河北省邢台市名校协作体2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试题（Word版附解析）

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试卷满分：150 考试时间：150 分钟
一､单项选择题
1. 5 位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同报名方法有（ ）
A. 10 种 B. 20 种 C. 25 种 D. 32 种
【答案】D
【解析】
【分析】由分步乘法原理计算．
【详解】由题意，每个同学有 2 种选择，故不同报名方式为 .
故选：D
2. 下列说法中，错误的命题是（ ）
A. 在刻画回归模型的拟合效果时， 的值越大，说明拟合的效果越好
B. 线性相关系数 越大，两个变量的线性相关性越强，反之，线性相关性越弱
C. 设随机变量 服从正态分布 ，则
D. 对分类变量 与 ，若计算出的 越大，则判断“ 与 有关系”的犯错误的概率越小
【答案】B
【解析】
【分析】由 的值与回归模型的关系可判断 A 选项；由相关系数的概念可判断 B，利用正态分布密度曲线
的对称性可判断 C 选项；利用独立型检验可判断 D 选项.
【详解】对于 A：在刻画回归模型的拟合效果时， 的值越大，说明拟合的效果越好，正确；
对于 B：线性相关系数 越大，两个变量的线性相关性越强，反之，线性相关性越弱，错误；
对于 C：由正太密度曲线的对称性可知： ，正确；
对于 D：对分类变量 与 ，若计算出的 越大，则判断“ 与 有关系”的犯错误的概率越小，正确.
故选：B
3. 某班要从 8 名班干部（其中 5 名男生，3 名女生）中选取 3 人参加学校优秀班干部评选，事件 ：男生
甲被选中，事件 ：有两名女生被选中，则 为（ ）
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A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】计算出事件 、 的概率，利用条件概率公式可求得 的值.
【详解】由题意可得 ，
事件 男生甲与两名女生被选中，则 ，
因此， .
故选：B.
4. 已知 ，则 为（ ）
A. 180 B. 150 C. 120 D. 200
【答案】A
【解析】
【分析】由 ，结合通项公式即可求解.
【详解】因 ，
其通项公式为： ，
令 ，可得： .
故选：A
5. 从 5 位同学中选派 4 位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有 2 人参
加，星期六、星期日各有 1 人参加，则不同的选派方法共有
A. 40 种 B. 60 种 C. 100 种 D. 120 种
【答案】B
【解析】
【详解】根据题意，首先从 5 人中抽出两人在星期五参加活动，有 种情况，
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再从剩下的 3 人中，抽取两人安排在星期六、星期日参加活动，有 种情况，
则由分步计数原理，可得不同的选派方法共有 =60 种.
故选 B．
6. 已知随机变量 的分布列如下，则 的最大值为（ ）
X 1 2 3
P a b 2b—a
A. B. 3
C. 6 D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】根据概率和为 得到求得 ，根据分布列求得 ，求 的最大值，再求
的最大值即可.
【详解】因为分布列中概率和为 ，故可得 ，解得 ，
又 ，
则 ，
又 ，故可得 ，
则当 时， 的最大值为 ，
又 ，故 的最大值为 .
故选：C.
7. 从非洲蔓延到东南亚的蝗虫灾害严重威胁了国际农业生产，影响了人民生活．世界性与区域性温度的异
常、旱涝频繁发生给蝗灾发生创造了机会．已知蝗虫的产卵量 与温度 的关系可以用模型 （其
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中 为自然底数）拟合，设 ，其变换后得到一组数据：
由上表可得线性回归方程 ，则当 时，蝗虫的产卵量 的估计值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据表中的数据求出 ，代入 中求出 的值，从而可得 ，而
，所以 ，则可求得 ，再将 代入可求得答案
【详解】由表格数据知： ， ，
代入 ，得 ，
，即 ，
， 时， ，
故选：B．
8. 已知甲盒中有 2 个球且都为红球，乙盒中有 3 个红球和 4 个蓝球，从乙盒中随机抽取 个球放入
甲盒中
（1）放入 个球后，甲盒中含有红球的个数记为 ；
（2）放入 个球后，从甲盒中取 1 个球是红球的概率记为 ，则（ ）
A B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求得两种情况下的 , , ,比较可得结论.
【详解】从乙盒中取 1 个球时，甲盒红球个数记为 ，则 的所有可能取值为 2，3，
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则
从乙盒中随机抽取 1 个篮球放入甲盒中的概率是 ,乙盒中随机抽取 1 个红球放入甲盒中的概率是 ,
从乙盒中取 2 个球时，甲盒红球数记为 ，则 的可能取值为 ，
,
．
故选：A．
二､多项选择题
9. 在某次数学测试中，学生 成绩 ，则（ ）
A. B. 若 越大，则 越大
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据正态曲线的对称性结合选项逐个分析可得答案.
【详解】因为 ，所以 ，A 正确；
当 时， ，当 时， ，B 不正确；
因为 ，所以 ，C 正确；
根据正态曲线的对称性 ，D 不正确.
故选：AC.
10. 下列选项中正确的有（ ）.
A. 随机变量 ，则
B. 将两颗骰子各掷一次，设事件 “两个点数不相同”， “至少出现一个 6 点”，则概率
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C. 口袋中有 7 个红球、2 个蓝球和 1 个黑球.从中任取两个球，记其中含红球的个数为随机变量 .则 的数
学期望
D. 已知某种药物对某种疾病的治愈率为 ，现有 3 位患有该病的患者服用了这种药物，3 位患者是否会被
治愈是相互独立的，则恰有 1 位患者被治愈的概率为
【答案】AC
【解析】
【分析】对于 A，利用二项分布定义求解即可；对于 B，代入条件概率公式即可；对于 C，写出 的所有可
能取值，列出分布列计算即可；对于 D，代入 次独立重复试验中恰好发生 次的概率公式即可．
【详解】对于 A， 随机变量 服从二项分布 ， ．
则 ，故 A 正确；
对于 B，根据条件概率的含义， 其含义为在 发生的情况下， 发生的概率，
即在“至少出现一个 6 点”的情况下，“两个点数都不相同”的概率，
“至少出现一个 6 点”的情况数目为 ，
“两个点数都不相同”则只有一个 6 点，共 种，
故 ，故 B 错误；
对于 C， 的所有可能取值为 0，1，2，
，
可得 ， ， ．
的分布列
0 1 2
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，故 C 正确；
对于 D，某种药物对某种疾病的治愈率为 ，现有 3 位患有该病的患者服用了这种药物，3 位患者是否会被
治愈是相互独立的，则恰有 1 位患者被治愈的概率为 ，故 D 错误．
故选：AC．
【点睛】本题考查了二项分布、条件概率、相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式、 次独立重复
试验中恰好发生 次的概率等，知识点较多，但难度不大，仔细分析每一个选项即可．
11. 已知红箱内有 6 个红球、3 个白球，白箱内有 3 个红球、6 个白球，所有小球大小、形状完全相同．第
一次从红箱内取出一球后再放回去，第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回
去，依此类推，第 次从与第 k 次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去．记第 次取出
的球是红球的概率为 ，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. 第 5 次取出的球是红球的概率为 D. 前 3 次取球恰有 2 次取到红球的概率是
【答案】AC
【解析】
【分析】依题意求出 ，设第 次取出球是红球的概率为 ，则白球概率为 ，即可求出第 次取
出红球的概率，即可得到 ，从而可判断各个选项.
【详解】依题意 ，
设第 次取出球是红球的概率为 ，则白球概率为 ，
对于第 次，取出红球有两种情况．
①从红箱取出的概率为 ，②从白箱取出的概率为 ，
对应 ，即 ，故 B 错误；
所以 ，
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令 ，则数列 为等比数列，公比为 ，因为 ，所以 ，
故 ，所以 ， 故选项 A，C 正确；
第 1 次取出球是红球的概率为 ，第 2 次取出球是红球的概率为 ，
第 3 次取出球是红球的概率为 ，
前 3 次取球恰有 2 次取到红球的概率是 ，
故 D 错误；
故选：AC．
三､填空题
12. 若 的二项展开式中，所有二项式系数和为 ，则该展开式中的常数项为________．
【答案】15
【解析】
【详解】试题分析：在二项展开式 中二项式系数和为 ，故 ， ，展开式通项为
，要求常数项，则令 ， ，因此常数项为 .
考点：二项展开式的通项与二项式系数.
13. 某学校组织学生进行答题比赛，已知共有 4 道 类试题，8 道 类试题，12 道 类试题，学生从中任选
1 道试题作答，学生甲答对 这 3 类试题的概率分别为 ， ， .若学生甲答对了所选试题，则这道
试题是 类试题的概率为_____________.
【答案】
【解析】
【分析】利用全概率公式及条件概率公式计算可得.
【详解】设学生选 道 类试题为事件 ，学生选 道 类试题为事件 ，学生选 道 类试题为事件 ，
设学生答对试题为事件 ，则 ， ， ，
， ， ，
所以 ，
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所以 .
故答案为：
14. 某次大型联考 10000 名学生参加，考试成绩（满分 100 分）近似服从正态分布 （其中
和 分别为样本的均值和标准差），若本次考试平均成绩为 65 分，87 分以上共有 228 人，学生甲的成绩为
76 分，则学生甲的名次大致是__________名.
附：若随机变量 服从正态分布 ，则 ，
【答案】1587
【解析】
【分析】由本次模拟考试成绩都近似服从正态分布 ， ，87 分以上共有 228 人，结合 原
则，求得 ，再由甲市学生 在该次考试中成绩为 76 分，且 ，利用概率公式求解
即得.
【详解】已知本次模拟考试成绩都近似服从正态分布 ，
由题意可得 ．
，而
即 ，解得 ．
甲市学生 在该次考试中成绩为 76 分，且 ，
又 ，即 ．
学生 在甲市本次考试的大致名次为 1587 名．
故答案 ：1587
四､解答题
15. 用 0，1，2，3，4，5 这六个数字，能组成多少个符合下列条件的数字？（运算结果以数字作答）
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（1）无重复数字的四位偶数；
（2）无重复数字且为 5 的倍数的四位数；
（3）无重复数字且比 1230 大的四位数．
【答案】（1） 个
（2） 个
（3） 个
【解析】
【分析】（1）分个位数字为 0，2，4，三种情况分别应用排列计算结合分类加法原理计算即可；
（2）分个位数字为 0，5，两种情况分别应用排列计算结合分类加法原理计算即可；
（3）分首位数字，百位数字，十位数字，个位数字比 1230 大分类讨论列排列数结合加法原理计算求解.
【小问 1 详解】
符合要求的四位偶数可分为两类．
第一类，0 在个位时有 个；
第二类，2 或 4 在个位时，首位从 1，3，4（或 2），5 中选（有 种情况），十位和百位从余下的数字中选
（有 种情况），于是有 个．
由分类加法计数原理知，共有四位偶数 （个）．
【小问 2 详解】
符合要求的数可分为两类：第一类：0 在个位时有 个；
第二类：5 在个位时有 个．
故满足条件的四位数共有 （个）．
【小问 3 详解】
符合要求的比 1230 大的四位数可分为四类：
第一类：形如 2□□□，3□□□，4□□□，5□□□，共有 个；
第二类：形如 13□□，14□□，15□□，共有 个；
第三类：形如 124□，125□，共有 个；
第四类：形如 123□，共有 个．
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由分类加法计数原理知，
无重复数字且比 1230 大的四位数共有 （个）．
16. 已知在 的展开式中，前 3 项的系数分别为 ，且满足 .求：
（1）展开式中二项式系数最大项的项；
（2）展开式中系数最大的项；
（3）展开式中所有有理项.
【答案】（1）
（2） 和
（3） 和
【解析】
【分析】(1)由二项式展开式通项公式，结合条件列方程求 ，再由二项式系数的性质求二项式系数最大的
项；
(2)设第 项系数最大，列不等式组求 ，由此确定系数最大的项；
(3)根据有理项的定义确定有理项的项数，再求有理项.
【小问 1 详解】
因为 展开式的通项公式为 ， ，
所以
依题意得 ，即 ，由已知 ,
所以 ，
所以 的展开式有 9 项，二项式系数最大的项为第 5 项，
所以 .
【小问 2 详解】
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由（1）知， ，
设展开式中系数最大的项为第 项，则 ，
即 ，即 ，
解得 ，所以 或 ，
所以展开式中系数最大的项为 和 .
【小问 3 详解】
由 为有理项知， 为整数，得 ， ，
所以展开式中所有有理项为 和 .
17. 某市为吸引大学生人才来本市就业，大力实行人才引进计划，提供现金补贴，为了解政策的效果，收集
了 2011-2020 年人才引进就业人数数据（单位：万），统计如下（年份代码 1-10 分别代表 2011-2020 年）其
中 ， ， ,
.
年份代码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
引进人数 3.4 5.7 7.3 8.5 9.6 10.2 10.8 11.3 11.6 11.8
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（1）根据数据画出散点图，并判断， ， ， 哪一个适合作为该市人才引进
就业人数 y 关于年份 代码 x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
5.5 9.02 2.14 1.51 82.5
4.84 72.2 9.67 18.41
（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立 y 关于 x 的回归方程；（所有过程保留两位小数）
（3）试预测该市 2022 年的人才引进就业人数.
参考公式： ， .
【答案】（1）答案见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据数据直接做图，并根据图判断函数类型；
（2）根据回归方程计算公式和已知数据求解即可得出方程；
（3）将 代入回归方程即可求解．
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【小问 1 详解】
图像
适合作为该市人才引进就业人数 y 关于年份 代码 x 的回归方程类型
【小问 2 详解】
（2）
【小问 3 详解】
（3）将 x=12 代入得 ．
18. 2021 年 7 月，台风“烟花”导致多地受灾，某调查小组调查了某受灾小区的 100 户居民由于台风造成的经
济损失(单位：元)，将收集的数据分成 ， ， ， ，
五组，并作出如图所示的频率分布直方图．
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（1）遭受台风后居委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小张调查的 100 户居民捐款情况如下表所示，在
表格空白处填写正确数字，并判断能否在小概率值α＝0.05 的独立性检验下，认为捐款数额超过或不超过 500
元和自家经济损失是否超过 4 000 元有关；
项目 经济损失不超过 4 000 元 经济损失超过 4 000 元 总计
捐款超过 500 元 60
捐款不超过 500 元 10
总计 100
（2）将上述调查所得的频率视为概率，现在从该地区大量受灾居民中，采用随机抽样的方法每次抽取 1 户
居民，抽取 3 次，记被抽取的 3 户居民中自家经济损失超过 4000 元的户数为 ，若每次抽取的结果是相互
独立的，求ξ的分布列，期望 和方差 ．
附： ，n＝a＋b＋c＋d.
α 0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
【答案】（1）表格数据见解析，能
（2）分布列见解析， ，
【解析】
【分析】（1）由频率分布直方图可得，在抽取 100 户中，经济损失不超过 4000 元的有 70 户，经济损失超
过 4000 元的有 30 户，可补全表格数据；零假设 ：捐款数额超过或不超过 500 元和自家经济损失是否超
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过 4000 元无关，计算出 参照附值表可得答案；
（2）由频率分布直方图可知抽到自家经济损失超过 4000 元的居民的频率为 0.3，将频率视为概率，求出
的可能取值且 ，可得分布列及 、 .
【小问 1 详解】
由频率分布直方图可得，在抽取的 100 户中，经济损失不超过 4000 元的有 70 户，经济损失超过 4000 元的
有 30 户，补全表格数据如下：
项目 经济损失不超过 4 000 元 经济损失超过 4 000 元 总计
捐款超过 500 元 60 20 80
捐款不超过 500 元 10 10 20
总计 70 30 100
零假设 ：捐款数额超过或不超过 500 元和自家经济损失是否超过 4000 元无关，
则 ，
根据小概率值 的独立性检验，可以认为 不成立，即认为捐款数额超过或不超过 500 元和自家经
济损失是否超过 4000 元有关；
【小问 2 详解】
由频率分布直方图可知抽到自家经济损失超过 4000 元的居民的频率为 0.3，将频率视为概率，由题意知 的
可能取值为 0，1，2，3，且 ，
，
，
，
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，
从而ξ的分布列为：
0 1 2 3
P
， .
19. 某校在 90 周年校庆到来之际，为了丰富教师的学习和生活，特举行了答题竞赛．在竞赛中，每位参赛
教师答题若干次，每一次答题的赋分方法如下：第 1 次答题，答对得 20 分，答错得 10 分，从第 2 次答题
开始，答对则获得上一次答题所得分数两倍的得分，答错得 10 分，教师甲参加答题竞赛，每次答对的概率
均为 ，每次答题是否答对互不影响.
（1）求甲前 3 次答题的得分之和为 70 分的概率．
（2）记甲第 i 次答题所得分数 的数学期望为 ．
（ⅰ）求 ， ， ，并猜想当 时， 与 之间的关系式；
（ⅱ）若 ，求 n 的最小值．
【答案】（1）
（2）（ⅰ） ；（ⅱ）
【解析】
【分析】（1）由题意，得到前 3 次的得分分别为 20（对），40（对），10（错）或 10（错），20（对），40（对），
进而求得得分之和为 70 分的概率；
（2）（ⅰ）根据题意，分别求得 ， ， ，结合题意，得到
，即可完成猜想；
（ⅱ）由（i）得到 为等差数列，求得 ，结合 和
，即可求解.
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【小问 1 详解】
解：由题意，前 3 次的得分分别为 20（对），40（对），10（错）或 10（错），20（对），40（对），所以甲
前 3 次答题的得分之和为 70 分的概率为 .
【小问 2 详解】
解：（ⅰ）甲第 1 次答题得分 20 分，10 分的概率分别为 ，则 ，
甲第 2 次答题得分 40 分，20 分，10 分的概率分别为 ，
则 ，
甲第 3 次答题得分 80 分，40 分，20，10 嗯分的概率分别为 ，
则 ，
当 时，因为甲第 次答题所得分数 的数学期望为 ，
所以第 次答对题所得分数为 ，答错题所的分数为 分，其概率为 ，
所以 ，
可猜想： .
（ⅱ）由（i）知数列 是以 15 为首项，5 为公差的等差数列，
根据等差数列的求和公式，可得 ，
当 时， ，当 时， ，
所以实数 的最小值为 .
【点睛】方法点睛：对于离散型随机变量的期望与方差的综合问题的求解策略：
1、理解随机变量 意义，写出 可能取得得全部数值；
2、根据题意，求得随机变量 的每一个值对应的概率；
3、列出随机变量 的分布列，利用期望和方差的公式求得数学期望和方差；
4、注意期望与方差的性质 的应用；
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