陕西省西安市陕西师范大学附属中学2024-2025学年八年级下学期第一次月考 数学试题（含解析）

这是一份陕西省西安市陕西师范大学附属中学2024-2025学年八年级下学期第一次月考 数学试题（含解析），共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．下列各式从左到右是分解因式的是( )
A．a(x+y)＝ax+ay
B．10x2﹣5x＝5x(2x﹣1)
C．8m3n＝2m3•4n
D．t2﹣16+3t＝(t+4)(t﹣4)+3t
3．等腰三角形的两边长分别为4和8，则这个三角形的周长为（ ）
A．16B．20C．12D．16或20
4．下列分式中，属于最简分式的是（ ）
A．B．C．D．
5．若，则下列不等式不一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
6．我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，则这块沙田的面积为（ ）
A．65平方里B．60平方里C．325平方里D．30平方里
7．在平面直角坐标系中，线段是由线段经过平移得到的，已知点的对应点为，点的对应点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
8．已知，则代数式的值为（ ）
A．B．C．D．4
9．如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的等边绕O点顺时针旋转i个，得到等边．当时，顶点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
10．若关于x的不等式组只有3个整数解，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共6小题）
11．若是不等式的解，则的值可以等于 （填一个即可）．
12．如图，△ABC中，AB＝8，AC＝6，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，过O点作MN∥BC，分别交AB、AC于M、N点，则△AMN的周长为 ．
13．若分式的值为0，则x的值为 ．
14．如图，直线经过点，当时，的取值范围为 ．

15．如图，将绕点O逆时针旋转得到，，若恰好经过点A，且，，则 ．
16．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，P为对角线上一点，在边AD上方作∠QDA＝45°，且QD＝BP，连接PQ，则△PQD周长的最小值为 ．
三、解答题（本大题共9小题）
17．解不等式组：
18．分解因式：
(1)；
(2)；
(3)．
19．计算：
(1)；
(2)．
20．如图，在中，，请用尺规作图的方法，在的内部求作一点P，使得是等腰三角形，且．
21．如图，的顶点坐标分别为，，．

(1)作出将向左平移5个单位长度，再向下平移1个单位长度得到的图形；
(2)若将看成是由经过一次平移得到的，则其平移距离是 ；
(3)若关于原点O成中心对称的图形为，则的坐标为 ，的坐标为 ．
22．某学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，其营养成分表如下：
考虑到健康饮食的需求，若每份午餐需选用这两种食品共10包，并保证每份午餐中的蛋白质含量不低于，且脂肪含量要尽可能低．请通过计算，求出符合要求且脂肪含量最低的配餐方案．
23．如图，在中， 平分的外角，，垂足为点，，垂足为点，且．
(1)求证：；
(2)若，，求证：．
24．（1）初步探究：
如图1，为等腰直角三角形，，点D为边上一点，以为边作等腰直角三角形，且，连接，若，，求的面积．
（2）深入探究：
如图2，矩形为一个艺术演艺规划区域，，．在矩形内部或边上，作如下规划：点B为入口，点E为中点，点F在边上，为演员化妆区，，点P在上，，点Q在上，等边为表演舞台，和为观看区域．请问观看区域和面积之和是否为定值？如是，说明理由并求出定值；如不是，说明理由．
25．（1）如图，在中，，，平分交于点，交的延长线于点．则下列结论：①；②；③；④若，则；⑤．其中正确的结论有 ．
（2）如图，在中，，点在线段上，点在线段的延长线上，且，则的最小值是 ，此时 ．
参考答案
1．【答案】D
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D，既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
故选D．
2．【答案】B
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．
【详解】解：A、是整式的乘法，故A错误；
B、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B符合题意；
C、是乘法交换律，故C不符合题意；
D、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D不符合题意；
故选B．
3．【答案】B
【分析】分腰长为4和腰长为8两种情况进行讨论求解即可．
【详解】解：当腰长为4时，，不能构成三角形，不符合题意；
当腰长为8时，三角形的周长为：；
故选B．
4．【答案】D
【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．
【详解】解：A、，不是最简分式，不符合题意；
B、，不是最简分式，不符合题意；
C、，不是最简分式，不符合题意；
D、是最简分式，符合题意；
故选D．
5．【答案】C
【分析】根据不等式的基本性质逐一分析判断即可．
【详解】A. ∵，∴，故该选项成立，不符合题意；
B. ∵，∴ ，故该选项成立，不符合题意；
C. ∵，且，∴，故该选项不一定成立，符合题意；
D. ∵，∴，则 ，故该选项成立，不符合题意．
故选C．
6．【答案】D
【分析】直接利用勾股定理的逆定理进而结合直角三角形面积求法得出答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∴三条边长分别为5里，12里，13里，构成了直角三角形，
∴这块沙田面积为：（平方里）．
故选D．
7．【答案】A
【分析】注意左右移动改变点的横坐标，左减，右加；上下移动改变点的纵坐标，下减，上加．直接利用点的平移变化规律求解即可．
【详解】解：∵点横坐标从到，说明是向右移动了，纵坐标从2到，说明是向下移动了，
故线段是由线段经过向右移动4个单位，向下移动5个单位得到的，
∵点B的对应点的坐标为，
∴点的坐标为，即．
故选A．
8．【答案】C
【分析】将分解因式得，再将，代入计算即可．
【详解】解：因为，，
∴
，
故选C．
9．【答案】A
【分析】以O为圆心，为半径作得到将边长为1的正六边形绕点O顺时针旋转i个，即把绕点O顺时针旋转i个，与重合，利用直角三角形的性质结合勾股定理求解的坐标，从而可得答案．
【详解】解：如图以O为圆心，为半径作，
将边长为1的正六边形绕点O顺时针旋转i个，
即把绕点O顺时针旋转i个，
A旋转后对应点依次为，，……，
∵1周，
∴绕点O顺时针旋转8次回到原位置，
∵，
∴与重合，
如图：作轴于点，
∴，
在中，，，
∴，，
∴坐标为；
即的坐标为；
故选A．
10．【答案】D
【分析】先求出每个不等式的解集，根据已知进行得出m的范围即可．
【详解】解：∵，
∴解不等式组得，
又∵关于x的不等式组只有个整数解，
∴，
∴，
故选D．
11．【答案】3
【分析】根据题意可得，然后进行计算即可解答．
【详解】解：是不等式的解，
，
故，
故，
的值可以等于3
12．【答案】14．
【分析】根据角平分线的定义可得∠ABO=∠OBC，再根据两直线平行，内错角相等可得∠OBC=∠BOM，从而得到∠ABO=∠BOM，根据等角对等边的性质可得BM=OM，同理可得CN=ON，然后求出△AMN的周长=AB+AC，代入数据进行计算即可．
【详解】解：∵OB平分∠ABC，
∴∠ABO=∠OBC，
∵MN∥BC，
∴∠OBC=∠BOM，
∴∠ABO=∠BOM，
∴BM=OM，
同理可得CN=ON，
∴△AMN的周长=AM+MO+ON+AN=AM+BM+CN+AN=AB+AC，
∵AB=8，AC=6，
∴△AMN的周长=8+6=14．
13．【答案】
【分析】分子为零，分式的分母不为零．根据分式的值为零的条件得：且，即可求解．
【详解】解：根据分式的值为零的条件得：且，
解得：．
14．【答案】
【分析】根据题意结合图象首先可得的图象过点A，因此便可得的解集．
【详解】解：∵正比例函数也经过点，
∴的解集为
15．【答案】
【分析】由旋转的性质得出，，，从而得到，再求出，由三角形内角和定理求得度数，作于点，在和中，利用直角三角形的性质结合勾股定理即可求解．
【详解】解：由旋转的性质得：，，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
作于点，
在中，，，
∴，，
在中，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴
16．【答案】
【分析】根据正方形性质得出BD=，根据QD＝BP，得出C△PDQ=PQ+QD+PD=PQ+8，△PQD周长的最小，只要PQ最短，根据，得出，根据BD为正方形ABCD的对角线，得出∠ADB=45°，可证∠PDQ=∠ADB+∠QDA=45°+45°=90°，根据勾股定理PQ=即可．
【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD=4，∠A=90°，
∴BD=，
∵QD＝BP，
∴PD+DQ=DP+BP=BD=8，
∵C△PDQ=PQ+QD+PD=PQ+8，
∴△PQD周长的最小，只要PQ最短，
∵|PQ-QD|≥0，
∴，
∴，
∴，
∵BD为正方形ABCD的对角线，
∴∠ADB=45°，
∵∠QDA＝45°，
∴∠PDQ=∠ADB+∠QDA=45°+45°=90°，
∴PQ=，
∴PQ最小=，此时PD=QD，
∵PD+QD=8，
∴PD=QD=4，
∴PQ最小=，
∴△PQD周长的最小值为．
故答案为．
17．【答案】
【分析】先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集．
【详解】解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
原不等式组的解集是．
18．【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先提取公因式，再利用完全平方公式继续分解即可；
（2）先提取公因式，再利用平方差公式继续分解即可；
（3）利用平方差公式进行分解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
19．【答案】(1)
(2)
【分析】（）先把分子分母因式分解，再把除法运算化为乘法运算，然后约分即可；
（）由分式的乘除和约分计算即可；
【详解】（1）解：
；
（2）解：
，
．
20．【答案】见解析
【分析】根据题意先作的角平分线，再作线段的垂直平分线，交点即为点P．
【详解】解：如图，点P即为所作．
．
21．【答案】(1)见解析
(2)
(3)图见解析，，
【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可；
（2）利用勾股定理求解即可；
（2）利用中心对称变换的性质分别作出点，，的对应点，，即可；根据点的位置写出坐标即可
【详解】（1）解：如图，即为所作；
（2）解：∵将看成是由经过一次平移得到的，
∴平移距离是，
故答案为：；
（3）解：如图，即为所作；

其中，的坐标为，的坐标为．
故答案为：，．
22．【答案】应选用A种食品6包，B种食品4包．
【分析】设应选用A种食品a包，B种食品包，根据“每份午餐中的蛋白质含量不低于”列不等式，求出不等式的最大整数解即可．
【详解】解：设应选用A种食品a包，B种食品包，
由题意可知，．
解得：．
当选用A种食品a包时，脂肪含量（单位：g）为，
脂肪含量随a的增大而减小．
∴时既符合蛋白质的需求，又能够保证脂肪含量最少．
B种食品:（包）．
答：应选用A种食品6包，B种食品4包．
23．【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）通过证明，即可求证；
（2）证明为等腰直角三角形，进而得到为等腰直角三角形，得到即可得证．
【详解】（1）证明：∵平分的外角，，，
∴，，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴．
24．【答案】（1）6；（2）观看区域和面积之和为定值，定值为，理由见解析．
【分析】（1）先证明，得到，，推出，利用勾股定理可知的长度，从而得到的长度，然后根据三角形面积公式计算即可；
（2）作交于点R，作交的延长线于点N，作交于点M，作交于点H，过点H作交于点K，作交于点J，延长交于点T，先证明四边形是矩形，四边形是矩形，四边形是矩形，求得是等边三角形，设，，，证明，得到，设，那么，接下来利用，得到，又因为，从而计算出面积的定值．
【详解】解：（1）∵、为等腰直角三角形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）观看区域和面积之和为定值；理由如下：
作交于点R，作交的延长线于点N，作交于点M，作交于点H，过点H作交于点K，作交于点J，延长交于点T，如图所示：
∴，
又∵四边形是矩形，
∴，
∴四边形是矩形，四边形是矩形，四边形是矩形，
∴，，，，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，，，
∴，，
∵点E为中点，
∴，
∵，
∴是等边三角形，，
∴，
设，
∴，，
∵是等边三角形，，
∴，，，
∴，
即，
∵，，
∴，
又，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴
，
∴观看区域和面积之和为定值，定值为．
25．【答案】（1）①③④⑤；（2），的最小值为，．
【分析】（1）根据等腰直角三角形得到，由角平分线的定义得到，根据直角三角形两锐角互余得到，则，可判定①；如图所示，过点作于点，由角平分线的性质定理得到，在中，是斜边，则，即，可判定②；如图所示，延长交于点，可证，是等腰三角形，得到，可判定③；根据题意可证，得到，则，设，则，，解得，根据，得到，可判定④；根据，，则，得到，可判定⑤；
（2）如图所示，过点作于点，则，根据含30度角的直角三角形的性质得到，设，则，，，由勾股定理得到，结合两点之间距离公式得到，当点三点共线时，取等号，即有最小值，最小值为，再求值直线的解析式，可得，由此即可求解．
【详解】解：（1）在中，，，
∴，
∵平分交于点，
∴，
∵交的延长线于点，
∴，
∴，
∴，故①正确；
如图所示，过点作于点，
∵平分，，
∴，
在中，，
∴，则，
在中，是斜边，
∴，即，故②错误；
如图所示，延长交于点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即是等腰三角形，
∵，
∴是中线，
∴，即，
∴，故③正确；
∵，，
∴，
∴，
由③正确可得，，
∴，
设，
由上述证明可得，，则，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，故④正确；
∵，，
∴，
∴，故⑤正确，
综上所述，正确的有①③④⑤．
（2）如图所示，过点作于点，则，
∵，
∴，
在中，，
∴，，
在中，，
∴，
∴，
设，则，，，
在中，，
在中，，
∴，
如图所示，，
∴，
∴作点关于轴的对称点，
∴，当点三点共线时，取等号，即有最小值，最小值为，
∴，
∴的最小值为，
∵，
∴设直线的解析式为，
，
解得，，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴，
综上所述，的最小值为，．