陕西省西安市铁一中学2024-2025学年八年级下学期5月月考 数学试题（含解析）

这是一份陕西省西安市铁一中学2024-2025学年八年级下学期5月月考 数学试题（含解析），共26页。试卷主要包含了 下列运算中，错误的是等内容，欢迎下载使用。
1. 纹样作为中国传统文化的重要组成部分，是古人智慧与艺术的结晶，反映出不同时期的风俗习惯，早已融入我们的生活．下面纹样的示意图中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ）
A. 如意纹B. 冰裂纹
C. 盘长纹D. 风车纹
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查轴对称图形，中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此进行判断即可．
【详解】解：A是轴对称图形，但不是中心对称图形，则A不符合题意；
B既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，则B不符合题意；
C是轴对称图形，也是中心对称图形，则C不符合题意；
D不是轴对称图形，但它是中心对称图形，则D符合题意；
故选：D．
2. 已知 ，则下列各式中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了不等式性质的应用能力，关键是能准确理解并运用该知识进行辨别．运用不等式的性质进行逐一辨别、求解．
【详解】解：∵，
∴故A错误；
，故B错误；
，故C正确；
，故D错误
∴选项C符合题意．
故选：C．
3. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了因式分解的定义，把一个多项式化成几个整式的乘积形式叫做因式分解，据此逐一判断即可．
【详解】解：A、，这是整式乘法，不是因式分解，不符合题意；
B、，是因式分解，但是因式分解错误，不符合题意；
C、，等式右边不是积的形式，不是因式分解，不符合题意；
D、，是因式分解，符合题意；
故选：D．
4. 如图，在四边形中，对角线和相交于点O，下列条件不能判断四边形是平行四边形的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．根据平行四边形的判定定理，逐项分析判断，即可求解．
【详解】解：A、∵，，
∴四边形是平行四边形，故该选项不符合题意；
B、∵，
∴四边形平行四边形，故该选项不符合题意；
C、∵，，
∴四边形是平行四边形，故该选项不符合题意；
D、∵，，
∴四边形不一定是平行四边形，也可能是等腰梯形，故该选项符合题意；
故选：D．
5. 下列运算中，错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据分式的基本性质依次分析各选项即可判断.
【详解】A、，正确，不符合题意；
B、，正确，不符合题意；
C、 ，正确，不符合题意；
D、无法化简，故错误，本选项符合题意.
故选D．
【点睛】本题主要考查分式的约分，关键是熟练掌握分式的基本性质．
6. 如图，直线与相交于点P，点P的纵坐标为，则关于x的不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，先求得点P的横坐标，根据函数图象求得不等式的解集，进而表示在数轴上，结合选项即可求解．
【详解】解：∵直线与相交于点P，点P的纵坐标为，
∴，
解得：，即点P的横坐标为，
根据函数图象不等式的解集为，
用数轴表示为：
故选：D．
【点睛】
7. 如图，在中，对角线的垂直平分线分别交、于点E、F，连接，若的周长为24，则的周长为（ ）
A. 6B. 12C. 18D. 24
【答案】B
【解析】
【分析】由平行四边形的性质和周长得出AD+DC=12，由线段垂直平分线的性质得出AE=CE，得出△CDE的周长=AD+DC，即可得出结果．
【详解】解：∵▱ABCD周长为24，
∴AD+DC=12，
∵AC的垂直平分线交AD于点E，
∴AE=CE，
∴△CDE的周长=DE+CE+DC=DE+AE+DC=AD+DC=12，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质、三角形周长的计算；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
8. 若关于的不等式组无解，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了不等式组的解集，能熟记求不等式组的解集的规律是解此题的关键．根据求不等式组解集的规律得出答案即可．
【详解】解：关于的不等式组，即无解，
，
解得：，
故选：D．
9. 如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转得到，点、的对应点分别为点、，与相交于点，当时，则的长是（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，等角对等边，勾股定理；设，由，可推得，由旋转的性质得：，于是得到，，，由勾股定理可求解．
【详解】解：设，
，
，
由旋转的性质得：，，
，
，
，
，
，
故选：C．
10. 如图，已知四边形中，，，，点、分别是边、的中点，连接，则的长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，勾股定理的应用，作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．取的中点G，连接，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出，并求出，然后利用勾股定理列式计算即可得解．
【详解】解：如图，取的中点G，连接，
∵E、F分别是边的中点，
∴且，
且，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
二．填空题
11. 要使分式有意义，那么x的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式有意义的条件：分母不等于0；根据分式有意义的条件即可得出答案．
【详解】解：，
．
故答案为：．
12. 正六边形的内角和为___度．
【答案】720
【解析】
【详解】解：因为多边形的内角和公式：180°（n﹣2），
所以正六边形的内角和：180°×（6﹣2）=180°×4=720°．
故答案为：720
13. 如图，可以看作是沿直线平移得到的．若，两点之间的距离为，，则的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是平移的性质，关键是利用了平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．根据平移的性质，结合图形可直接求解．
【详解】解：观察图形可知：是由沿向右移动的长度后得到的，根据对应点所连的线段平行且相等，得．
所以．
故答案为：．
14. 若关于的分式方程有增根，则的值是______．
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查分式方程的增根问题，将分式方程转化为整式方程，根据方程有增根，得到，求出的值，再代入到整式方程中，求出a 的值即可．
【详解】解：，
去分母，得：，
解得
∵方程有增根，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：6．
15. 如图，在平行四边形中，过对角线上一点P作，，且，，则四边形的面积是________．
【答案】8
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握上述定理与性质是解题的关键．
利用平行四边形的性质得到，利用平行四边形的判定与性质得到，，利用相似三角形的判定与性质求得，的面积，再利用四边形解答即可．
【详解】解：∵四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴四边形，四边形，四边形，四边形为平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴，即，解得：，
∴．
∵，
∴，
∴，即，解得：，
∴．
故答案为：8．
16. 如图，在中，，，，点是中点，是直线上的一个动点，将线段绕点逆时针旋转得到，连接、，则的最小值______．
【答案】
【解析】
【分析】在上截取,连接，证明可得，得在上运动，延长交于点，得是等边三角形，作关于的对称点，则，过点作于点，交于点，过点作于点，则四边形是矩形，则，，进而分别求得，进而勾股定理，即可求解．
【详解】解：在中，，
∴，
如图，在上截取，连接，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∵将线段绕点逆时针旋转得到，
∴，，
∴，
在中，
∴，
∴，
∴在上运动，
延长交于点，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
作关于的对称点，则，过点作于点，交于点，过点作于点，则四边形是矩形，则，，
∴,，
在中，，，，
∴，
∵，
在中，，，
∴，则，
∴，
∴，
∵是上的点，
∴，当在上时，取得最小值，最小值为的长，即．
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，轴对称的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
三．解答题
17. 因式分解：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键；
（1）原式直接根据平方差公式因式分解，即可得到答案；
（2）原式提取公因式a，再运用完全平方公式进行因式分解即可
【小问1详解】
解：
【小问2详解】
解：
18. （1）不等式：
（2）解分式方程：
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，解分式方程，熟练掌握解不等式与分式方程的步骤是解题的关键；
（1）分别求出两个不等式的解集，即可求解；
（2）先去分母，把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，然后检验，即可求解．
【详解】解：
解不等式①得：
解不等式②得：
∴不等式组的解集为：
（2）方程两边同时乘以得，
解得：
当时，
∴是原方程的解
19. 先化简：，再从，0，1，2中，选一个合适的值作为x代入求值．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值和分式有意义的条件，正确将分式化简和选取合适的x的值是解答本题的关键．先化简分式，然后在确保分式有意义的前提下，确定x的值并代入计算即可．
详解】解：
，
当，时，分式无意义，
∴当时，原式
20. 尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：已知，请用尺规在边上作一点P，使得．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了作垂直平分线，垂直平分线的性质，根据题意作作的垂直平分线交于点，即可求解．
【详解】解：如图，连接，作的垂直平分线交于点，
∵，
∴
21. 如图，在中，为对角线上的两点（点在点的上方），．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）当时，且，求两点之间的距离．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查四边形综合，涉及平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，熟记平行四边形的判定与性质、勾股定理求线段长是解决问题的关键．
（1）连接交于点，如图所示，由平行四边形的性质及题中已知条件得到，从而结合对角线相互平分的四边形是平行四边形即可得证；
（2）在中，由勾股定理求出，再由平行四边形性质得到，最后由勾股定理即可得到两点之间的距离．
【小问1详解】
证明：连接交于点，如图所示：
四边形是平行四边形，
，，
，
，
即，
又，
四边形是平行四边形；
【小问2详解】
解：，，，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，两点之间的距离为．
22. 宝安区某街道对长为20千米的路段进行排水管道改造后，需对该段路面全部重新进行修整，甲、乙两个工程队将参与施工，已知甲队每天的工作效率是乙队的2倍，若由甲、乙两队分别单独修整长为800米的路面，甲队比乙队少用5天．
（1）求甲队每天可以修整路面多少米？
（2）若街道每天需支付给甲队的施工费用为0.4万元，乙队为0.25万元，如果本次路面修整预算55万元，为了不超出预算，至少应该安排甲队参与工程多少天？
【答案】（1）160米；（2）75天
【解析】
【分析】（1）设甲队每天可以修整路面x米，则乙队每天可以修整路面x米，根据“甲、乙两队分别单独修整长为800米的路面，甲队比乙队少用5天”列出方程并解答；
（2）设应该安排甲队参与工程y天，根据“每天需支付给甲队的施工费用为0.4万元，乙队为0.25万元，如果本次路面修整预算5.5万元”列出不等式并解答．
【详解】解：（1）设甲队每天可以修整路面x米，则乙队每天可以修整路面x米，
根据题意，得+5＝
解得x＝160．
经检验，x＝160是原方程的根，且符合题意．
答：甲队每天可以修整路面160米；
（2）设应该安排甲队参与工程y天，
根据题意，得0.4y+×0.25≤55
解得y≥75．
故至少应该安排甲队参与工程75天，．
【点睛】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，分析题意，找到合适的等量关系和不等关系是解决问题的关键．
23. 如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点，直线交x轴于点B，两直线交于点．
（1）求点C的坐标．
（2）在y轴右侧是否存在一点P，使以A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）存在，或
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的图象性质，点的坐标，平行四边形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据两直线交于点，则，即可作答．
（2）先求出，结合以A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形，进行分类讨论，根据对角线互相平分进行列式计算，即可作答．
【小问1详解】
解：依题意，把代入，
得，
∴，
【小问2详解】
解：存在，
依题意，交x轴于点B，
∴，
解得，
∴，
由（1）得，
∵，且以A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形，
∴当为对角线时，
则，
整理得，
∴，
∴；
∴当为对角线时，
则，
整理得，
∴，
∴；
∵点P在y轴右侧，
∴不符合题意，舍去；
∴当为对角线时，
则，
整理得，
∴，
∴；
综上：或．
24. 问题提出：（1）如图，等腰中，，，是的中点，是边上的高，是上的一动点，则的最小值为______；
问题探究：（2）如图2，在平行四边形中，，，，，是边上的动点，且，则的最小值是多少？
问题解决：（3）如图是夹角为的港湾（），岸上有一个码头，湾内有个小岛，，小岛与的距离为，与的距离为．现拟在，岸上设置，，三处游客接驳点，点在上，点，在上，且为了游客方便及安全，，之间的距离为，客船从码头出发，沿前行，最终到达小岛，请问，根据两岸接驳点的安排，是否存在最短的运输路线？若存在，请求出最短运输路线长；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）的最小值是；（3）存在最短的运输路线，最短运输路线长
【解析】
【分析】本题考查线段和差的最值问题，涉及对称的性质，矩形的判定与性质，勾股定理等知识点；
（1）连接，得到，当三点共线时，最小，在中利用勾股定理求解即可；
（2）如图，作点关于的对称点，交延长线于，在线段上取一点，使，连接，，，先证明四边形是平行四边形，得到，根据点关于的对称点，得到， ，则，当、、三点共线时，最小，中利用勾股定理求解即可；
（3）过作，，连接，得到四边形是平行四边形，，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接、，则，，得到，当、、、四点共线时，最小，中利用勾股定理求解即可．
详解】解：（1）如图，连接，
∵等腰中，，，，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴当三点共线时，最小，
∵是的中点，
∴，
中，，
∴的最小值为，
故答案为：；
（2）如图，作点关于的对称点，交延长线于，在线段上取一点，使，连接，，，
∵在平行四边形中，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，，，
∴，
∵点关于的对称点，
∴垂直平分，
∴，，
∴，
∴当、、三点共线时，最小，
中，，，则，
∴，，
中，，，
∴，
∴的最小值是；
（3）存在最短的运输路线；
过作，，连接，如图
∴四边形是平行四边形，
∴，
如图，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接、，则，，
∴，
∴当、、、四点共线时，最小，
过作于，于，交于，过作于，于，则四边形、都是矩形，
∴，，，，
∵小岛与的距离为，与的距离为，
∴，，
∵，，
∴，
∴，即在上，
∵，点关于的对称点，
∴，，，
∴是等边三角形，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
中，，，
∴，，
∴，
∵中，，，
∴，
∴最小值为，
即最短运输路线长为.
四、选做题（此题分数不计入总分）：
25. 分解因式：______．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了分组分解法因式分解，正确进行分组是解题关键．
将前两项分组后两项分组，进而提取公因式再利用平方差公式分解因式．
【详解】解：
故答案为：．
26. 若为整数，则能使分式的值为整数的为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的除法，分式的值，根据分式的除法进行计算，进而根据分式的值以及为整数，即可求解．
【详解】解：
∵分式的值为整数即为整数，为整数，
又∵，
∴，，
∴．
故答案：．
27. 如图，在中，，，，点在上，且，点在上，若平分四边形的面积，则的长度为______．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理、直角三角形的性质、全等三角形的判定及性质，先作出辅助线，根据平行四边形的性质以及边长得到的长，再根据面积平分可得到，再根据证明出的平行四边形以及勾股定理可得到结果，数形结合，作辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图，取中点，连接并延长交于点，过作于点，过作于点，如图所示：
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵平分四边形的面积，
∴经过平行四边形的中心，
∵在平行四边形中，，，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
即的长为，
故答案为：．
28. 如图，中，，，，点为内一动点，连接、，，点为的中点，连接，则的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，关键是判定，推出，由三角形三边关系定理得到．取中点K，连接，过D作交的延长线于N，证明，推出，得到，根据勾股定理得出，由勾股定理求出，由三角形三边关系定理得到，即可得到的最小值．
【详解】解：取中点K，连接，过D作交的延长线于N，
∵，
∴，
∵H是中点，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
，中，，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：．