APE=∠CPF，
∴△APE≌△CPFASA；
（2）解：有EC∥AF；
证明如下：
∵△APE≌△CPF，
∴AE=CF，AE∥CF，
∴四边形AECF为平行四边形，
∴EC∥AF．
【变式8-2】（24-25八年级·西藏拉萨·期中）如图，在平行四边形ABCD中，∠C=40°，过点D作CB的垂线，交AB于点E，交CB的延长线于点F，则∠BEF的度数为 ．
【答案】50°
【分析】本题考查了三角形内角和定理、平行线的性质，由三角形内角和定理可得∠CDF=50°，由平行四边形的性质可得AB∥CD，再由平行线的性质即可得解．
【详解】解：∵∠C=40°，DF⊥BC，
∴∠CDF=180°−∠C−∠CFD=50°，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BEF=∠CDF=50°，
故答案为：50°．
【变式8-3】（24-25八年级·河南漯河·期中）如图，△ABC中，D是AB边上任意一点，F是AC中点，过点C作CE∥AB交DF的延长线于点E，连接AE，CD．

(1)求证：四边形ADCE是平行四边形；
(2)若∠B=30°，∠CAB=45°，AC=6，求AB的长．
【答案】(1)见详解
(2)3+3
【分析】（1）根据平行线的性质得到∠CAD=∠ACE,∠ADE=∠CED．根据全等三角形的性质得到AD=CE，于是得到四边形ADCE是平行四边形；
（2）过点C作CG⊥AB于点G．根据勾股定理得到CG=AG=3，由∠B=30°得到BC=23．在Rt△BCG中，利用勾股定理得到BG，即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵AB∥CE，
∴∠CAD=∠ACE,∠ADE=∠CED．
∵F是AC中点，
∴AF=CF，
在△AFD与△CFE中，
∠FAD=∠FCE∠ADF=∠CEFAF=CF，
∴△AFD≌△CFE(AAS)，
∴DF=EF，
∴四边形ADCE是平行四边形；
（2）解：过点C作CG⊥AB于点G，
∵∠CAB=45°，
∴∠CAG=∠GCA=45°，
∴AG=CG，
在△ACG中，∠AGC=90°，
∴AG2+CG2=AC2，
∵AC=6，
∴CG=AG=3，
∵∠B=30°，
∴CG=12BC，
∴BC=23，
在Rt△BCG中，BG=BC2−CG2=232−32=3，
∴AB=AG+BG=3+3．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理，二次根式的性质，掌握以上知识点是解题的关键．
【压轴篇】
【考点9 分式值为整数问题】
【例9】（24-25八年级上·山东烟台·期末）若x为整数，则使x2−9x2÷x−3x的值为整数的x有 个．
【答案】3
【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．先化简分式，然后利用整数的整除性求出x的值即可求解．
【详解】解：x2−9x2÷x−3x
=(x+3)(x−3)x2⋅xx−3
=x+3x
=1+3x
要使分式的值为整数，且x为整数，
∴x=±1，±3，
又∵x≠3，
∴x=±1，−3，
∴符合题意的整数x的值共有3个．
故答案为：3．
【变式9-1】（24-25八年级·北京石景山·期末）当分式62x−3的值为正整数时，整数x的取值可能有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】C
【分析】根据题意可知2x-3必是6的因数，从而可求出答案．
【详解】由题意可知：2x−3=1或2或3或6，
所以x=2或52或3或92，
由于x是整数，
∴x=2或3
所以x的值有两个.
故答案选：C.
【点睛】本题考查了分式的值，解题的关键是根据分式的值为正整数得分母为分子的因数.
【变式9-2】（24-25八年级上·湖南长沙·期末）若x2−5x+4x−3的值为整数，则符合要求的整数x的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【分析】本题主要考查了分式的化简，解题的关键需要分离常数，转化思考．
先将分式x2−5x+4x−3分离常数得到x−2−2x−3，再将问题转化为2x−3为整数的问题求解．
【详解】解：x2−5x+4x−3=x−32+x−3−2x−3=x−3+1−2x−3=x−2−2x−3，
∵x2−5x+4x−3的值为整数，x为整数，
∴2x−3为整数，
∴x−3=±1或x−3=±2，
∴x=4或2或5或1，
故选：D．
【变式9-3】（24-25八年级上·重庆丰都·期末）若一个四位数满足百位数字和十位数字相同，千位数字与个位数字之和为7，这样的数称为“两同和七数”．已知M为一个“两同和七数”，且M可以被9整除．则满足条件M的最大值是 ．将M的各个数位数字之和记为PM，M的个位数字与千位数字的差记为QM，并令GM=PMQM，当GM是整数时，则满足条件M的最小值是 ．
【答案】 7110 2115
【分析】本题考查不等式的性质，整式的加减，分式的值等知识，灵活运用不等式的性质推导是解题的关键．设M的千位是a，百位是b，则十位数字是b，个位数字是7−a，1≤a≤7， M=999a+110b+7，PM=2b+7．根据M可以被9整除和a的取值范围可知2b+7=9，从而可得M的最大值，求解PM=9，又求出QM=7−2a，再根据GM=PMQM， GM是整数求出a的值，从而得出复合条件的M的值，继而求出满足条件 M 的最小值．
【详解】解：设M的千位是a，百位是b，则十位数字是b，个位数字是7−a，1≤a≤7，
∴M=1000a+100b+10b+7−a=999a+110b+7，PM=a+b+b+7−a=2b+7．
∵M可以被9整除，M=999a+110b+7=9111a+12b+2b+7，
∴2b+7是9的倍数，
又∵0≤b≤9，且b为自然数，
∴7≤2b+7≤25，且2b+7是奇数，
∴2b+7=9，即PM=9．
解得：b=1，
∵M为一个“两同和七数”，
∴当a=7时，则7−a=0，
∴M的最大值为7110；
又∵M的个位数字与千位数字的差记为QM，即QM=7−a−a=7−2a．
∴GM=PMQM=97−2a，
又∵1≤a≤7，且a为正整数，
∴−7≤7−2a≤5，且7−2a是奇数，
又∵GM是整数，
∴7−2a=−3或−1或1或3，
解得：a=5或4或3或2，
∴M=5112或4113或3114或2115．
∴满足条件 M 的最小值是：2115．
故答案为：7110；2115．
【考点10 利用分式性质求值】
【例10】（24-25八年级下·浙江宁波·开学考试）已知xa+yb+zc=1，ax+by+cz=0，则x2a2+y2b2+z2c2的值为 ．
【答案】1
【分析】本题考查的是分式的求值，考查对换元法的理解和运用，掌握完全平方公式的应用是解本题的关键．设xa=m，yb=n，zc=t．可得m+n+t=1，nt+mt+mn=0，再利用完全平方公式进行计算即可．
【详解】解：设xa=m，yb=n，zc=t．
∵xa+yb+zc=1，
∴m+n+t=1．
∵ax+by+cz=0，
∴1m+1n+1t=0，
∴nt+mt+mnmnt=0，
∴nt+mt+mn=0．
∴x2a2+y2b2+z2c2=m2+n2+t2=m+n+t2−2mn+nt+mt=12−0=1．
故答案为：1．
【变式10-1】（24-25七年级上·上海·阶段练习）已知三个数x，y，z满足xyx+y=−2，zyz+y=34，zxz+x=−34，则xyzxy+yz+zx的值为 ．
【答案】−4
【分析】由给定的三个等式可得其倒数x+yxy=−12，z+yzy=43，z+xzx=−43，再将三个分式的分子拆分后相加可得1x+1y+1z的值，因所求式子的倒数为1x+1y+1z，所以求得1x+1y+1z的倒数即可解答；
【详解】解：∵xyx+y=−2，zyz+y=34，zxz+x=−34，
∴x+yxy=−12，z+yzy=43，z+xzx=−43，
∴1x+1y=−12① ，1z+1y=43② ，1z+1x=−43③，
①+②+③，得：2x+2y+2z=−12，
∴1x+1y+1z=−14，
∵xy+yz+zxxyz=1x+1y+1z，
∴xy+yz+zxxyz=−14，
∴xyzxy+yz+zx=−4；
故答案为：−4．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，当分式的分子较简单，分母中的各项与分子存在一定的倍数关系时，可利用取倒数的方法（即将分式的分子和分母的位置颠倒），将繁杂的分式化成简单的式子，使问题化难为易，从而降低解题难度．
【变式10-2】（20-21七年级下·浙江金华·期末）任意两个和不为零的数a、b、c满足ab+c=ba+c=ca+b，求a+bb+ca+cabc的值 ．
【答案】8或−1
【分析】根据ab+c=ba+c=ca+b，可以得到它们的比值或者a、b、c的关系式，进而解答．
【详解】解：设ab+c=ba+c=ca+b=1k，
则a+b=ck，b+c=ak，a+c=bk，
∴a+b+b+c+a+c=ka+b+c，
∴2a+b+c=ka+b+c，
当a+b+c≠0时，k=2，
a+bb+ca+cabc=2c×2a×2babc=8，
当a+b+c=0时，
a+bb+ca+cabc=0−c0−a0−babc=−1．
故答案为：8或−1．
【点睛】本题考查分式的混合运算，利用等式的性质进行变形是解题关键．
【变式10-3】（24-25八年级上·浙江温州·期末）若abc=1，a+b+c=2，a2+b2+c2=3，则1ab+c−1+1bc+a−1+1ca+b−1的值为（ ）
A．−23B．−13C．23D．13
【答案】A
【分析】本题考查分式的混合运算，由已知条件得出c−1=1−a−b，a−1=1−b−c，b−1=1−a−c，(a+b+c)2=4，联立a+b+c2=4a2+b2+c2=3，得ab+bc+ca=12，代入整理之后对算式进行通分即可．
【详解】解：∵a+b+c=2，
∴c−1=1−a−b，a−1=1−b−c，b−1=1−a−c，(a+b+c)2=4，
联立a+b+c2=4a2+b2+c2=3，
得ab+bc+ca=12，
∴原式=1ab−a+1−b+1bc−b+1−c+1ca−c+1−a
=1a−1b−1+1c−1b−1+1c−1a−1
=a+b+c−3a−1b−1c−1
=−1abc−ac−bc−ab+c+a+b−1
=−11−12+2−1
=−23．
故选A．
【考点11 分式方程的解】
【例11】（24-25八年级上·黑龙江绥化·期末）若关于y的不等式组y−1≥4my−m2≤2m+3有解，且关于x的分式方程mxx−3=1+2x+33−x有非负整数解，则符合条件的所有整数m的和为（ ）
A．−16B．−13C．−9D．−6
【答案】D
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分式方程的解，有难度，注意分式方程中的解要满足分母不为0的情况．
先根据不等式组有解，得m的取值，利用分式方程有非负整数解，找出符合条件的m值，并相加得出结果．
【详解】解：由y−1≥4my−m2≤2m+3，解得：y≥4m+1y≤5m+6，
∴4m+1≤y≤5m+6，
∵不等式组y−1≥4my−m2≤2m+3有解，
∴4m+1≤5m+6，
∴m≥−5，
mxx−3=1+2x+33−x，
解得：x=−6m+1，
∵关于x的分式方程mxx−3=1+2x+33−x有非负整数解，
−6m+1≥0且−6m+1≠3，
∴m＜−1且m≠−3，
∴−5≤m＜−1且m≠−3，
所有m的值为−4，−2，的和为−6，
故选：D．
【变式11-1】（24-25八年级上·山东泰安·期末）若关于x的分式方程mx−2=x+1x−2−3有增根，则m的值是（ ）
A．3B．1C．−3D．−1
【答案】A
【分析】本题考查了解分式方程．首先解分式方程求出方程的根为x=7−m2，因为分式方程有增根，所以方程的根为x=7−m2=2，解关于m的一元一次方程求出m的值即可．
【详解】解：mx−2=x+1x−2−3，
去分母得：m=x+1−3x−2，
去括号得：m=x+1−3x+6，
移项得：3x−x=1+6−m，
合并同类项得：2x=7−m，
系数化为1得：x=7−m2，
∵关于x的分式方程mx−2=x+1x−2−3有增根，
∴x=7−m2=2，
解得：m=3．
故选：A ．
【变式11-2】（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）已知点A，B在数轴上所对应的数分别为mx−6，x+46−x，无论x取何值，A，B两点都不可能关于原点对称，则m的值为（ ）
A．6B．8C．10D．12
【答案】C
【分析】本题考查分式方程无解问题，先根据两点关于原点对称时，两点表示的数互为相反数，列出分式方程，根据无论x取何值，A，B两点都不可能关于原点对称，得到分式方程无解，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：mx−6=−x+46−x无解，
方程去分母，得：m=x+4，
∵方程无解，
∴x−6=0，
∴x=6，
∴m=6+4=10；
故选C．
【变式11-3】（2022·重庆·中考真题）关于x的分式方程3x−ax−3+x+13−x=1的解为正数，且关于y的不等式组y+9≤2(y+2)2y−a3>1的解集为y≥5，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．13B．15C．18D．20
【答案】A
【分析】先通过分式方程求出a的一个取值范围，再通过不等式组的解集求出a的另一个取值范围，两个范围结合起来就得到a的有限个整数解．
【详解】由分式方程的解为整数可得：3x−a−x−1=x−3
解得：x=a−2
又题意得：a−2>0且a−2≠3
∴a>2且a≠5，
由y+9≤2y+2得：y≥5
由2y−a3>1得：y>3+a2
∵解集为y≥5
∴3+a20，b>0，
∴a−b2>0，
∴a+b2abS−2a+bS>0，即：t1>t2，
∴方案二所用的时间少．
【点睛】本题主要考查分式方程的实际应用以及分式的减法法则，找出等量关系，列分式方程，掌握分式的通分，是解题的关键．
【变式12-3】（24-25八年级上·浙江台州·期末）为了推进五育并举，促进学生全面发展，各校积极建设劳动实践基地．某校有一块长方形劳动实践基地，长为2a−2m，宽为am（a>6）．
(1)去年实践基地收获500kg蔬菜，该校安排甲乙两组志愿者进行采摘．已知甲组每分钟采摘速度是乙组的2倍，而甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟．求甲、乙两组每分钟各采摘多少千克的蔬菜？
(2)今年从该基地中截取出一个边长为am的正方形地块，用来种植A类蔬菜，而剩余土地用来种植B类蔬菜，最终收获A类蔬菜300kg，B类蔬菜200kg．哪类蔬菜的单位面积产量大？请说明理由．
(3)该校打算将原劳动基地进行扩建，计划将长增加14m，宽增加am，若扩建后的长方形基地面积是原来的整数倍，求整数a的值．
【答案】(1)50，25
(2)A，理由见解析
(3)8或15
【分析】（1）设乙组每分钟采摘x千克的蔬菜，则甲组每分钟采摘2x千克的蔬菜，根据“工作时间=工作总量÷工作效率”，结合“甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟”，可列出关于x的分式方程500x−5002x=10，解方程并检验后即可得出x的值（即乙组的工作效率），再将其代入2x中，即可求出甲组的工作效率；
（2）根据“单位面积产量=总产量÷种植面积”，可用含a的代数式表示出A，B两类蔬菜的单位面积产量，然后利用作差法即可得出结论；
（3）设扩建后的长方形基地面积是原来的n倍（n为正整数），利用长方形的面积公式，结合扩建后的长方形基地面积是原来的n倍，可建立关于n的一元一次方程，解方程即可得出用含a的代数式表示的n的值，再结合“a>6，a为整数，且n为正整数”，即可得出答案．
【详解】（1）解：设乙组每分钟采摘x千克的蔬菜，则甲组每分钟采摘2x千克的蔬菜，
由题意得：
500x−5002x=10，
解得：x=25，
经检验，x=25是原分式方程的解，且符合题意，
∴2x=2×25=50，
答：甲组每分钟采摘50千克的蔬菜，乙组每分钟采摘25千克的蔬菜；
（2）解：A类蔬菜的单位面积产量大，理由如下：
A类蔬菜的单位面积产量为：300a2（千克），
B类蔬菜的单位面积产量为：200a2a−2−a=200aa−2（千克），
300a2−200aa−2
=300a−2−200aa2a−2
=100a−600a2a−2
=100a−6a2a−2，
∵a>6，
∴a−6>0，
又∵a2>0，a−2>0，
∴100a−6a2a−2>0，
∴300a2−200aa−2>0，
∴300a2>200aa−2，
答：A类蔬菜的单位面积产量大；
（3）解：设扩建后的长方形基地面积是原来的n倍（n为正整数），
由题意得：
2a−2+14a+a=n2a−2a，
解得：n=2a+12a−1=2+14a−1，
∵a>6，a为整数，且n为正整数，
∴a=8n=4或a=15n=3，
∴a的值为8或15．
【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用（分式方程的其它实际问题），一元一次方程的应用（几何问题），列代数式，异分母分式加减法，不等式的性质等知识点，读懂题意，根据题中的等量关系正确列出方程和代数式是解题的关键．
【考点13 根据情景确定函数图象】
【例13】（24-25八年级上·山东济南·期末）坎儿井是新疆吐鲁番盆地的一种特殊灌溉系统，主要是利用了连通器原理．如图是一个H型连通器模型，甲水箱、乙水箱是两个等高的圆柱体，甲水箱的底面面积是乙水箱底面面积的2倍，连接管在两个水箱的中间处（体积忽略不计），现用水管往甲水箱中持续匀速注水，直到连通器中水恰好不溢出为止．设甲水箱中水面的高度为y，注水时间为t，则y与t的函数图象大致为（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了函数图象的识别，由连通器的原理可知，整个过程分为三个阶段：甲水面上升，乙水面上升，甲、乙水面一起上升，再根据甲、乙底面积的关系求出t1，t2的关系即可得到结论．
【详解】解：由连通器的原理可知，整个过程分为三个阶段，第一阶段为甲水箱中的水面随着时间的推移逐渐上升，直至到达连通器的入口，第二阶段为甲水箱中的水面不上升，注入的水通过连通器流入乙中，使乙水箱中的水面上升，直至到达连通器的入口，第三阶段为甲、乙两个水箱中的水以相同的速度上升（上升速度比第一阶段慢），
设单位时间内注水体积为V，甲水箱的底面积为2S，则乙水箱的底面积为S，则连通器的高度为ℎ=Vt12S，
∴Vt2−t1=S⋅Vt12S，
∴t2−t1=12t1，
∴四个选项中，只有D选项中的函数图象符合题意，
故选：D．
【变式13-1】（23-24七年级下·贵州毕节·期中）如图，一辆货车匀速通过一条隧道（隧道长大于货车长），从货车头刚进入隧道开始，货车在隧道内的长度与行驶的时间之间的关系用图象描述大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查长度和时间之间的图象描述，根据题意可知货车进入隧道的长度和时间的关系具体可描述为：货车前期进入、完全进入和驶离隧道三个阶段，第一阶段随时间的增加长度逐渐增加，第二间阶段随时间增加但是长度不变，第三阶段随时间的增加长度逐渐减小，由题意知货车匀速通过一条隧道，则增加或减小的长度随时间均匀变化．
【详解】解：当货车开始进入时c长度逐渐变长，当货车完全进入隧道，由于隧道长大于货车长，此时长度达到最大，当货车开始出来时长度逐渐变小．另外是匀速运动，长度随时间的均匀变化而均匀变化，故图象呈直线型．
故选：C．
【变式13-2】（2024·四川凉山·中考真题）匀速地向如图所示的容器内注水，直到把容器注满．在注水过程中，容器内水面高度ℎ随时间t变化的大致图象是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了函数图象，根据容器最下面圆柱底面积最小，中间圆柱底面积最大，最上面圆柱底面积最较大即可判断求解，正确识图是解题的关键．
【详解】解：由容器可知，最下面圆柱底面积最小，中间圆柱底面积最大，最上面圆柱底面积最较大，所以一开始水面高度ℎ上升的很快，然后很慢，最后又上升的更快点，
故选：C．
【变式13-3】（24-25八年级下·广东东莞·期末）某蓄水池的横断面示意图如图所示，分深水区和浅水区，如果以固定的流量把水蓄满蓄水池，下面的图像能大致表示水的深度h和注水时间t之间关系的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】首先看图可知，蓄水池的下部分比上部分的体积小，故h与t的关系为先快后慢．
【详解】根据题意和图形的形状，可知水的最大深度h与时间t之间的关系分为两段，每一段h随t的增大而增大，增大的速度是先快后慢．
故选C．
【点睛】此题考查了函数的图象，根据几何图形的性质确定函数的图象和函数图象的作图能力．要能根据几何图形和图形上的数据分析得出所对应的函数的类型和所需要的条件，结合实际意义画出正确的图象．
【考点14 一次函数与动点最值问题】
【例14】（24-25八年级上·安徽宿州·期末）如图，已知点A的坐标为2,2，点B的坐标为0,−1，点C在直线y=−x上运动，当CA+CB最小时，点C的坐标为（ ）
A．25,−25B．1,1C．−25,25D．1,−1
【答案】A
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及最短路径问题，连接AB交直线y=−x于点C，此时CA+CB最小，根据点A，B的坐标利用待定系数法可求出点A，B所在直线的解析式，联立两函数解析式成方程组，解之即可得出当CA+CB最小时，点C的坐标．
【详解】解：连接AB交直线y=−x于点C，此时CA+CB最小，如图所示．
设点A，B所在直线的解析式为y=kx+bk≠0，
将A2,2，B0,−1代入y=kx+b得：
2k+b=2b=−1，
解得：k=32b=−1，
∴点A，B所在直线的解析式为y=32x−1，
联立两直线解析式成方程组，得：y=−xy=32x−1，
解得：x=25y=−25，
∴当CA+CB最小时，点C的坐标为25,−25．
故选：A．
【变式14-1】（24-25八年级上·江苏镇江·期末）如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为0,−1，直线y=−43x+4与x轴、y轴分别交于点A、B，P是直线AB上的一个动点，则PC长的最小值为 ．
【答案】3
【分析】本题考查了一次函数图象与坐标轴的交点，垂线段最短，勾股定理；连接AC，当PC⊥AB时，PC最小，由勾股定理得AB=OA2+OB2=5，可得AB=BC，由12AB⋅PC=12BC⋅OA即可求解；能熟练利用勾股定理求解，并能由垂线段最短找出取得最小值的条件是解题的关键．
【详解】解：如图，连接AC，
当PC⊥AB时，PC最小，
当x=0时，y=4，
当y=0时，−43x+4=0，
解得：x=3，
∴A3,0，
B0,4，
∴OA=3，
OB=4，
∵C0,−1，
∴OC=1，
∴BC=OB+OC
=4+1
=5，
∴AB=OA2+OB2
=32+42
=5，
∴AB=BC，
∴12AB⋅PC=12BC⋅OA，
∴ PC=OA=3，
故答案为：3．
【变式14-2】如图，点A的坐标为(−2,0)，直线y=x−5与x轴交于点B，与y轴交于点C，点D在直线y=x−5上运动，当线段AD取得最小值时，点D的坐标为（ ）
A．(32,−72)B．(2,−2)C．(1,−73)D．(0,−4)
【答案】A
【分析】根据等腰直角三角形的判定与性质可得∠ABC=45°，再根据垂线段最短可知，当AD⊥BC时，线段AD最短，过点D作DE⊥x轴于点E，利用等腰三角形的三线合一可得E(32,0)，再然后将x=32代入直线y=x−5可得点D的纵坐标，由此即可得．
【详解】解：对于直线y=x−5，
当y=0时，x−5=0，解得x=5，即B(5,0)，OB=5，
当x=0时，y＝﹣5，即C(0,−5)，OC=5，
Rt△OBC是等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°，
由垂线段最短可知，如图，当AD⊥BC时，线段AD最短，
则Rt△ABD是等腰直角三角形，
过点D作DE⊥x轴于点E，
∴点E是AB的中点（等腰三角形的三线合一），
∴点E的坐标为E(−2+52,0)，即为E(32,0)，
∴点D的横坐标为32，
将x=32代入直线y=x−5得，
y=32−5=−72，
则点D的坐标为(32,−72)．
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质、垂线段最短、等腰三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握待定系数法和垂线段最短是解题关键．
【变式14-3】（24-25八年级上·河南驻马店·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线AB:y=12x+3与x轴交于点A，点B2,m在第一象限，线段AB上有一点Cn,2，点P为x轴上一动点，连接PB，PC，当PB+PC的值最小时，点P的坐标为 ，此时PB+PC的最小值为 ．
【答案】 (−23,0) 213
【分析】本题考查一次函数与轴对称最短距离和问题，先根据点在直线上求出点的坐标，在根据对称性点B的对称点B1，求出B1C解析式，即可求出点P及距离即可得到答案．
【详解】解：当x=2时，y=12×2+3=4，
∴B(2,4)，
当y=2时，2=12x+3，
解得：x=−2，
∴C(−2,2)，
∴点B关于x轴对称点B1的坐标为：B1(2,−4)，
连接B1C交x轴于一点即为最小距离和点P，
，
设B1C的解析式为：y=ax+c，
2a+c=−4−2a+c=2，
解得：a=−32c=−1，
∴y=−32x−1，
当y=0时，
x=−23，
∴P(−23,0)，
此时PB+PC最小，(PB+PC)min=B1C=(2+2)2+(−4−2)2=213，
故答案为：P(−23,0)，213．
【考点15 一次函数的应用】
【例15】（24-25八年级上·河北保定·期末）一条公路旁分别分依次有A，B，C三个村庄，甲、乙两人骑自行车分别从A村、B村同时出发前往C村，到达目的地C村停止运动，甲、乙之间的距离skm与骑行时间th之间的函数关系如图所示．
(1)A，B两村相距________km；
(2)求甲、乙两人骑自行车的速度；
(3)求相遇后，乙又骑行多长时间，两人恰好相距4km？
【答案】(1)10
(2)甲的速度为20km/h，乙的速度为12km/h
(3)相遇后，乙又骑行了30分钟或55分钟时两人相距4km
【分析】本题考查了函数图象、用待定系数法求一次函数解析式，一次函数的应用．
（1）当t=0时，由图可知A、B两村的距离；
（2）根据函数图象，得出当t=2h时，设甲，乙的速度分别为V甲，V乙，根据V甲×1.25−V乙×1.25=10得出V甲−V乙=8，进而根据当t=2h时，甲到达C村，则根据相遇后乙的路程除以时间得出速度，即可求解；
（3）由图象知，两车相遇后的图象分两段，分别求出当1.25