2025年陕西省西安市长安区中考数学一模试卷【含答案】

这是一份2025年陕西省西安市长安区中考数学一模试卷【含答案】，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列四个有理数中，绝对值最小的是（ ）
A．﹣2B．0C．3D．−12
2．（3分）我国知名企业华为技术有限公司最新上市的mate70系列搭载了麒麟9000s芯片，这个被华为称之为全球首个5纳米工艺的AI芯片，拥有8个全球第一，5纳米就是0.000000005米．数据0.000000005用科学记数法表示应为（ ）
A．5×10﹣9B．0.5×10﹣9C．5×10﹣10D．5×109
3．（3分）一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力N的方向与斜面垂直，摩擦力F的方向与斜面平行．若摩擦力F与重力G方向的夹角∠1的度数为118°，则斜面的坡角∠2的度数为（ ）
A．18°B．25°C．28°D．38°
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2•a2＝2a4 B．（﹣a2）3＝﹣a6 C．3a2﹣6a2＝3a2 D．（a﹣2）2＝a2﹣4
5．（3分）一次函数y＝kx+3中，y的值随x值增大而减小，则该函数图象经过点的坐标可以是（ ）
A．（﹣1，﹣2）B．（0，﹣3）C．（﹣1，2）D．（1，2）
6．如图，在正方形ABCD中，AD＝6，O、E、F、M分别为BD、CD、AE、BF的中点，则OM的长（ ）
A．354B．453C．253D．352
7．（3分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，且OA∥BC．若∠ACB＝25°，则∠CAB的度数为（ ）
A．55°B．45°C．40°D．30°
8．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（0，m），B（1，﹣m），C（2，n），D（3，﹣m），其中m、n为常数，则nm的值为（ ）
A．35B．−35C．53D．−53
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．（3分）已知5在整数a﹣1和a之间，则a的值为 ．
10．（3分）如图，直线OQ与正五边形ABCDE两边交于O、Q两点，则∠1+∠2的度数为 ．
11．（3分）围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图所示，是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子，观察棋盘，当白方落子在A、B、C、D中的 处，则所得的对弈图是轴对称图形（填写序号）．
12．（3分）如图，A、B为反比例函数y=kx(x＞0)图象上两点，连接OA，过点B作BC⊥y轴于点C，交OA于点D，且D为OA的中点．若△ABD的面积等于3，则k的值为 ．
13．（3分）如图，菱形ABCD的面积为36，点E是AB的中点，点F是BC上的动点．若△BEF的面积为6，则图中阴影部分的面积为 ．
三、解答题（共13小题，计81分.解答应写出过程）
14．（5分）计算：70−(5)2+(13)−1．
15．（5分）解不等式：x+12≥2x−3．
16．（5分）化简：(a−a−1a+3)÷a+1a2−9．
17．（5分）如图，在四边形ABCD中，E为CD上一点，且EC＝BC，利用圆规和无刻度直尺在AD上寻找点P，使△BCP和△ECP的面积相等．（保留作图痕迹，不写作法）
18．（5分）如图，△ABC是等边三角形，D为AB延长线上一点，AE∥BC，且AE＝AD．
求证：△ABE≌△ACD．
19．（5分）一天，小明以60m/min的速度出发前往学校，10min后，小明爸爸发现他忘带数学书，于是，爸爸立即以210m/min的速度骑自行车去追赶小明．在爸爸出发2min后，小明也发现自己忘带数学书，于是他以90m/min的速度返回，在途中与爸爸相遇，求爸爸出发多久与小明相遇？
20．（5分）某学习小组在延时课上制作了五张卡片：A．铁钉生锈、B．滴水成冰、C．矿石粉碎、D．牛奶变质、E．菠萝榨汁，卡片除图片内容不同外，其他没有区别，放置于暗箱中摇匀．
（1）小茜从五张卡片中随机抽取一张，抽中的卡片属于物理变化的概率是 ；
（2）小安从五张卡片中随机抽取两张，用列表法或画树状图法求小安抽取两张卡片均属于化学变化的概率．
21．（6分）我校数学兴趣小组的同学要测量建筑物CD的高度，如图，建筑物CD前有一段坡度为5：12的斜坡EB，小明同学站在斜坡上的B点处，用测角仪测得建筑物屋顶C的仰角为37°，接着小明又向下走了6.5米，刚好到达坡底E处，这时测到建筑物屋顶C的仰角为45°，A、B、C、D、E、F在同一平面内．若测角仪的高度AB＝EF＝1.4米，求建筑物CD的高度（精确到0.1米，参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）．
22．（7分）在相距455千米的A，B两地间有一车站C，一辆汽车从A地出发，匀速直线行驶经过车站C驶往B地共用6.5小时，且在C站未作停留．如图是汽车行驶时离C站的路程y（千米）与行驶时间x（时）之间的函数关系．根据图象回答下面问题：
（1）填空：a＝ ，m＝ ；
（2）当汽车离车站C的距离为120千米时，求汽车的行驶时间．
23．（7分）为了解学生的安全知识掌握情况，某校举办了安全知识竞赛．现从七、八年级的学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述、分析．所有学生的成绩均高于60分（成绩得分用x表示，共分成四组：A.60＜x≤70；B.70＜x≤80；C.80＜x≤90；D.90＜x≤100），下面给出了部分信息：七年级20名学生的竞赛成绩为：
66，67，68，68，75，83，84，86，86，86，
86，87，87，89，95，95，96，98，98，100．
八年级20名学生的竞赛成绩在C组的数据是：81，82，84，87，88，89．七、八年级所抽学生的竞赛成绩统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中a＝ ，b＝ ，m＝ ；
（2）根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的安全知识竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）该校七年级有400名学生、八年级有500名学生参加了此次安全知识竞赛，估计该校七、八年级参加此次安全知识竞赛成绩优秀（x＞90）的学生人数是多少？
24．（8分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB为直径，CH⊥AB于点H，CE平分∠BCH，交⊙O于点E，交AB于点D，EG⊥AB于点G．
（1）求证：AC＝AD；
（2）若OD＝OG＝1，求CH的长度．
25．（8分）如图1，一辆灌溉车正为绿化带浇水，喷水口C离地面竖直高度为h＝1.2米．建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象．若下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口0.4米．
（1）求上边缘抛物线的函数表达式；
（2）求下边缘抛物线与x轴交点B的坐标．
26．（10分）问题探究
（1）如图1，已知△ABC中，AB＝6，点D是BC上一点，且满足BD＝4，∠ADB＝∠BAC，则CD＝ ；
问题解决
（2）如图2，“三秦四季•汉中有约”2025年最美油菜花汉中旅游文化节已于3月20日启幕．为深度开发旅游，现将在这片足够大的菱形花海上修建“醉美长廊”，按照设计要求，需要修建两条笔直的长廊（长廊宽度忽略不计），点P为活动区内一观景台，且满足AB=73，∠DAB＝60°，△DCP的面积为10534，∠PAB+∠PBA＝60°，请求出“醉美长廊”PA+PB的值．
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（3分）下列四个有理数中，绝对值最小的是（ ）
A．﹣2B．0C．3D．−12
【分析】先求出每个数的绝对值，再比较即可．
【解答】解：∵|﹣2|＝2，|0|＝0，|3|＝3，|−12|=12，
∵0＜12＜2＜3，
∴绝对值最小的数是0．
故选：B．
【点评】本题考查了绝对值和有理数的大小比较，能正确求出每个数的绝对值是解此题的关键．
2．（3分）我国知名企业华为技术有限公司最新上市的mate70系列搭载了麒麟9000s芯片，这个被华为称之为全球首个5纳米工艺的AI芯片，拥有8个全球第一，5纳米就是0.000000005米．数据0.000000005用科学记数法表示应为（ ）
A．5×10﹣9B．0.5×10﹣9C．5×10﹣10D．5×109
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：0.000000005＝5×10﹣9．
故选：A．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（3分）一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力N的方向与斜面垂直，摩擦力F的方向与斜面平行．若摩擦力F与重力G方向的夹角∠1的度数为118°，则斜面的坡角∠2的度数为（ ）
A．18°B．25°C．28°D．38°
【分析】过点A作AB⊥斜面于B，根据题意求出∠OAB，根据对顶角相等得到∠COG＝∠AOB，再根据三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：如图，过点A作AB⊥斜面于B，
由题意可知：∠BAF＝90°，
∵∠1＝118°，
∴∠OAB＝118°﹣90°＝28°，
∵∠COG＝∠AOB，OG⊥水平面，
∴∠2＝∠OAB＝28°，
故选：C．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握垂直的定义、对顶角相等是解题的关键．
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2•a2＝2a4B．（﹣a2）3＝﹣a6
C．3a2﹣6a2＝3a2D．（a﹣2）2＝a2﹣4
【分析】根据同底数幂相乘、幂的乘方、合并同类项法则及完全平方公式逐一计算可得．
【解答】解：A、a2•a2＝a4，此选项错误；
B、（﹣a2）3＝﹣a6，此选项正确；
C、3a2﹣6a2＝﹣3a2，此选项错误；
D、（a﹣2）2＝a2﹣4a+4，此选项错误；
故选：B．
【点评】本题主要考查整式的运算，解题的关键是掌握同底数幂相乘、幂的乘方、合并同类项法则及完全平方公式．
5．（3分）一次函数y＝kx+3中，y的值随x值增大而减小，则该函数图象经过点的坐标可以是（ ）
A．（﹣1，﹣2）B．（0，﹣3）C．（﹣1，2）D．（1，2）
【分析】由一次函数y＝kx+3的y值随x值的增大而减小，利用一次函数的性质可得出k＜0，结合各选项中点的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出k值，取k＜0的选项即可得出结论．
【解答】解：由题意，∵一次函数y＝kx+3的y值随x值的增大而减小，∴k＜0．
A．当一次函数y＝kx+3的图象过点（﹣1，﹣2）时，﹣k+3＝﹣2，
解得：k＝5＞0，不符合题意；
B．当一次函数y＝kx+3的图象过点（0，﹣3）时，﹣3≠3，不符合题意；
C．当一次函数y＝kx+3的图象过点（﹣1，2）时，﹣k+3＝2，
解得：k＝1，不符合题意；
D．当一次函数y＝kx+3的图象过点（1，2）时，k+3＝2，
解得：k＝﹣1＜0，符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键．
6．（3分）如图，在正方形ABCD中，AD＝6，O、E、F、M分别为BD、CD、AE、BF的中点，则OM的长等于（ ）
A．354B．453C．253D．352
【分析】连接DF，根据正方形的性质得到∠ADC＝90°，由E是CD的中点，得到DE=12CD＝3，根据勾股定理得到AE=AD2+DE2=35，根据三角形的中位线定理得到结论．
【解答】解：连接DF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝90°，
∵E是CD的中点，
∴DE=12CD＝3，
∴AE=AD2+DE2=35，
∵F是AE的中点，
∴DF=12AE=352，
∵点O，M是BD，BF的中点，
∴OM是△BDF的中位线，
∴OM=12DF=354，
故选：A．
【点评】本题考查了三角形中位线定理，勾股定理，正方形的性质，直角三角形性质，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．
7．（3分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，且OA∥BC．若∠ACB＝25°，则∠CAB的度数为（ ）
A．55°B．45°C．40°D．30°
【分析】连接OB，根据圆周角定理求出∠AOB，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出∠OAB，根据平行线的性质求出∠OAC，计算即可．
【解答】解：如图，连接OB，
由圆周角定理得：∠AOB＝2∠ACB＝2×25°＝50°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA=12×（180°﹣50°）＝65°，
∵OA∥BC，∠ACB＝25°，
∴∠OAC＝∠ACB＝25°，
∴∠CAB＝∠OAB﹣∠OAC＝65°﹣25°＝40°，
故选：C．
【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理是解题的关键．
8．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（0，m），B（1，﹣m），C（2，n），D（3，﹣m），其中m、n为常数，则nm的值为（ ）
A．35B．−35C．53D．−53
【分析】依据题意，由B（1，﹣m），D（3﹣，m）可知抛物线的对称轴为直线x＝2，从而b＝﹣4a，再由题意可得，c＝m，a+b+c＝﹣m，4a+2b+c＝n，从而a﹣4a+m＝﹣m，可得a=23m，b=−83m，最后可得n＝4a+2b+c=−53m，进而得出结论．
【解答】解：由B（1，﹣m），D（3，﹣m）可知抛物线的对称轴为直线x＝2，
∴−b2a=2，
∴b＝﹣4a，
由题意可得，c＝m，a+b+c＝﹣m，4a+2b+c＝n．
∴a﹣4a+m＝﹣m，
∴a=23m，b=−83m，
∴n＝4a+2b+c=83m−163m+m=−53m，
∴nm=−53．
故选：D．
【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．（3分）已知5在整数a﹣1和a之间，则a的值为 3 ．
【分析】估算5的大小，进行解答即可．
【解答】解：∵2＜5＜3，
∴a＝3，
故答案为：3．
【点评】本题主要考查了无理数的估算，解题关键是熟练掌握如何估算无理数的大小．
10．（3分）如图，直线OQ与正五边形ABCDE两边交于O、Q两点，则∠1+∠2的度数为 144° ．
【分析】先根据多边形的每个内角都相等和多边形内角和公式，求出每个内角的度数，再根据四边形的内角和是360°，求出答案即可．
【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴每个内角的度数为：180°(5−2)5=108°，
∴∠A＝∠E＝108°，
∵∠A+∠E+∠1+∠2＝360°，
∴∠1+∠2＝360°﹣108°﹣108°＝144°，
故答案为：144°．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和外角，解题关键是熟练掌握多边形内角和公式．
11．（3分）围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图所示，是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子，观察棋盘，当白方落子在A、B、C、D中的 A或C 处，则所得的对弈图是轴对称图形（填写序号）．
【分析】根据轴对称图形的概念解答即可．
【解答】解：当白方落子在A、B、C、D中的A处或C处时，所得的对弈图是轴对称图形，
故答案为：A或C．
【点评】本题考查的是轴对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
12．（3分）如图，A、B为反比例函数y=kx(x＞0)图象上两点，连接OA，过点B作BC⊥y轴于点C，交OA于点D，且D为OA的中点．若△ABD的面积等于3，则k的值为 8 ．
【分析】过点A作AE⊥y轴，垂足为E，连接OB，根据条件可推出S梯形AECD＝S△BDO＝3，利用S梯形AECD=34S△AOE代入数据计算即可．
【解答】解：如图，过点A作AE⊥y轴，垂足为E，连接OB，
∵D为OA的中点．△ABD的面积等于3，
∴S△ABD＝S△ODB＝3，
∵点AB在反比例函数图象上，且反比例函数图象在第一象限，
∴S△AOE＝S△COB=k2，
∴S梯形AECD＝S△BDO＝3，
∵S梯形AECD=34S△AOE=34•k2，
∴3k8=3，
∴k＝8．
故答案为：8．
【点评】本题考查了反比例函数k值的几何意义，熟练掌握该知识点是关键．
13．（3分）如图，菱形ABCD的面积为36，点E是AB的中点，点F是BC上的动点．若△BEF的面积为6，则图中阴影部分的面积为 15 ．
【分析】连接BD，CE，求出S△AED=14S菱形ABCD＝9，同理：S△CBE=14S菱形ABCD＝9，得到BF：BC＝△BEF的面积：△BCE的面积＝2：3，求出S△CDF=16S菱形ABCD＝6，即可求出阴影部分的面积．
【解答】解：连接BD，CE，
∵E是AB中点，
∴S△AED=12S△ABD=14S菱形ABCD=14×36＝9，
同理：S△CBE=14S菱形ABCD＝9，
∵△BEF的面积为6，
∴BF：BC＝△BEF的面积：△BCE的面积＝2：3，
∴S△CDF=13S△BCD=16S菱形ABCD=16×36＝6，
∴阴影部分的面积＝菱形的面积﹣△AED的面积﹣△BEF的面积﹣△CFD的面积＝36﹣9﹣6﹣6＝15．
故答案为：15．
【点评】本题考查菱形的性质，三角形的面积，关键是由三角形面积公式求出BF：BC＝2：3．
三、解答题（共13小题，计81分.解答应写出过程）
14．（5分）计算：70−(5)2+(13)−1．
【分析】利用零指数幂，算术平方根的定义，负整数指数幂计算后再算加减即可．
【解答】解：原式＝1﹣5+3
＝﹣1．
【点评】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
15．（5分）解不等式：x+12≥2x−3．
【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．
【解答】解：x+12≥2x﹣3
去分母得，x+1≥4x﹣6
移项得，x﹣4x≥﹣6﹣1，
合并同类项，﹣3x≥﹣7，
系数化为1，x≤73．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解题的关键．
16．（5分）化简：(a−a−1a+3)÷a+1a2−9．
【分析】先对括号里的式子进行通分，再按分式除法法则进行计算即可．
【解答】解：原式=(a2+3aa+3−a−1a+3)⋅a2−9a+1
=a2+2a+1a+3⋅a2−9a+1
=(a+1)2a+3⋅(a+3)(a−3)a+1
＝（a+1）（a﹣3）
＝a2﹣2a﹣3．
【点评】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是根据运算法则来计算．
17．（5分）如图，在四边形ABCD中，E为CD上一点，且EC＝BC，利用圆规和无刻度直尺在AD上寻找点P，使△BCP和△ECP的面积相等．（保留作图痕迹，不写作法）
【分析】作∠DCB的角平分线交AD于点P，连接PB，PE，点P即为所求（连接BE交PC于点O，利用等腰三角形的性质证明OE＝OB，PC⊥BE可得结论）．
【解答】解：如图，点P为所求的点．
【点评】本题考查作图﹣0复杂作图，三角形的面积，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
18．（5分）如图，△ABC是等边三角形，D为AB延长线上一点，AE∥BC，且AE＝AD．
求证：△ABE≌△ACD．
【分析】根据SAS证明三角形全等即可．
【解答】证明：在等边△ABC中，
AB＝AC，∠BAC＝∠ABC＝60°，
∵BC∥AE，
∴∠EAB＝∠ABC＝60°，
∴∠EAB＝∠BAC，
在△ABE和△ACD中，
AB=AC∠EAB=∠BACAE=AD，
∴△ABE≌△ACD（SAS）．
【点评】本题考查全等三角形的判定，等边三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法．
19．（5分）一天，小明以60m/min的速度出发前往学校，10min后，小明爸爸发现他忘带数学书，于是，爸爸立即以210m/min的速度骑自行车去追赶小明．在爸爸出发2min后，小明也发现自己忘带数学书，于是他以90m/min的速度返回，在途中与爸爸相遇，求爸爸出发多久与小明相遇？
【分析】设爸爸出发m分钟后与小明相遇，利用路程＝速度×时间，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设爸爸出发m分钟后与小明相遇，
根据题意得：210m+90（m﹣2）＝60×（10+2），
解得：m＝3．
答：爸爸出发3分钟后与小明相遇．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
20．（5分）某学习小组在延时课上制作了五张卡片：A．铁钉生锈、B．滴水成冰、C．矿石粉碎、D．牛奶变质、E．菠萝榨汁，卡片除图片内容不同外，其他没有区别，放置于暗箱中摇匀．
（1）小茜从五张卡片中随机抽取一张，抽中的卡片属于物理变化的概率是 35 ；
（2）小安从五张卡片中随机抽取两张，用列表法或画树状图法求小安抽取两张卡片均属于化学变化的概率．
【分析】（1）由题意知，共有5种等可能的结果，其中抽中的卡片属于物理变化的结果有3种，利用概率公式可得答案．
（2）列表可得出所有等可能的结果数以及小安抽取两张卡片均属于化学变化的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）由题意知，共有5种等可能的结果，其中抽中的卡片属于物理变化的结果有：B，C，E，共3种，
∴小茜从五张卡片中随机抽取一张，抽中的卡片属于物理变化的概率是35．
故答案为：35．
（2）列表如下：
共有20种等可能的结果，其中小安抽取两张卡片均属于化学变化的结果有：（A，D），（D，A），共2种，
∴小安抽取两张卡片均属于化学变化的概率为220=110．
【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
21．（6分）我校数学兴趣小组的同学要测量建筑物CD的高度，如图，建筑物CD前有一段坡度为5：12的斜坡EB，小明同学站在斜坡上的B点处，用测角仪测得建筑物屋顶C的仰角为37°，接着小明又向下走了6.5米，刚好到达坡底E处，这时测到建筑物屋顶C的仰角为45°，A、B、C、D、E、F在同一平面内．若测角仪的高度AB＝EF＝1.4米，求建筑物CD的高度（精确到0.1米，参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）．
【分析】过点A作AG⊥CD，垂足为G，过点F作FK⊥CD，垂足为K，延长AB交DE于H，则∠AHE＝90°，根据题意可得：AH＝DG，EF＝DK＝1.4米，再根据题意可设BH＝5a米，则EH＝12a米，然后在Rt△BHE中，利用勾股定理进行计算可求出BH和EH的长，再设CD＝x，则CK＝（x﹣1.4）米，CG＝＝（x﹣3.9）米，最后分别在Rt△AGC和Rt△CFK中，利用锐角三角函数的定义求出AG和FK的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答．
【解答】解：过点A作AG⊥CD，垂足为G，过点F作FK⊥CD，垂足为K，延长AB交DE于H，则∠AHE＝90°，
由题意得：AH＝DG，EF＝DK＝1.4米，
∵斜坡的坡度为5：12，
∴设BH＝5a米，则EH＝12a米，
在Rt△BHE中，BE=BH2+HE2=13a（米），
∵BE＝6.5米，
∴13a＝6.5，
解得：a＝0.5，
∴BH＝2.5米，HE＝6米，
设CD＝x，则CK＝CD﹣DK＝（x﹣1.4）米，CG＝CD﹣DG＝x﹣2.5﹣1.4＝（x﹣3.9）米，
在Rt△AGC中，tan37°=CGAG，
∴AG=CGtan37°≈x−（米），
在Rt△CFK中，∠CFK＝45°，
∴FK=CKtan45°=（x﹣1.4）米，
又∵AG＝FK+HE，
∴x−−1.4+6，
解得：x＝29.4，
答：建筑物CD的高度约为29.4米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
22．（7分）在相距455千米的A，B两地间有一车站C，一辆汽车从A地出发，匀速直线行驶经过车站C驶往B地共用6.5小时，且在C站未作停留．如图是汽车行驶时离C站的路程y（千米）与行驶时间x（时）之间的函数关系．根据图象回答下面问题：
（1）填空：a＝ 305 ，m＝ 157 ；
（2）当汽车离车站C的距离为120千米时，求汽车的行驶时间．
【分析】（1）根据A、B两地之间的距离和A、C两地之间的距离计算B、C两地之间的距离，即a的值；根据速度＝路程÷时间求出汽车的行驶速度，再由时间＝路程÷速度求出汽车行驶150千米时所用的时间，即m的值；
（2）分别计算汽车在A地与C地之间、B地与C地之间离车站C的距离为120千米时汽车行驶的时间即可．
【解答】解：（1）由图象可知，A、C两地之间的距离为150千米，则B、C两地之间的距离为455﹣150＝305（千米），
∴a＝305，
汽车行驶的速度为455÷6.5＝70（千米/小时），则该汽车行驶150千米所用时间为150÷70=157（小时），
∴m=157．
故答案为：305，157．
（2）当0≤m≤157时，当汽车离车站C的距离为120千米时，得150﹣70x＝120，
解得x=37；
当157＜x≤6.5时，当汽车离车站C的距离为120千米时，得70x﹣150＝120，
解得x=277．
答：当汽车离车站C的距离为120千米时，汽车的行驶时间为37小时或277小时．
【点评】本题考查一次函数的应用，掌握速度、时间和路程之间的关系是解题的关键．
23．（7分）为了解学生的安全知识掌握情况，某校举办了安全知识竞赛．现从七、八年级的学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述、分析．所有学生的成绩均高于60分（成绩得分用x表示，共分成四组：A.60＜x≤70；B.70＜x≤80；C.80＜x≤90；D.90＜x≤100），下面给出了部分信息：七年级20名学生的竞赛成绩为：
66，67，68，68，75，83，84，86，86，86，
86，87，87，89，95，95，96，98，98，100．
八年级20名学生的竞赛成绩在C组的数据是：81，82，84，87，88，89．七、八年级所抽学生的竞赛成绩统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中a＝ 86 ，b＝ 87.5 ，m＝ 40 ；
（2）根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的安全知识竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）该校七年级有400名学生、八年级有500名学生参加了此次安全知识竞赛，估计该校七、八年级参加此次安全知识竞赛成绩优秀（x＞90）的学生人数是多少？
【分析】（1）分别根据众数和中位数的定义可得a、b的值；用“1”分别减去其它部分占比可得m的值；
（2）根据平均数和中位数的意义解答即可；
（3）利用样本估计总体思想求解可得．
【解答】解：（1）在七年级20名学生的竞赛成绩中86出现的次数最多，故众数a＝86；
把八年级20名学生的竞赛成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是87，88，故中位数b=87+882=87.5，
m%＝1﹣10%﹣20%−620=40%，即m＝40．
故答案为：86，87.5，40；
（2）八年级学生安全知识竞赛成绩较好，理由如下：
因为两个年级成绩的平均数相同，但八年级的中位数高于七年级，所以得到八年级学生安全知识竞赛成绩较好（答案不唯一）；
（3）400×620+500×40%
＝120+200
＝320（人），
答：估计该校七、八年级参加此次安全知识竞赛成绩优秀（x＞90）的学生人数大约是320人．
【点评】本题考查了扇形统计图、频数分布表、中位数、众数以及用样本估计总体，掌握相关统计量的意义以及计算方法是解答本题的关键．
24．（8分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB为直径，CH⊥AB于点H，CE平分∠BCH，交⊙O于点E，交AB于点D，EG⊥AB于点G．
（1）求证：AC＝AD；
（2）若OD＝OG＝1，求CH的长度．
【分析】（1）根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，根据角平分线的定义得到∠DCB＝∠DCH，得到∠ADC＝∠ACD，根据等腰三角形的判定证明；
（2）连接BE，证明△ACH∽△ABC，根据相似三角形的性质求出AH，再根据勾股定理计算即可．
【解答】（1）证明：∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠DCB＝90°，
∵CH⊥AB，
∴∠ADC+∠DCH＝90°，
∵CE平分∠HCB，
∴∠DCB＝∠DCH，
∴∠ADC＝∠ACD，
∴AD＝AC；
（2）解：如图，连接BE，
由圆周角定理得：∠DBE＝∠ACD＝∠ADC＝∠EDB，
∴ED＝EB，
∵EG⊥DB，
∴GB＝DG＝2，
∴AO＝OB＝3，AB＝6，
∴AC＝AD＝2，
∵∠AHC＝∠ACB＝90°，∠A＝∠A，
∴△ACH∽△ABC，
∴AHAC=ACAB，即AH2=26，
解得：AH=23，
∴CH=AC2−AH2=423．
【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、相似三角形的判定和性质是解题的关键．
25．（8分）如图1，一辆灌溉车正为绿化带浇水，喷水口C离地面竖直高度为h＝1.2米．建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象．若下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口0.4米．
（1）求上边缘抛物线的函数表达式；
（2）求下边缘抛物线与x轴交点B的坐标．
【分析】（1）根据题意可得：C（0，1.2），顶点A（2，1.6），然后利用待定系数法进行计算即可解答；
（2）令下边缘抛物线的解析式为y＝﹣0.1（x﹣m）2+1.6，然后将（0，1.2）代入得：1.2＝﹣0.1m2+1.6，从而求出m的值，再令B的坐标为（x，0），最后代入表达式进行计算即可解答．
【解答】解：（1）由题意得：C（0，1.2），顶点A（2，1.6），
令y＝a（x﹣2）2+1.6
将（0，1.2）代入得：1.2＝4a+1.6，
解得：a＝﹣0.1，
∴y＝﹣0.1（x﹣2）2+1.6；
（2）令下边缘抛物线的解析式为y＝﹣0.1（x﹣m）2+1.6，
将（0，1.2）代入得：1.2＝﹣0.1m2+1.6，
解得：m1＝2（舍去），m2＝﹣2，
y＝﹣0.1（x+2）2+1.6，
令B的坐标为（x，0），
0＝﹣0.1（x+2）2+1.6，
解得x1＝2，x2＝﹣6（舍去），
∴点B的坐标为（2，0）．
【点评】本题考查了二次函数的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键．
26．（10分）问题探究
（1）如图1，已知△ABC中，AB＝6，点D是BC上一点，且满足BD＝4，∠ADB＝∠BAC，则CD＝ 5 ；
问题解决
（2）如图2，“三秦四季•汉中有约”2025年最美油菜花汉中旅游文化节已于3月20日启幕．为深度开发旅游，现将在这片足够大的菱形花海上修建“醉美长廊”，按照设计要求，需要修建两条笔直的长廊（长廊宽度忽略不计），点P为活动区内一观景台，且满足AB=73，∠DAB＝60°，△DCP的面积为10534，∠PAB+∠PBA＝60°，请求出“醉美长廊”PA+PB的值．
【分析】（1）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，利用题意，即可得到∠ACB＝∠BAD，接下来在△ABC和△ABD中分别利用正弦定理：asinA=bsinB=csinC，即可求出CD；
（2）首先根据菱形的内角和边长求出菱形的高，即EF的长，再根据△DCP的面积，求出PF的长，进而求出PE，接下来在△PAB中利用正弦定理：asinA=bsinB=csinC，可得 PA＝14sinα，PB＝14sin（60°﹣α），即PA+PB＝14sinα+14sin（60°﹣α）再利用利用两角和与差的正弦公式：sin（α﹣β）＝sinαcsβ﹣csαsinβ，sin（α+β）＝sinαcsβ+csαsinβ，可得 PA+PB＝14sin（α+60°） 再结合PE＝PBsinα＝3，可得sin(2α+30°)=1314，和二倍角的余弦公式：cs2α＝1﹣2sin2α，诱导公式：cs(π2+α)=−sinα，即sin（α+60°）的值，得PA+PB=321．
【解答】解：（1）∵∠ADB＝∠BAC，∠ADB＝∠ACB+∠CAD，∠BAD＝∠BAD+∠CAD，
∴∠ACB＝∠BAD，在△ABC中，
由正弦定理可得：BCsin∠BAC=ABsin∠ACB，
则CD+4sin∠BAC=6sin∠ACB，
即sin∠ACBsin∠BAC=6CD+4，
同理在△ABD中，可得ABsin∠ADB=BDsin∠BAD，
则6sin∠ADB=4sin∠BAD，
即sin∠BADsin∠ADB=46，
∴6CD+4=46，
解得CD＝5．
故答案为：5；
（2）如图过P点作EF⊥AB，过D点作菱形的高DG，
∵AB∥CD，
∴EF⊥CD，即EF为菱形ABCD的高，
又∵∠DAB＝60°，AB＝73，
∴EF＝DG＝AD•sin 60°＝AB×32=73×32=212，
∵S△DCP=12PF•DC=12×73PF=10534，
解得PF=10514，
则PE=EF−PF=212−10514=3，
∵∠PAB+∠PBA＝60°，∠ABP＝180°﹣（∠PAB+∠PBA）＝180°﹣60°＝ 120°，
设∠PBA＝α，则∠PAB＝60°﹣α，
在△APB中，根据正弦定理，得 PAsinα=PBsin(60°−α)=ABsin120°=7332=14，
∴PA＝14sinα，PB＝14sin（60°﹣α），
则∴PA+PB＝14sinα+14sin（60°﹣α），
＝14sinα+14（sin60°csα﹣cs60°sinα），
=14sinα+14(32csα−12sinα)，
=1+sin(2α+30°)2=1+13142=2728，
∵0°＜α＜90°，
∴60°＜α+60°＜150°，
∴sin(α+60°)=2728=32114，
PA+PB=14sin(α+60°)=14×32114=321．
【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，菱形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
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七年级
八年级
平均数
85
85
中位数
86
b
众数
a
79
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B．
A．
C
B
D
A
C
D
A
B
C
D
E
A
（A，B）
（A，C）
（A，D）
（A，E）
B
（B，A）
（B，C）
（B，D）
（B，E）
C
（C，A）
（C，B）
（C，D）
（C，E）
D
（D，A）
（D，B）
（D，C）
（D，E）
E
（E，A）
（E，B）
（E，C）
（E，D）
年级
七年级
八年级
平均数
85
85
中位数
86
b
众数
a
79