陕西省西安市铁一中学2024-2025学年八年级下学期第一次月考 数学试题（含解析）

这是一份陕西省西安市铁一中学2024-2025学年八年级下学期第一次月考 数学试题（含解析），共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．年第九届亚洲冬季运动会会徽“超越”，将中国文化与奥林匹克元素结合，传递出新时代中国加快体育强国建设，向更高、更快、更强的目标不懈努力的理念．下列选项中能通过如图所示的图形平移得到的是（ ）
A．B．
C．D．
2．若，则下列不等式不一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．如果等腰三角形的一个内角是，则它的另外两个内角分别是（ ）
A．和B．和C．和D．和
4．玲玲在用反证法证明“中至少有一个内角小于或等于”时，她应先假设这个三角形中（ ）
A．有一个内角大于B．有一个内角大于等于
C．每一个内角都大于D．每一个内角都小于
5．把不等式的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于点，，若，则的长是（ ）
A．B．C．D．
7．某校准备组织名学生进行野外考查活动，行李共有件．学校计划租用甲、乙两种型号的汽车共辆，经了解，甲种汽车每辆最多能载人和件行李，乙种汽车每辆最多能载人和件行李．设租用甲种汽车辆，下列符合题意的不等式组是（ ）
A．B．
C．D．
8．如图，在中，边，的垂直平分线交于点．若，则是（ ）
A．B．C．D．
9．如果不等式组有且只有个整数解，那么的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
10．如图，在中，与的平分线相交于点H，，点D在AC的延长线上，交BC于F，交AB于G，连接CH．下列结论，①；②；③BH垂直平分CE；④；⑤．其中正确的有（ ）
A．①②④B．①②③⑤C．①③④⑤D．①②③④⑤
二、填空题（本大题共6小题）
11．命题“若，则”的逆命题是 命题（填“真”“假”）．
12．不等式的所有非负整数解的和是 ．
13．将点向左平移个单位，向下平移个单位得到点，则点的坐标是 ．
14．如图，在网格中，A、B是两个格点，若C也是格点，且是等腰三角形，则满足条件的C有 个．
15．如图，直线与直线相交于点，则不等式的解集为 ．
16．如图，在中，，，点O为的中点，D、E是边上的两个动点（点D在点E的左侧），且，连接，，则的最小值为 ．

三、解答题（本大题共8小题）
17．解不等式：
(1)；
(2)．
18．解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
19．如图，某小区要在道路，之间的区域内修建一座凉亭，按照设计要求，凉亭到区域内的两个娱乐区，的距离相等，且到两条道路，的距离也相等，请在图中标出凉亭的位置．（要求：尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．）
20．如图，，是的高，且．

(1)求证：是等腰三角形；
(2)若，，求的面积．
21．已知关于，的方程组的解，均为负数．
(1)求的取值范围；
(2)在的取值范围内，当取何整数时，不等式的解集为？
22．如图，点，分别在的边，上，的平分线与的垂直平分线交于点，于点，于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
23．某火锅店为吸引客户，推出两款双人套餐，下表是近两天两种套餐的收入统计：
(1)求这两款套餐的单价；
(2)A套餐的成本约为45元，B套餐的成本约为50元，受材料和餐位的限制，该火锅店每天最多供应50个套餐，且A套餐的数量不少于B套餐数量的，求火锅店每天在这两种套餐上获得的最大利润．
24．问题探究：
(1)如图1，在中，，是边上的点，过点作于，则的值为_________；
(2)如图2，在等腰直角中，，，是边的中点，若是边上一点，试求：的最小值；
(3)如图3，为等边三角形，为中点，连接，以为斜边向上作等腰，为线段上的一个动点，连接，若，则当取最小值时，_______．
四、填空题（本大题共4小题）
25．如图，已知：四边形中，对角线平分，，，并且，那么的度数为 ．
26．如果关于x的不等式组有且只有3个奇数解，且关于y的方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数a的积为 ．
27．在中，，，点D是的中点，点P是内一点，且，连接是的中点，则的最小值是 ．
28．如图，在中，，D是边上的一点，，，则的度数为 ．
参考答案
1．【答案】C
【分析】根据平移只改变图形的位置，不改变图形的大小和方向，即可判断．
【详解】解：由平移性质可知，选项C符合题意，选项A、B、D不符合题意，
故选C．
2．【答案】D
【分析】不等式的基本性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；据此解答即可．
【详解】解：A、若，则，故本选项正确，不符合题意；
B、若，则，故本选项正确，不符合题意；
C、若，则，故本选项正确，不符合题意；
D、若，不等式不一定成立，故本选项错误，符合题意；
故选D．
3．【答案】B
【分析】因为三角形的内角和为，所以只能为顶角，根据等腰三角形的性质从而可求出底角．
【详解】解：∵等腰三角形的一个内角是，
∴为三角形的顶角，
∴底角为：，
即其余两个内角的度数分别为，．
故选B．
4．【答案】C
【分析】“至少有一个”的否定为“没有一个”，据此即可求解．
【详解】解：∵“至少有一个”的否定为“没有一个”，
∴应假设这个三角形中没有一个内角小于或等于，
即：这个三角形中每一个内角都大于，
故选C
5．【答案】A
【分析】利用数轴表示不等式的解集，先通过移项，合并同类项求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．
【详解】解：，
，
，
，
不等式的解集表示在数轴上为，
故选A．
6．【答案】D
【分析】先根据垂直平分线的性质得到，推出，由三角形外角的性质得到，然后利用含角的直角三角形的性质求解即可．
【详解】解：是线段的垂直平分线，
，
，
．
，
．
故选D．
7．【答案】A
【分析】设租用甲种汽车辆，则租用乙车是辆，根据行李和学生人数列不等式组即可求解．
【详解】解：设租用甲种汽车辆，则租用乙车是辆，对于人数需要满足：，
对于行李则要满足：，
故选A．
8．【答案】A
【分析】连接，根据三角形内角和定理得到，根据线段垂直平分线的性质得到，，根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：连接，
，
，
，
，的垂直平分线交于点，
，，
，，
，
故选A．
9．【答案】B
【分析】先求得已知不等式组的解集，进而得到关于的不等式组，然后解不等式组即可求解．
【详解】解：解不等式组，得，
不等式组有且只有个整数解，
，
解得：，
故选B．
10．【答案】D
【分析】①利用角平分线的定义和三角形外角的性质，即可得到结论；②根据角平分线的性质和三角形的面积公式即可求出结论；③根据线段垂直平分线的性质即可得结果；④根据角平分线的性质和平行线的性质即可得到结果；⑤由④的结论得，根据平分与平行条件可得，则可得出．
【详解】解：，
故①正确；
∵平分，
∴H到，的距离相等，
∴，故②正确；
∵，平分，
∴垂直平分（三线合一），故③正确；
∵与的平分线相交于点H，
∴点H到，的距离相等，点H到，的距离相等，
∴点H到，的距离相等，
∴点H也位于的平分线上，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，故④正确；
由④得：，
∴，
∵平分，，
∴，
∴，
，故⑤正确；
综上可知，①②③④⑤正确．
故选D．
11．【答案】假
【分析】先写出逆命题，然后再判断真假即可．
【详解】解：∵若，则，
∴逆命题为：如果，那么，
当，时，，
∴逆命题是假命题
12．【答案】
【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为1得出不等式的解集，从而得出答案．
【详解】解：
不等式的非负整数解为，，
不等式的非负整数解之和为
13．【答案】
【分析】平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．让的横坐标减，纵坐标减，即可得到点的坐标．
【详解】解：根据题意，点的横坐标为：，纵坐标为，
点的坐标是
14．【答案】8
【分析】根据等腰三角形的性质和判定，分三种情况讨论：当时；当时；当时．分别作出符合条件的图即可解答．
【详解】解：如图：
分情况讨论：
当时，以点A为圆心，以长为半径作圆，交正方形网格的格点为，；
当时，以点B为圆心，以长为半径作圆，交正方形网格的格点为，；
当时，作的垂直平分线，交正方形网格的格点为，，，．
综上所述：若C也是格点，且是等腰三角形，则满足条件的C有8个．
15．【答案】
【分析】先求出直线与轴的交点坐标，再结合直线与直线相交于点，即可求解．
【详解】解：在直线中，令，则，
解得：，
直线与轴的交点坐标为，
直线与直线相交于点，
的解集为
16．【答案】
【分析】在右边取点，使，，连接，作点关于的对称点，连接，，则四边形是平行四边形，得到，由对称可得，可以得到，当、、三点共线时，最小，然后利用勾股定理计算的长即可．
【详解】解：在右边取点，使，，连接，作点关于的对称点，连接，，

∴四边形是平行四边形，
∴，
由对称可得，
∴，
∴当、、三点共线时，最小，
过作于，于，则，

∵在中，，，
∴，，
∴，
∴，
∵点O为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
由对称可得，，
∴四边形和都是矩形，
∴，，，，
∴
∴，
∴最小值
17．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）去括号，合并同类项，即可求出不等式的解集；
（2）去分母，去括号，合并同类项，即可求出不等式的解集．
【详解】（1）解：
（2）解：
18．【答案】，数轴表示见解析
【分析】分别求出每一个不等式的解集，然后把解集表示在数轴上，根据数轴即可确定不等式的解集．
【详解】解：，
由得，
由得，
则不等式组的解集为，
在数轴上表示：
19．【答案】见解析
【分析】由线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，所以凉亭在线段的垂直平分线上，再利用尺规作线段的垂直平分线，由角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，所以凉亭在两条公路夹角的角平分线上，再利用尺规作公路夹角的角平分线，则这两条线的交点即为点，从而可得答案．
【详解】解：分别作出公路夹角的角平分线和线段的垂直平分线，它们的交点为，则点就是凉亭的位置．
20．【答案】(1)见解析；
(2)．
【分析】（）由“”可证，可得，再根据等腰三角形的定义即可求解；
（）由直角三角形的性质可求的长，最后由勾股定理可求解
【详解】（1）证明：∵，是的高，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∴
∴的面积．
21．【答案】(1)
(2)可取的整数值为或或
【分析】（1）先求出方程组的解，进而得到关于的不等式组，即可求解；
（2）由题意可得，求出，结合得到，即可求解．
【详解】（1）解：
得：
，
将代入①得：
，
原方程组的解为，
关于，的方程组的解，均为负数，
，
解得：；
（2）不等式的解集为
，
，
，
，
可取的整数值为或或．
22．【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，，由线段垂直平分线的性质可得，根据角平分线的性质可得，，证明，根据全等三角形的性质即可得证；
（2）根据角平分线的性质可得，，证明，得到，推出，结合 ，
即可求解．
【详解】（1）证明：连接，，
垂直平分，
，
，，平分，
，，
，
；
（2），，平分，
，，
，
，
，
，
由（1）知，，
．
23．【答案】(1)套餐销售单价为元，套餐销售单价为元
(2)元
【分析】（1）设套餐销售单价为元，套餐销售单价为元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）设售出套餐个，总利润为w元，根据题意得出，然后根据一次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：设套餐销售单价为元，套餐销售单价为元，
根据题意，得
解得
答∶A套餐销售单价为元，套餐销售单价为元；
（2）设售出套餐个，总利润为w元，
则
套餐的数量不少于套餐数量的，即，
，，
随的增大而减小，为正整数，
当时，最大，的最大值为元．
24．【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据含角的直角三角形的性质，即可求解；
（2）作，于，于交于，利用等腰直角三角形的性质得到，，再求出，得到，由此得到最小值为的长，计算即可得到答案；
（3）过点作于点，过点作于点，作于点，且交于点，根据等边三角形的性质可得：，，求出，由等腰直角三角形的性质可得：，得到，当、、三点共线，即点与点重合时，最小，推出，得到，进而得到，最后根据，即可求解．
【详解】（1）解：，，
，
，
故答案为：；
（2）如图3中，作，于，于交于．
是等腰直角三角形，，
，，
点是的中点，
，
，，
，
，，
，
，，
，，
，，
，
，
，
根据垂线线段最短可知，当点与重合时，的值最小，最小值为，，
即的最小值为；
（3）如图3，过点作于点，过点作于点，作于点，且交于点，
为等边三角形，为中点，，
，，
，，
以为斜边向上作等腰，
，
，，
，
，
当、、三点共线，即点与点重合时，最小，最小值为，
，，
，
，
，
25．【答案】/31度
【分析】延长和，过点作于点，过点作于点，根据是的平分线可得出，故，过点作于点，可得出，从而，进而得出为的平分线，得出，再根据即可得出结论．
【详解】解：延长和，过点作于点，过点作于点，
是的平分线，
在与中，
，
，
，
又，
，
，
为的平分线，
过点作于点，
∵，
．
∴，
为的平分线，
∵，
，
在中，，，
，
，
，
．
26．【答案】
【分析】根据不等式组有且只有3个奇数解可以确定这三个奇数解是1，3，5，即可得到，解得，由关于y的方程的解为非负整数，可以求得满足条件的整数a的值，然后求出它们的积即可．
【详解】解：由，得，
由，得，
∵关于x的不等式组有且只有3个奇数解，
∴这三个奇数解是1，3，5，
∴，
解得，
由方程，可得，
∵方程的解为非负整数，
∴且为整数，
解得且为整数，
∴且为整数，
∴满足条件的整数a的值为，1，3，
∵，
∴符合条件的所有整数a的积为
27．【答案】
【分析】如图所示，取中点E，连接，证明得到，进而推出当三点共线时，最小，即此时最小，最小值为，在中，由勾股定理求出的长即可得到答案．
【详解】解：如图所示，取中点E，连接，
∵点D是的中点，，
∴，
∵是的中点，E是的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴当三点共线时，最小，即此时最小，最小值为，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴的最小值是
28．【答案】
【分析】在上取点E，使得，则，先证明，再证明，即可解决题．
【详解】解：∵，在上取点E，使得，则，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．套餐时间
数量
收入
A套餐
B套餐
第一天
20次
10次
2800元
第二天
15次
20次
3350元